習題2-1舉出現實生活中的一些相互對立的、處于矛盾狀態的事物。試著給這些對立的事物賦予邏輯“0”和邏輯“12-2為什么稱布爾代數為“開關代數”？2-3基本邏輯運算有哪些？寫出它們的真值表。答：與、或、非。AF0AF0110非ABF000011101111或ABF000010100111與2-4什么是邏輯函數？它與普通代數中的函數在概念上有什么異同？答：由只能取值為“1”、“0邏輯函數與普通函數的區別為：邏輯自變量的取值范圍和邏輯因變量的值閾均只能是“1”、“0”兩值。2-5如何判定兩個邏輯函數的相等？2-6邏輯函數與邏輯電路的關系是什么？答：邏輯電路是能完成某一邏輯運算的電子線路，而邏輯函數可以描述該電路的邏輯功能。2-7什么是邏輯代數公理？邏輯代數公理與邏輯代數基本定律或定理的關系是什么？2-8用真值表證明表2.3.2中的“0-1律”，“自等律”，“互補律”，“重疊律”和“還原律”。真值表AF=A+10111真值表AF=A+10111真值表AF=A?00100真值表AF=A?1010真值表AF=A?10101真值表AF=A+00101真值表AF=A?A010真值表AF=A?A0100真值表AF=A+A0111真值表AF=A?A010真值表AF=A?A0101真值表AF=A+A0101真值表AF=A01真值表AF=A01012-9分別用真值表和邏輯代數基本定律或定理證明下列公式。1.證明：右邊=A+AB+AC+BC=A+BC=左邊2.證明：左邊=AB+AB+AB=AB+AB+AB+AB=A+B=右邊3.證明：左邊=A(1+B)=A=右邊4.證明：左邊=(A+B)(A+C)=0+AB+AC+BC=AB+AC=右邊5.證明：左邊=AB+AC+ABCD+ABCD=AB+AC=右邊6.證明：兩邊取對偶，得AB+AC+BC=AB+AC，得證。7.證明： 左邊=AB+AC 右邊=AB+AC+BC=AB+AC 得證。8.證明： 設F=(A+B)(A+B) 則F’=AB+AB=A F=(F’)’=A 得證。9.證明：左邊=A+AB=A=右邊，得證。 用真值表法略。2-10用邏輯代數演算證明下列等式。1.2.3.解：1.2.3.2-11直接寫出下列函數的對偶函數和反函數。1.2.3.4.（結果均整理成“與或”式）5.（結果均整理成“與或”式）解：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸2-12證明下列等式。1.證明：左邊=A0+A0=A=右邊，得證。2.證明：左邊=A1+A1=A=右邊，得證。3.A⊙B證明：左邊=AB+AB=（A+B）（A+B）=右邊4.A⊙B⊙C證明：左邊=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(B+C)(B+C)+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC 右邊=A(BC+BC)+A(BC+BC)=ABC+ABC+A(B+C)(B+C) =ABC+ABC+ABC+ABC=左邊5.證明： 左邊=AB+AB 中間=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=左邊右邊=(AB+AB)1+(AB+AB)1=AB+AB=中間或者：根據1⊕A=A，右邊=中間6.證明： 左邊=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(B+C)(B+C)+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC 右邊=(AB+AB)C+(AB+AB)C=ABC+ABC+(A+B)(A+B)C==ABC+ABC+ABC+ABC=左邊7.A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C證明： 左邊=A(BC+BC)+A(BC+BC)=ABC+ABC+A(B+C)(B+C) =ABC+ABC+ABC+ABC 右邊=(AB+AB)C+(AB+AB)C=ABC+ABC+(A+B)(A+B)C=ABC+ABC+ABC+ABC=左邊 或由6.兩邊取對偶即得證。8.證明： 左邊=A(BC+BC)=ABC+ABC 右邊=ABAC+ABAC=AB(A+C)+(A+B)AC=ABC+ABC=左邊9.A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)證明： 左邊=A+BC+BC 右邊=(A+B)(A+C)+(A+B)(A+C)=A+AB+AC+BC+ABAC =A+BC+BC=左邊2-13試證明下列結論：若，（1≤i≤n）則。2-14試說明：若下列等式An-1⊕An-2⊕An-3⊕……⊕A1⊕A0=B成立，則B與等號左邊的任意一個邏輯變量Ai（i=0～n-1）互換位置以后，等式仍然成立。證明：設B=1，則n個變量An-1～A0中取“1”的變量個數必然為奇數個。當等號左邊任意一個變量Ai與B互換位置后，若Ai為“1”，則等式的成立是顯然的；而若Ai為“0”，則等式左邊取“1”的變量個數變為偶數個，n個變量相“異或”的結果是“0”，而這正是換到等號右邊Ai的取值，所以等式也成立。同理可證B=0時的情形。綜上所述，題目的結論成立。ABF圖題2-15“異或”邏輯門2-15若要實現三個變量的“異或ABF圖題2-15“異或”邏輯門 答：兩個。2-16試敘述性地證明：多變量“同或”運算的結果取決于這些變量中取值為“0”的變量個數，而與取值為“1”的變量個數無關。若取值為“0”的變量個數是偶數，則“同或”的結果為“1”；若取值為“0”的變量個數是奇數，則“2-17試證明下列結論：若F=A1⊙A2⊙……⊙Ai⊙……⊙An，（1≤i≤n）則=A1⊙A2⊙……⊙⊙……⊙An。證明：若F=0，則說明n個變量An～A1中取“0”的變量個數必然為奇數個。當An～A1中的任意一個變量Ai取反時，則不論Ai的原取值是“1”還是“0”，都會使變量An～A1中取“0”的變量個數變為偶數個，于是n個變量相“同或”的結果是“1”，F變成了。同理可證F=1時的情形。綜上所述，題目的結論成立。2-18試說明：若下列等式An-1⊙An-2⊙An-3⊙……⊙A1⊙A0=B成立，則B與等號左邊的任意一個邏輯變量Ai（i=0～n-1）互換位置以后，等式仍然成立。說明：兩邊同時同或B，再同時同或Ai。2-19根據兩變量“異或”、“同或”的定義式證明：=A⊙B，=A⊙B證明：=A⊙B=A⊙B2-20分別用“與非”門、“或非”門和“與或非”門單獨地實現函數F=AB，F=A+B和F=。要求寫出函數的邏輯表達式以及畫出對應的邏輯圖。2-21分別用真值表和邏輯推演的方法判斷函數F1和F2的關系。1．，F1=(A+B)(B+C)(C+A)=ABC+ABCF2=(A+B)(B+C)(C+A)=ABC+ABC=F1所以F1=F22．，由1.知：F1=F23．，F1=(C+D)(A+B)(B+C)=(AC+AD+BC+BD)(B+C)=ABC+ABD+ACD+BCD=ABC+ABD+BCD=F2 用真值表略。2-22由4個邏輯變量A，B，C，D構成最小項和最大項。（1）若最小項與最大項內各變量的排列次序是ABCD，請寫出編號為1，4，7，9和14的最小項和最大項。比較編號相同的最小項和最大項，有何結論。（2）若最小項與最大項內各變量的排列次序是DCBA，則在（1）中所得到的最小項和最大項此時的編號各是多少？比較（1）、（2）中原、反變量相同但排列次序不同的各最小項、最大項，得出何結論。表題2-23No.ABCF1F2F3表題2-23No.ABCF1F20123456700000101001110010111011110╳01011000111100100101╳（1）F1、F2、F3的“最小項之和”式與“最大項之積”式；（2）F1、F2、F3的5種最簡式，即：最簡“與或”式、最簡“或與”式、最簡“與非-與非”式、最簡“或非-或非”式和最簡“與或非”式。2-24通過邏輯運算，先列出下列各邏輯函數的真值表；然后再通過邏輯代數的推演，導出下列各開關函數的最小項之和式與最大項之積式。再把這兩種標準表達式與相應的真值表相對照。1.3.2.4.解：2.F(A,B,C)=AB(C+C)+A(B+B)C=ABC+ABC+ABC+ABC=∑(1,3,6,7)=∏(0,2,4,5)4.F(A,B,C)=(A+BB)(AA+B+C)(AA+B+C) =(A+B+CC)(A+B+CC)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =∏(0,1,2,3,5,6)=∑(4,7) 其它略。2-25列出下列各邏輯函數的真值表；然后寫出各函數的標準“與或”式和標準“或與”式。1.2.3.真值表（1）AB真值表（1）ABCD00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000000000110(2)由真值表寫出函數F的標準“與或”式如下：(3)由真值表寫出函數F的標準“或與”式如下：2.真值表（2）AB真值表（2）ABCD00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011111111001000101111(2)由真值表寫出函數F的標準“與或”式如下：(3)由真值表寫出函數F的標準“或與”式如下：3.真值表（3）AB真值表（3）ABCD00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000010011110010(2)由真值表寫出函數F的標準“與或”式如下：(3)由真值表寫出函數F的標準“或與”式如下：2-26求下列函數的最小項之和式、最大項之積式和真值表：1.2.3.4.(B⊙C)5.解：(1)函數F的最小項之和式如下：(2)函數F的最大項之積式如下：真值表（1）AB真值表（1）ABC000001010011100101110111101011002.解：(1)函數F的最大項之積式如下：(2)函數F的最小項之和式如下：真值表（2）AB真值表（2）ABC000001010011100101110111111111113.解：(1)函數F的最小項之和式如下：(2)函數F的最大項之積式如下：真值表（3）AB真值表（3）ABC000001010011100101110111011111104.(B⊙C)真值表（4）AB真值表（4）ABC00000101001110010111011110010110(B⊙C)(2)函數F的最大項之積式如下：(B⊙C)(3)函數F的真值表如上頁所示。5.解：(1)函數F的最小項之和式如下：(2)函數F的最大項之積式如下：真值表（5）AB真值表（5）ABC000001010011100101110111100101102-27設：F(X1,X2,…,Xi,…,Xn)（1≤i≤n），是一個n變量的邏輯函數。試證明下列兩式：F(X1,X2,…,Xi,…,Xn)=Xi?F(X1,X2,…,1,…,Xn)+?F(X1,X2,…,0,…,Xn)（1）和F(X1,X2,…,Xi,…,Xn)=[Xi+F(X1,X2,…,0,…,Xn)][+F(X1,X2,…,1,…,Xn)]（2）成立。以上兩式稱為香農（Shannon）展開定理。(提示：利用n變量邏輯函數的最小項之和式與最大項之積式來證明)2-28利用香農（Shannon）展開定理將下列各邏輯函數轉換成如下形式：求出Fα，Fβ，Fγ和Fδ1.2.3.4.2-29利用香農（Shannon）展開定理將下列邏輯函數展成標準“與或”式：(提示：在F(A,B,C)的表達式上分別對變量A、B、C運用題2-27中香農展開定理（1）式)2-30利用香農（Shannon）展開定理將下列邏輯函數展成標準“或與”式：(提示：在F(W,X,Q)的表達式上分別對變量W、X、Q運用題2-27中香農展開定理（2）式)2-31已知。求:1.的最大項之積式2.的最小項之和式3.的最大項之積式解：1.的最大項之積式2.的最小項之和式3.的最大項之積式：2-33用代數法化簡下列各式為最簡“與或”式：2.4.解：2.=14.2-34用代數法化簡下列各式為最簡“或與”式：1.3.解：1.3.2-32已知。求:1.的最小項之和式2.的最大項之積式3.的最小項之和式2-33用代數法化簡下列各式為最簡“與或”式：1.解：F=ABCD+AB+ACD+BCD =ABCD+AB+ABCD =ABCD+AB+CD =ABD+AB+CD2.解：F=ABC+A+B+BC =A+A+B+BC=1或：F=ABC+ABC=13.解：F=ABC+ABC+ABC=C+ABC=C4.解：F’=A+ABC+ACD+CD=A+CD+CD=A+D 所以：F=AD5.解：F=ACD+ACD+ABC+ABD+ABD+BCD =ACD+(ACD+ABC+BCD)+AB =ACD+(AD+AB+BD)C+AB =ACD+(AD+ADB)C+AB =ACD+ACD+BC+AB6.解：F=(AB+BD+CD)(B+C)+A(BDA)+CD =BD+BCD+ABC+BCD+CD+CD =17.解：F=CD(AB+AB)+ABC+ACD =ABCD+ABCD+ABC+ACD =BCD+ABC+ACD+AB+CD ;AB+CD=0,所以可“或” =BD+BC+AD 2-34用代數法化簡下列各式為最簡“或與”式：1.2.3.4.2-35用代數法化簡下列各表達式為最簡式。最簡式的形式分別為：（a）最簡“與或”式；（b）最簡“或與”式；（c）最簡“與非-與非”式；（d）最簡“或非-或非”式；（e）最簡“與或非”式。1.2.3.解：2.(a)最簡“與或”式(b)最簡“或與”式(c)最簡“與非-與非”式(d)最簡“或非-或非”式(e)最簡“與或非”式3.(a)最簡“與或”式(b)最簡“或與”式(c)最簡“與非-與非”式(d)最簡“或非-或非”式(e)最簡“與或非”式2-36用代數法化簡下列各表達式為最簡式。最簡式的形式分別為：（a）最簡“與或”式；（b）最簡“或與”式；（c）最簡“與非-與非”式；（d）最簡“或非-或非”式；（e）最簡“與或非”式。1.解：F=ACD+BC+ABD+BC+BCD =ACD+BC 與或式 =ACDBC 與非-與非式 F=(A+C+D)(B+C)=AB+BC+BD+AC+CD=BC+CD+AC F=BC+CD+AC 與或非式=(B+C)(C+D)(A+C) 或與式=B+C+C+D+A+C 或非-或非式2.解：F=AB+AD+BD+AB+ACD+AD+CD+ABD =B+A+ACD+CD+ABD=A+B+C F=A+B+C 與或非式 =ABC 與或式，或與式 =ABC 與非-與非式，或非-或非式3.解：F=ABC+AB+A+B+C+AC+ABC=1 F=04.解：F=AB+BC+AC+ABC+AB+AC+BC=B+C F=B+C 與或非式 =BC 與或式，或與式 =BC 與非-與非式，或非-或非式5.解：F=AB(A+B)(A+B)+AB+AC =AB+AC F=AB+AC 與或非式 =(A+B)(A+C) 或與式 =A+B+A+C 或非-或非式 =AB+AC+BC =AB+AC 與或式 =ABAC 與非-與非式2-37利用K圖把下列開關函數展開成（a）標準“與或”式；（b）標準“或與”式。1.2.3.4.5.解：1.BCABCA000111100101110010（a）標準“與或”式為：（b）標準“或與”式為：2.CDAB00CDAB00011110000010011010111000101111（a）標準“與或”式為：（b）標準“或與”式為：2-38利用K圖確定下列各函數中哪些是相等的。1.2.3.4.5. F1=F3=F4,F2=F52-39利用K圖化簡下列各函數式為最簡“與或”式。1.2.3.4.F1F1(A,B,C)C)1111ABCF1(A,B,C)C)111111ABC F1(A,B,C)=AB+BC F2(A,B,C)=A+B111111111F3(A,B,C,D)ABCD111111111111F4(A,B,C,D)ABCD 所以：F3(A,B,C,D)=BD+BD F3(A,B,C,D)=A+B2-40利用K圖化簡下列各函數式為最簡“或與”式。1.2.3.4.解：1.BCABCA000111100001110010F之最簡“或與”式為：3.CDAB00CDAB00011110001100010001110011101111F之最簡“或與”式為：2-41利用K圖化簡下列帶有約束項的函數式為最簡“與或”式。1.2.3.4.2-42利用K圖化簡下列帶有約束項的函數式為最簡“或與”式。1.2.3.4.解：xxxxx00000F1(A,B,C,D)ABCD00x00xxxF2(A,B,C,D)ABCD00xx00x0F3(A,B,C,D)ABCD0xxx000F4(A,B,C,D)ABCD F1(A,B,C,D)=(B+D)(B+C+D)(A+C+D) F2(A,B,C,D)=(A+B+D)(A+B+D)(A+C+D) F3(A,B,C,D)=(A+B+D)(A+B+D)(A+C+D)(A+C+D) F4(A,B,C,D)=(A+B+C+D)(B+C+D)(A+C+D)(A+B)2-43用K圖化簡法求題2-33中各函數式為最簡“與或”式。2-44用K圖化簡法求下列各函數式的最簡“與或”式。1.2.3.4.5.2-45用K圖化簡法求題2-34中各函數式為最簡“或與”式。1.2.3.4.000000000F1ABCD1111111111F3ABCD1111111111F4ABCD000000000000000000000000000000000000000000000000000000000F2ABCDDGGEF1=(A+C)(A+B) F2=AC(B+E)(B+D)F3=(A+C)(B+C)F4=(B+D)(A+B+C)2-46用K圖化簡法求下列各函數式的最簡“或與”式。1.2.3.2-47利用K圖整體化簡下列兩組多輸出函數式為最簡“或與”式。1.2.CDABCDAB0001111000000001110111001010d0d0Fα之K圖CDAB0001111000101101110011000010d0d0Fβ之K圖Fα和Fβ總共需要6個“或”項。若分別化簡Fα和Fβ，則總共需要7個“或”項。2-48已知，，試求：1.之最簡“與或”式和最簡“與非-與非”式。2.之最簡“或與”式和最簡“或非-