第02講利用導數研究函數的單調性【人教A版2019】模塊一模塊一利用導數研究單調性（一）1．函數單調性和導數的關系(1)函數的單調性與導函數f'(x)的正負之間的關系

①單調遞增：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增；

②單調遞減：在某個區間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.

③如果在某個區間(a,b)內恒有f'(x)=0，那么函數y=f(x)在這個區間上是一個常數函數.

(2)函數值變化快慢與導數的關系

一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.

常見的對應情況如下表所示.圖象f'(x)變化規律f'(x)>0

且越來越大f'(x)>0

且越來越小f'(x)<0

且越來越小f'(x)<0

且越來越大函數值變化規律函數值增加

得越來越快函數值增加

得越來越慢函數值減小

得越來越快函數值減小

得越來越慢2．利用導數判斷不含參函數單調性的步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求出函數f(x)的導數；(3)在定義域內求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根據解集寫出單調遞增區間；(4)在定義域內求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根據解集寫出單調遞減區間.注：單調區間不以”并集”出現.3．利用二階導判斷單調性在解決有關導數應用的試題時，有些題目利用“一次求導”就可以解決，但是也有些問題“一次求導”不能求出原函數的單調性，需要利用“二次求導”才能找到導數的正負，再判斷原函數的單調性，才能解決問題.4．構造函數研究單調性(1)關系式為“加”型①f'(x)+f(x)≥0：構造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]；②xf'(x)+f(x)≥0：構造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)；③xf'(x)+nf(x)≥0：構造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn1f(x)=xn1[xf'(x)+nf(x)].(注意對x的符號進行討論)(2)關系式為“減”型(1)f'(x)f(x)≥0：構造；(2)xf'(x)f(x)≥0：構造；(3)xf'(x)nf(x)≥0：構造.【題型1利用導數判斷單調性、求單調區間】【例1.1】（2324高二下·江蘇南通·期末）函數f(x)=cosx+12xA．?π2,π6 B．π6【例1.2】（2425高二上·全國·課后作業）函數fx=x+1A．?ln2,0 B．?∞,?ln2【變式1.1】（2425高二·全國·課后作業）函數f(x)=xlnxA．(0，e) C．(0，1)∪(1，e) 【變式1.2】（2324高二下·四川成都·階段練習）已知函數fx滿足fx=f′A．?∞,0 B．1,+∞ C．?【題型2利用二階導數判斷函數單調性】【例2.1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數f(x)=exln(1+x).設g(x)=f′【例2.2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=ex+a?【變式2.1】（2324高三上·江蘇·階段練習）已知函數fx=e(1)求曲線y=fx在點0,f(2)證明：fx在0,+【變式2.2】（2025高三·全國·專題練習）已知函數f(x)=x2+2(1)求函數g(x)的單調區間；(2)討論函數?(x)=g(x)?af(x)(a∈R【題型3構造函數研究單調性】【例3.1】（2425高三上·湖南郴州·期末）已知a=cos15，b=4950A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．b<c<a【例3.2】（2024·廣東佛山·一模）設f′x是函數fx的導數，f1?x+f1+x=0，f2=0，當x>1A．0,1∪1,2 B．0,1∪2,+∞ 【變式3.1】（2425高三上·福建南平·期中）定義在0,?π2上的函數fx，f′x是fx的導函數，且f′x<?tanx?fx成立，a=2fA．b>a>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c【變式3.2】（2024·吉林長春·一模）已知定義在(0,+∞)上的函數f(x),f′(x)是f(x)的導函數，滿足xf′A．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) 模塊二模塊二利用導數研究單調性（二）1．含參函數的分類討論利用導數研究函數的單調性主要是利用導數的正負與函數單調性的關系得出相應結論，導函數的符號決定了函數的單調性，而導函數的變號零點恰好是其分界點，故f'(x)=0是否有根及根的位置是分類討論的標準，一般可以按方程在定義域內有根、無根以及根的大小等方面來分類討論.2．單調性的逆向求參問題(1)函數f(x)在(a,b)上單調遞增，則f'(x)≥0且f'(x)在(a,b)的任意子區間上不恒為0；(2)函數f(x)在(a,b)上單調遞減，則f'(x)≤0且f'(x)在(a,b)的任意子區間上不恒為0.3．根據函數單調性求參數的一般思路：(1)利用集合間的包含關系處理：y=f(x)在(a,b)上單調，則區間(a,b)是相應單調區間的子集.(2)f(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內的任一非空子區間上，f'(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.【題型4利用導數研究含參函數的單調性】【例4.1】（2425高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數fx(1)若a=12，求fx(2)討論fx【例4.2】（2024·陜西西安·一模）已知函數f(1)當a=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)求函數fx【變式4.1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx(1)當m=2時，求曲線fx在點0,f(2)討論fx【變式4.2】（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數fx(1)求曲線y=fx在e(2)若a≥0，gx=ax【題型5單調性的逆向求參問題】【例5.1】（2425高二上·浙江寧波·期中）若函數fx=kx+1x2+1在A．k≥?43 B．k≤?1 C．k≤1 【例5.2】（2324高三上·廣東汕頭·期中）設a∈0,1，若函數fx=ax+(1+a)A．5?12,5+12 B．5【變式5.1】（2324高二上·江蘇徐州·階段練習）已知函數fx(1)fx在1,5上是增函數，求a(2)討論函數fx【變式5.2】（2324高二下·四川自貢·期末）已知函數f(x)=1(1)若f(x)的單調遞減區間為?23,1(2)若函數y=f(x)在[2，3]單調遞減，求實數【題型6導數中函數單調性的應用——比較大小】【例6.1】（2024·河南·模擬預測）設a=ln44，b=4?lnA．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b【例6.2】（2425高三上·江西新余·階段練習）設a=sinπ7，b=37，c=A．c<b<a B．c<a<bC．a<c<b D．a<b<c【變式6.1】（2425高三上·安徽黃山·階段練習）定義在R上的函數fx滿足x+2f′x<0A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．a<b<c【變式6.2】（2425高三上·青海·階段練習）已知奇函數fx滿足?x∈R,f1?x=f1+x.當x∈0,1A．a<b<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b【題型7導數中函數單調性的應用——解不等式】【例7.1】（2425高三上·福建福州·期中）已知定義在[?3,3]上的函數f(x)=ex?e?x?2x?1，若A．[?1,2] B．[?1,1] C．[?1,3] 【例7.2】（2425高三上·山東煙臺·期中）已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=f(2?x)，當x<1時，(x?1)f′(x)>0，且f(?2)=1，則不等式f(x)?1>0A．(?∞,?2) B．(?2,4) C．(4,+∞【變式7.1】（2425高三上·廣東汕頭·期末）已知函數fx(1)證明曲線y=fx(2)設函數gx=f1x,x∈【變式7.2】（2425高三上·江蘇·階段練習）已知函數f(x)=(1)求證：曲線y=f(x)的圖象關于點(0,2)對稱;(2)若f(a+2)+f(1?2a2)<4一、單選題1．（2324高二下·江蘇無錫·階段練習）函數y=f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的選項是（A．f(x)在(1,3)上單調遞增 B．f(x)在(1,3)上單調遞減C．f(x)在(2,4)上單調遞減 D．f(x)在(3,+∞2．（2324高二下·廣西玉林·期末）函數gx=xA．m>1 B．m<?1C．m∈[?1,1] D．m∈R3．（2425高二上·全國·課后作業）若函數fx=lnx+ax2?2A．?132,+C．?12,+4．（2425高二上·全國·課后作業）已知函數fx=lnA．fx在區間0,B．fx在區間0,C．fx在區間0,π4D．fx在區間0,π45．（2324高二下·福建福州·期末）已知函數fx=alnx+x2，則“a>?2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2324高二下·山東煙臺·期末）已知函數fx=13x3+aA．?∞,?1 B．?1,1 C．1,+∞7．（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知fx在1,+∞上單調遞增，若fx+1為偶函數，a=fe7A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．c>a>b8．（2425高三上·遼寧·期中）已知定義在0,+∞上的函數fx及其導函數f′x，滿足x?1fx<xA．(1,2) B．(?3,?1) C．(1,3) D．(1,+二、多選題9．（2324高二下·湖北十堰·階段練習）下列函數中，在1,+∞上是增函數的是（

）A．y=x+1x B．y=xln?x C．10．（2324高二下·寧夏·階段練習）已知函數fx=x?alnx在區間1,2A．0 B．1 C．2 D．e11．（2324高二下·福建泉州·階段練習）若奇函數f(x)在R上可導，當x>0時，滿足f(x)?xf′(x)<0，f(1)=0A．f′(1)<0 C．f(x)在1,+∞上單調遞增 D．不等式f(x)>0的解集為三、填空題12．（2324高二下·四川成都·期中）函數fx=12x+cosx13．（2425高二上·全國·課后作業）若函數fx=1?2x?lnx在區間1?a,2?a14．（2324高二下·四川涼山·期中）已知定義在R上的可導函數f(x)，滿足xf′(x)+f(x)>0在R上恒成立，且f(1)=2，則不等式xf(x)<2的解集為四、解答題15．（2324高二下·海南海口·期中）已知函數fx(1)若a=1，求曲線y=fx在點1,f(2)求函數fx16．（2324高二下·寧夏銀川·階段練習）已知函數fx