第05講解三角形目錄TOC\o"13"\h\u知識點一：余弦定理 ⑥要證明恒等式，可轉(zhuǎn)化為證明，即內(nèi)項之積等于外項之積。在證明三角形中的恒等式（或不等式）時常用到和角、差角、倍角、半角及三角函數(shù)的和差化積公式：；；。在中，角的對邊分別是，且，證明：．在中，.(1)求的大小；(2)若，證明：.在中，為的中點，，記，，證明：或；如圖，在中，D是邊上的一點，，．(1)證明：；(2)若D為靠近B的三等分點，，，，為鈍角，求．在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．如圖，已知△ABC內(nèi)有一點P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C=2B.(1)若，求的值；(2)若，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.知識點四：三角形的面積①將代入①式可得②即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半。將代入②式可得③將代入③式可得（為外接圓的半徑）（分別為內(nèi)切圓的半徑及的周長）。證明：如圖，海倫公式：，其中。證明：根據(jù)余弦定理，所以令，可得。將代入中可得，其中。，其中。考點6：三角形面積公式的應(yīng)用△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為．已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.(1)求角的大小；(2)設(shè)點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.在中，內(nèi)角所對的邊分別為且．(1)求角的大小；(2)若，且的面積為，求的周長．在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．考點7：解三角形中范圍與最值問題方法提煉解三角形中的范圍與最值問題，通常涉及邊長、角度、周長、面積等，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.與角度有關(guān)的范圍與最值問題在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)證明：.(2)若是的中點，求的最大值.銳角中，角、、所對的邊分別為、、，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.問題：銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且______.(1)求；(2)求的取值范圍.與邊長有關(guān)的范圍與最值問題已知分別為銳角三角形三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求;(2)若，為的中點，求中線的取值范圍.在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求證：.(2)求的取值范圍.與周長有關(guān)的范圍與最值問題中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則周長的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．與面積有關(guān)的范圍與最值問題在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，．(1)求角A的大小；(2)若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．在等腰中，角所對的邊分別為，其中為鈍角，.(1)求;(2)如圖，點與點在直線的兩側(cè)，且，設(shè)，求的面積的最大值和此時的值.在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求；(2)若點是上的點，平分，且，求面積的最小值．已知的內(nèi)角所對的邊分別為且與垂直.(1)求大小；(2)若邊上的中線長為，求的面積的最大值.已知中內(nèi)角，，所對邊分別為，，，．(1)求；(2)若邊上一點，滿足且，求的面積最大值．如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．考點8：幾何圖形中的計算方法提煉角平分線定理在中，的角平分線交于點（如圖），則有。證明（1）：（妙用兩次正弦定理）因為，所以，在中使用正弦定理有，在中使用正弦定理有，又，所以。證明（2）：（等面積法）如圖，過點做邊上的高為，過點分別做邊上的高為，因為為的角平分線，所以。，，所以。常見推論：①角平分線長：證明：（等面積法）由可得，，所以。②庫斯頓定理：證明：（構(gòu)造輔助線作出相似三角形）因為，所以所以。又因為，所以，即所以，即張角定理在中，角，，所對的邊分別為，，，若為上一點（如圖），且，，則有．證明：（等面積法）因為，所以，于是等式兩邊同除以得．平行四邊形定理若四邊形為平行四邊形（如圖），則．證明：（兩次使用余弦定理建立等量關(guān)系）因為四邊形是平行四邊形，所以，，且，在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以．中線長定理在中為的中線，則中線長定理:證明（1）：根據(jù)平行四邊形定理有，所以，即，所以證明（2）：（兩次使用余弦定理建立等量關(guān)系）在中，，在中，，聯(lián)立兩個方程可得：證明（3）：（平面向量法），兩邊平方得化簡得，又，所以。五邊兩角模型在中，是線段上一點，連接（如圖），則有．證明：（兩次使用余弦定理建立等量關(guān)系）因為，所以．在中使用余弦定理有，在中使用余弦定理有，所以，所以．托勒密定理在圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．如圖，設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，則有AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．證明：（構(gòu)造輔助線作出相似三角形）不妨在AC上取一點E，使∠ADE＝∠BDC，由∠DAE＝∠DBC，得△AED∽△BCD，所以，即AE·BD＝AD·BC①又由∠ADB＝∠EDC，∠ADB＝∠ECD，△ABD∽△ECD，所以，即EC·BD＝AB·CD②，兩式相加得AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．廣義托勒密定理：在四邊形ABCD中，有AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．證明：在四邊形ABCD內(nèi)取一點E使∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD，則△ABE∽△ACD所以，又因為，且∠BAC＝∠EAD，所以△ABC∽△AED，所以；由①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·（BE＋ED），所以AB·CD＋AD·BC≥AC·BD，等號當(dāng)且僅當(dāng)點E在BD上，即A，B，C，D四點共圓時成立．記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．在中，，的面積為，為的中點，于點于點.

(1)求的面積；(2)若，求的值.考點9：解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.知識點五：解三角形的實際問題建模思想解三角形應(yīng)用題的基本思路有關(guān)名稱、術(shù)語鉛錘平面:與地面垂直的平面坡角和坡比坡角：坡面與水平面的夾角。坡比（坡度）：坡面的垂直高度與水平寬度的比。視角：觀察物體時，從物體兩端引出的光線在人眼光心處形成的夾角仰角和俯角仰角：在同一鉛錘平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角。俯角：在同一鉛錘平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角。方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的最小正角考點10：距離、高度、角度測量問題距離測量問題方法提煉當(dāng)長度不可直接測量時，求間的距離有以下三種類型：①②③;如圖，某景區(qū)為方便游客，計劃在兩個山頭M，N間架設(shè)一條索道．為測量M，N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個山頭的海拔高度，在BC同一水平面上選一點A，測得M點的仰角為，N點的人仰角為，以及，

則M，N間的距離為（

）

A． B．120m C． D．200m一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里如圖，甲乙兩人做游戲，甲在處發(fā)現(xiàn)乙在北偏東方向，相距6百米的處，乙正以每分鐘5百米的速度沿南偏東方向前進，甲立即以每分鐘7百米的速度，沿北偏東方向追趕乙，則甲追趕上乙最少需要分鐘．海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得m，，，，則兩點的距離為m．如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為.高度測量問題方法提煉當(dāng)AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：①AB=a·tanC②，③，如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．如圖，在測量河對岸的塔高時，測量者選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，并測得，，米，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高（

）A．米 B．米 C．米 D．米如圖，某中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點，，處測得閣頂端點的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度米.如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫椋貎A斜角為的斜坡向上走米到，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋瑒t山高（

）A． B．C． D．

魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距角度測量問題方法提煉有關(guān)角度的測量問題，主要涉及光線(入射角、折射角)，空中、海上的俯角、方位角等。若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念。而其中較難的一類問題是營救與攔截問題，其一般的處理方法是設(shè)變量（通常是設(shè)時間或速度為變量），根據(jù)題意畫出草圖，將三角形的各邊用已知量和變量表示，然后化歸為方程問題求解并檢驗作答。如圖，兩座相距的建筑物、的高度分別為、，為水平面，則從建筑物的頂端A看建筑物的張角=．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于A． B． C．－1 D．－1如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點C，測得塔頂?shù)难鼋菫棣龋蒀向塔前進30米后到點D，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進米后到點E，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則θ＝，塔高為米．游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，