3.3函數的單調性及其最值【考點梳理】1．函數的單調性(1)增函數與減函數一般地，設函數f(x)的定義域為I：①如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數．②如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數．(2)單調性與單調區間如果函數y＝f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．2．函數的最值(1)最大值一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我們稱M是函數y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數N滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥N；②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我們稱N是函數y＝f(x)的最小值．考點一函數的單調性【例題】（1）下列四個函數在是增函數的為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A，二次函數開口向上，對稱軸為軸，在是減函數，故A不對．對B，為一次函數，，在是減函數，故B不對．對C，，二次函數，開口向下，對稱軸為，在是增函數，故C不對．對D，為反比例類型，，在是增函數，故D對，故選：D.（2）函數的單調遞增區間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，函數為開口向上，對稱軸為的二次函數，則單調遞增區間是，故選：B.（3）若函數在上單調遞增，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調遞增，，，解得：，實數的取值范圍為，故選：C.（4）已知在為單調函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調遞減，在上單調遞增，故要想在為單調函數，需滿足，故選：D.（5）設偶函數的定義域為R，當時，是減函數，則，，的大小關系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】函數為偶函數，則，，當時，是減函數，又，則，則，故選：C.（6）已知定義在R上的函數是偶函數，且在上單調遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為偶函數，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，由，得，解得，即不等式的解集為，故選：C.【變式】（1）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，是非奇非偶函數，所以A錯誤；對于B，是奇函數，而在上不是單調遞增函數，所以B錯誤；對于C，是奇函數又在區間上單調遞增，所以C正確；對于D，是非奇非偶函數，所以D錯誤，故選：C.（2）函數的單調遞增區間是.【答案】【解析】令，解得或，所以函數的定義域為，而函數的對稱軸是，故函數的單調遞增區間是，故答案為：.（3）關于函數的單調性的說法正確的是（

）A．在上是增函數 B．在上是減函數C．在區間上是增函數 D．在區間上是減函數【答案】C【解析】由函數的解析式知定義域為，設，顯然在上是增函數，在上是增函數，由復合函數的單調性可知在上是增函數，故選：C.（4）函數在區間上具有單調性，則m的取值范圍為.【答案】或【解析】二次函數的對稱軸為，因函數在區間上具有單調性，所以或，故答案為：或.（5）函數為定義在上的增函數，且，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，解得,所以實數的取值范圍是,故答案為：.（6）設是定義在R上的奇函數，且在上是減函數，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】依題意是定義在R上的奇函數，且在上是減函數，所以在上是減函數，由于，所以，故答案為：.考點二函數的最值【例題】（1）在上的最小值為．【答案】0【解析】根據題意在上為增函數，則在上的最小值為，故答案為：0.（2）若函數在區間上的最大值為6，則.【答案】4【解析】函數在區間上單調遞增，于是得，解得：，故答案為：4.（3）函數的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】∵，等號成立當且僅當，∴函數的最小值是，故選：C.（4）的最大值為（

）A．9B．C．3 D．【答案】B【解析】＝＝＝，由于，所以當時，有最大值，故選：B.（5）如果奇函數在區間上單調遞增且有最大值6，那么函數在區間上（

）A．單調遞增且最小值為﹣6 B．單調遞增且最大值為﹣6C．單調遞減且最小值為﹣6 D．單調遞減且最大值為﹣6【答案】A【解析】因為為奇函數，則在對稱區間上單調性相同，所以在上為單調遞增函數，根據的圖像關于原點對稱，且，所以在上的最小值為，故選：A.【變式】（1）已知函數在區間上的最大值為A，最小值為B，則A-B等于（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【解析】函數在區間是減函數，所以時有最大值為1，即A=1，時有最小值，即B=，則，故選：A.（2）函數在區間上的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因為函數在區間單調遞減，所以當x=0時取得最大值：，故選：B.（3）函數的最大值為.【答案】2【解析】因，則在上為減函數，，所以時，取得最大值2，故答案為：2.（4）函數的最大值是（

）A． B．0 C．4 D．2【答案】C【解析】函數，當時，函數取得最大值4，故選：C.（5）若偶函數在區間上是增函數且最小值為﹣4，則在區間上是（

）A．減函數且最小值為﹣4 B．增函數且最小值為﹣4C．減函數且最大值為4 D．增函數且最大值為4【答案】A【解析】在區間，上是增函數，最小值是，，又為偶函數，在，上單調遞減，（5）．即在區間，上的最小值為，綜上，在，上單調遞減，且最小值為，故選：A．【方法總結】1．證明函數的單調性與求函數的單調區間，均可運用函數單調性的定義，具體方法為差式比較法或商式比較法．注意單調性定義還有如下的兩種等價形式：設x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0?f(x)在(a，b)內是增函數；eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0?f(x)在(a，b)內是減函數．上式的幾何意義：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在(a，b)內是增函數；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在(a，b)內是減函數．2．函數單調性的判斷(1)常用的方法有：定義法、圖象法及復合函數法．(2)兩個增(減)函數的和仍為增(減)函數；一個增(減)函數與一個減(增)函數的差是增(減)函數；(3)奇函數在關于原點對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區間上有相反的單調性；(4)復合函數的單調性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調性相同，那么y＝f(g(x))是增函數；如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調性相反，那么y＝f(g(x))是減函數．在應用這一結論時，必須注意：函數u＝g(x)的值域必須是y＝f(u)的單調區間的子集．(5)在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟