1.3充要條件【考點梳理】1．充分條件和必要條件的概念(1)如果p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡稱p是q的充要條件，記作p?q．(3)如果p?q，但qeq\a\vs4\al()p，那么稱p是q的充分不必要條件．(4)如果peq\a\vs4\al()q，但q?p，那么稱p是q的必要不充分條件．(5)如果peq\a\vs4\al()q，且qeq\a\vs4\al()p，那么稱p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件和必要條件與集合的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}若p是q的充分不必要條件則AB若p是q的必要不充分條件則BA若p是q的充要條件則A＝B若p是q的既不充分也不必要條件則AB之間沒有子集關系3．充要條件的傳遞性1．若p是q的充要條件，q是r的充要條件，即pq，qr，則有pr，即p是r的充要條件．2．若p是q的充要條件，即pq，則有qp，即q是p的充要條件．考點一充要條件的判定【例題】（1）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】由，可得或，則由“”可以得到“”；由“”不能得到“”則“”是“”的充分非必要條件，故選：A.（2）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，但，不充分，時，必要性滿足，故是必要不充分條件，故選：B．（3）函數的圖像關于直線對稱的充要條件是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】∵函數的圖像的對稱軸為，∴函數的圖像關于直線對稱的充要條件是，即，故選：B.（4）“a＞b”是“a2＞b2”的__________條件.【答案】既不充分也不必要【解析】當a＝0，b＝﹣1時，滿足a＞b，但a2＜b2；當a＝﹣2，b＝﹣1時，滿足a2＞b2，但a＜b，所以a＞b是a2＞b2的既不充分也不必要條件，故答案為：既不充分也不必要.（5）設，則“”是“”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且且，故選：A．【變式】（1）已知命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由解得，由解得或，顯然，故是的充分不必要條件，故選：A.（2）設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，即，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.（3）“”是“”的_____條件．【答案】充要【解析】充分性：由于指數函數為上的增函數，由，可得，充分性成立；必要性：由于指數函數為上的增函數，由，可得，必要性成立，綜上所述，“”是“”的充要條件，故答案為：充要.（4）“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的_________條件．【答案】既不充分也不必要【解析】若四棱柱是直四棱柱，只需四棱柱的側棱垂直底面，但底面不一定是矩形，即充分性不成立；反之：底面為矩形的四棱柱不一定為直四棱柱，即必要性不成立，所以“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的既不充分也不必要條件，故答案為：既不充分也不必要.（5）已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，，則，即，取，滿足，而有，即有pq，所以是的必要不充分條件，故選：B.考點二充要條件的應用【例題】（1）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，則有，所以充分性成立；當時，可得，在的情況下，不成立，所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.（2）在中，“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在中，，則或，∴在中，“”是“”的必要不充分條件，故選：B．（3）“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當，則且或且，此時方程表示的曲線一定為雙曲線；則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，故選：.（4）“”是“”的_________條件．（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）【答案】既不充分也不必要【解析】若時，成立，而不成立；若時，成立，而不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故答案為：既不充分也不必要.（5）設，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，與的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直線與直線平行”，則滿足，解得：或1，經驗證，：或1時，兩直線不重合，故：或1，兩直線平行，故必要性不成立，故選：A.【變式】（1）“”是“函數在R上為增函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】在R上為增函數，則，即，故時，為增函數，充分性成立；但為增函數，a還可以是，故必要性不成立，故選：A．（2）已知a，b∈R，則“ab＝0”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，若，不能推出，不滿足充分性；當，則，有，滿足必要性；所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．（3）“”是“關于的函數單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】D【解析】若，則函數單調遞減，滿足充分性；若函數單調遞減，則，滿足必要性，故“”是“關于的函數單調遞減”的充要條件，故選：D.（4）是直線與直線平行且不重合的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】C【解析】充分性：時，直線與直線可化為：直線與直線，此時兩直線平行.故充分性滿足；必要性：因為直線與直線平行，所以，解得：m=1.故必要性滿足，故選：C.（5）“”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，由于，而，故A選項滿足題意；令，則滿足，但不滿足，故B錯誤；由得：，故C選項是一個充分必要條件，故C選項錯誤；令，則滿足，但不滿足，D錯誤，故選：A.【方法總結】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：分三步進行，第一步，分清條件與結論；第二步，判斷p?q及q?p的真假；第三步，下結論．(2)等價法：將命題轉化為另一個等價且容易判斷真假的命題．一般地，這類問題由幾個充分必要條件混雜在一起，可以畫出關系圖，運用邏輯推理判斷