3.4函數的奇偶性和周期性【考點梳理】1．奇、偶函數的概念(1)偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有，那么函數f(x)就叫做偶函數．(2)奇函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有，那么函數f(x)就叫做奇函數．2．奇、偶函數的圖象特征偶函數的圖象關于對稱；奇函數的圖象關于對稱．3．具有奇偶性函數的定義域的特點具有奇偶性函數的定義域關于，即“定義域關于”是“一個函數具有奇偶性”的條件．4．周期函數的概念(1)周期、周期函數對于函數f(x)，如果存在一個T，使得當x取定義域內的值時，都有，那么函數f(x)就叫做周期函數．T叫做這個函數的周期．(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．5．函數奇偶性與單調性之間的關系(1)若函數f(x)為奇函數，且在[a，b]上為增(減)函數，則f(x)在[－b，－a]上為；(2)若函數f(x)為偶函數，且在[a，b]上為增(減)函數，則f(x)在[－b，－a]上為．6．奇、偶函數的“運算”(共同定義域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.考點一函數的奇偶性【例題】（1）下列函數中為偶函數的是（

）A． B． C． D．（2）已知函數為偶函數，且，則（

）A．1 B．3 C．4 D．7（3）函數為上的奇函數，時，，則（

）A． B．2 C． D．6（4）已知分別是定義在上的奇函數和偶函數，若，則（

）A．5 B． C．3 D．（5）已知函數是偶函數，則常數的值為．（6）是偶函數，其定義域為，則等于（

）A．1 B． C． D．01【變式】（1）下列函數為奇函數的是（

）A． B． C． D．（2）已知函數為R上的奇函數，當時，，則等于（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3（3）若函數是定義在上的偶函數，則該函數的最大值為（

）A．10 B．5 C．3 D．2（4）已知函數是定義域為R的奇函數，當時，，若，則（

）．A． B．2 C． D．1（5）已知函數是奇函數，則．（6）已知函數，若，則（

）A．4 B．5 C．7 D．考點二函數的周期性【例題】（1）下列函數是周期函數的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③（2）已知是以2為周期的函數，且，則（

）A．1 B．-1 C． D．7（3）若是R上周期為6的奇函數，且滿足，，則（

）A．-1 B．-2 C．2 D．3（4）已知在上是奇函數，且滿足，當時，，則等于（

）A．-2 B．2 C．-98 D．98（5）設函數是定義在上周期為3的奇函數，且，則的值為．【變式】（1）已知是定義在R上的周期為2的偶函數，當時，，則．（2）已知函數是定義在R上的周期為2的奇函數，當時，，則.（3）已知是定義在上的奇函數，且．當時，，則．（4）已知定義域為R的奇函數滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3（5）已知滿足對任意，且時，則的值為（）A． B． C． D．【方法總結】1．判斷函數的奇偶性時，首先要確定函數的定義域(函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件，如果函數定義域不關于原點對稱，那么它不具有奇偶性)，若定義域關于原點對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關系，從而確定函數的奇偶性．2．奇、偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據，為了方便判斷函數的奇偶性，有時需要將函數進行化簡，或應用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)進行判斷．3．判斷函數奇偶性的方法通常有(1)定義法：根據定義判斷．(2)圖象法：函數的圖象能夠直觀地反映函數的奇偶性，f(x)為奇函數的充要條件是函數f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數的充要條件是函數f(x)的圖象關于y軸對稱．(3)運用奇、偶函數的運算結論．要注意定義域應為兩個函數定義域的交集．4．判斷周期函數的一般方法(1)定義法：應用定義法判斷或證明函數是否具有周期性的關鍵是從函數周期的定義出發，充分挖掘隱含條件，合