第22章二次根式

22.1二次根式

教學目標

1、了解二次根式的概念、

2、駕馭二次根式的基本性質、

教學過程

一、提出問題

上一節我們學習了平方根和算術平方根的意義，引進了一個新的

記號,，現在請同學們思索并回答下面兩個問題：

1、y/a表示什么

2、a須要滿意什么條件為什么

二、合作溝通，解決問題

讓學生合作溝通，然后回答問題（可以補充），歸納為；

1、當a是正數時，#表示a的算術平方根，即正數a的兩個

平方根中的一個正數；

2、當a是零時，G表示零，也叫零的算術平方根；

3、a^O,因為任何一個有理數的平方都大于或等于零、

三、歸納特點，引入二次根式概念

1、基本性質、

問題1你能用一句話概括以上3個結論嗎

讓一個學生回答、其他學生補充，概括為：m（a20）表示非負

數a的算術平方根，也就是說，,（a20）是一個非負數，即g2

0(a^0)o

問題2(3)2(a20)等于什么說說你的理由并舉例驗證。

讓學生小組探討或自主探究得出結論：(/)2=a(a20),如

(R六4,(^2*2等、

以上兩個問題的結論就是基本性質，特殊是(g)Ja(aeO)可以

當公式運用，干脆應用于計算。反過來，把(/)2=a(a20)寫成

a二(熊)2(a20)的形式，這說明：任何一個非負數a都可以寫成一個

數的平方的形式、例如：3=(^3尸，0.3二(護)2

提問：

(1)0=(V5-對不對

(2)—5=(、曰嚴對不對假如不對，錯在哪里

2、二次根式概念

形如函(a20)的式子叫做二次根式、

說明：二次根式必需具備以下特點；

(1)有二次根號；

(2)被開方數不能小于0。

讓學生舉出二次根式的幾個例子，并推斷尸，/(a<0)、

匹、4一a(a<o)是不是二次根式。

四、范例

例1、要使式子斤I有意義，字母)：的取值必需滿意什么條件

提問：

若將式子yrx改為，則字母x的取值必需滿意什么條

件

五、課堂練習

P10頁練習1、2、

六、思索提高

我們已經探討了（6）z（a》O）等于a,現在探討病等于什么、

提問：

1、對于抽象問題的探討，常常采納什么策略

2、在R中，a的取值有沒有限制

3、取一些數值來驗證。通過驗證，你能發覺什么規律？

因此，今后我們遇到西時，可先改寫成a的確定值IaI,再

依據a取正數值，0還是負數值來取值、例如當x<0時，對？=I

4x|=-4x

4、（?產與,是一樣的嗎說說你的理由，并與同學溝通。

七、小結

1、什么叫做二次根式你們能舉出幾個例子嗎

2、二次根式有哪兩個形式上的特點

3、二次根式有哪些性質

八、作業

習題22.1第1、2、3、4題、

教學后記:

22.2二次根式的乘除法

第一課時二次根式的乘除法

教學目標

1、使學生駕馭二次根式的乘法運算法則，會用它進行簡潔的二次

根式的乘法運算。

2、使學生駕馭積的算術平方根的性質、會依據這一性質嫻熟地化

簡二次根式、

3、培育學生合情推理實力。

教學過程

一、復習提問

1、什么叫做二次根式下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根

式

^160^/-130輛,

2、二次根式有哪些性質計算下列各題：

4(0.5)，y[144(市Y'N(-5。

二、提出問題，導入新知

1、試一試

計算：⑴W><^25=()=()

^4X25=()=()

(2)標X79=()二()

[16X9=()=()

提問：視察以上計算結果，你能發覺什么

2、思索

色X小與花^是否相等

提問：(1)你將用什么方法計算

(2)通過計算，你發覺了什么是否與前面試一試的結果一樣

3、概括

讓學生視察以上計算結果、歸納得出結論：mX小個師(a

20,b20)

留意，a,b必需都是非負數，上式才能成立。

三、舉例應用

例1、計算。

SX乖$X^32

說明：二次根式運算的結果，應當盡量化簡、如(2)結果不要寫

成亞,而應化簡成4。

等式mX第勾aXb(a20,b20),也可以寫成［而=G

(a20,b20)

利用它可以進行二次根式的化簡，例如：亞=ypX;

=yj(a2)2y/b=a2yfb

例2、化簡

V12M

說明：(1)假如一個二次根式的被開方數中有的因式(或因數)能開

得盡方，可以利用積的算術平方根的性質，將這些因式(或因數)開出

來，從而將二次根式化簡；（2）在化簡時，一般先將被開方數進行因

式分解或因數分解.，然后就將能開得盡方的因式（偶次方因式）或因數

用它們的算術平方根代替，移到根號外，也就是開出方來。

四、課堂練習

1、計算下列各式，將所得結果化簡：

小X#y[3aX:15a

2、P12頁練習1（1）、（2）、2

五、想一想

1、X^/b'X#與一?b?c是否相等a、b、c有什么限制

請舉一個例子加以說明。

2^y/a?b?c等于/義@X/嗎

3、化簡：-ah"

六、小結

這節課我們學習了以下學問：

1、二次根式的乘法運算法則，即萌X#（a^O,b

20）

2、積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積，即

yja?b=y[a（a5^0,b>0）........）

要特殊留意，以上（1）、（2）中，a、b必需都是非負數，假如a、

b中出現了負數，等式就不成立、想一想，4（—4）X（—9）=V-4

x/W成立嗎為什么

3、應用（1）、（2）進行計算和化簡，在計算和化簡中，復習了性質

yp=a(aN0),加深了對非負數a的算術平方根的性質的相識、

七、作業

習題22.2第2、(1),(2)題，第3、⑴、(2)題、第4題

教學后記：

其次課時二次根式的乘除法

教學目標

1、使學生駕馭二次根式的除法運算法則，會用它進行簡潔的二

次根式的除法運算。

2、使學生了解兩個二次根式的商仍舊是一個二次根式或有理式。

3、使學生會將分母中含有一個二次根式的式子進行分母有理化、

4o經驗探究二次根式的除法運算法則過程，培育學生的探究精

神和合作溝通的習慣。

教學過程

一、創設問題情境

問題1上一節課，我們實行什么方法來探討二次根式的乘法法

則

問題2是否也有二次根式的除法法則呢

問題2兩個二次根式相除，怎樣進行呢

二、加強合作，探究規律

讓抽象的問題詳細化，這是我們探討抽象問題的一個重要方法、

請同學們參考二次根式的乘法法則的探討，分組探討兩個二次根式相

除，會有什么結論，并提出你的見解，然后其他小組同學補充，歸納

為：

y[a_[a

忑一行

提問：

1、a和b有沒有限制假如有限制，其取值范圍是什么

4a

2、(a^O,b>0)成立嗎為什么請舉例。

忑

三、范例

例1、計算。

V15V24

正訪

教學要求：(D對于⑴可由老師解答示范；(2)對于⑵可由學生

自己計算。

提問：

1、除了課本中的解答外，是否還有其他解法假如有，請給出另外

解法。

2、哪種方法更簡便

例2、化簡白:(要求分母不帶根號)

說明：二次根式的化簡要求滿意以下兩條：

(1)被開方數的因數是整數，因式是整式，也就是說“被開方數

不含分母”。

(2)被開方數中不含能開得盡的因數或因式，也就是說“被開方

數的每一個因數或因式的指數都小于2”。

把一個二次根式化簡的詳細方法是：化去根號下的分母；并把被

開方數中能開得盡方的因數或因式用它的算術平方根代替后移到根

號外面。

四、做一做

化簡；

V5V20

教學要點：(D叫兩位同學板演，其他同學做完練習進行評價、(2)

可用提問的方式引導學生探究其他解法。

五、課堂練習

P12練習1、⑶、(4)

六、小結

本節課，我們學習了二次根式的除法法則，即(a20,

1T

b>0),并利用它進行計算和化簡。化簡要做到“被開方數不含分母”

和“被開方數的每一個因數或因式的指數都小于2"。詳細方法是:

化去根號下的分母；并把被開方數中能開得盡方的因數或因式用它的

算術平方根代替后移到根號外面、化簡的詳細方法可用于計算。

七、作業

P14頁習題22.22(3)、3(3)

教學后記:

22.3二次根式的加減法

教學目標

1、使學生知道什么是同類二次根式，會辨別兩個根式是否同類

二次根式.

2、使學生會通過合并同類二次根式，進行二次根式的加法與減

法運算.

3、使學生通過二次根式的加減，進一步了解歸類的思想方法.

教學過程

一、創設問題情境

1、化簡：

平平取小

2.試一試計算：

3^/5—2^53-\/a+

二、做一做

1.視察以上兩道計算題，你聯想到什么

讓學生類比、聯想，探討、溝通，然后舉手回答，老師歸納，評

價.

2.你能試著解決它嗎

讓學生動手計算，激勵學生加強合作，同桌，上下桌同學可以相

互溝通，并請兩位同學上臺板演，老師進行講評.

上面兩個例子表明.遇到兩個二次根式相加(或加減)時，我們希

望利用安排律.這里利用安排律的實質是要求這兩個二次根式的被開

方數相同.這種類似的狀況我們過去也遇到過：將兩個單項式相加，

假如想利用安排律的話，那就應當要求兩個單項式除了系數以外，其

余部分完全相同.這就啟發我們，類似在整式的加減中依靠“同類項”

那樣，能不能在二次根式的加減中，也依靠一種“同類二次根式”呢

3.同類二次根式

像公用和一2仍，3m和26這樣的兩個二次根式，稱為同類二

次根式.

說明：(1)被開方數相同.問：4?鄧與3亞是不是同類二次

根式

(2)二次根式不能再化簡.

(3)與二次根式的系數無關.

(4)你還能說出幾個與3福同類的二次根式嗎

三、舉例與應用

二次根式的加減，與整式的加減相類似，只需對同類二次根式進

行合并.

例1：計算3\也+$一2地—3:

例2.計算/+ym+W

提問：

1.這里三個加項中有同類二次根式嗎

2.能否將它優化簡

化簡狀況詳見上面，可以發覺，有些二次根式是同類二次根式，

而有些不是，將同類二次根式合并，就可以得到最終的結果。

小結：先化簡，再合并同類二次根式。

例3.計算：

(1)^50+^32(2)^27-2^3+^45

讓學生試試看，完成例3的計算.

四、課堂練習

P14頁練習1、2；思索：P14頁打開計算黑盒。

五、小結

這節課，我們學習了同類二次根式概念，同類二次根式必需滿意

兩個條件：(1)它們都是最簡二次根式，(2)它們被開方數必需完全相

同.同時，我們還學習了二次根式的加法與減法運算。通過運算我們

知道，二次根式相加減的實質就是合并同類二次根式。為了確認哪些

二次根式是同類二次根式，我們先要把被確認的二次根式都化成最簡

二次根式，再按它們的被開方數是否完全相同去推斷.

六、作業

習題22.33(4)(5)

教學后記:

第23章一元二次方程

23.1一元二次方程

教學目標：

1、知道一元二次方程的定義，能嫻熟地把一元二次方程整理成

一般形式a小+bx+c=。WO）

2、在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學

模型（一元二次方程）的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量

關系的工具，增加對一元二次方程的感性相識。

3、會用試驗的方法估計一元二次方程的解。

重點難點：

1.一元二次方程的意義與一般形式，會正確識別一般式中的“項”

與“系數”。

2.理解用試驗的方法估計一元二次方程的解的合理性。

教學過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區住宅設計，打算在每兩幢樓房之間，開拓面

積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的

長和寬各為多少？

分析；設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得X2+10X-900=0.(1)

2.問題2

學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預料到明年年底增加到7.2萬冊.

求這兩年的年平均增長率.

解：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數是

5萬冊，則今年年底的圖書數是5(1+x)萬冊；同樣，明年年底的

圖書數又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2

萬冊.可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+10X-2.2=0.(2)

3.思索、探討

這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程(1)和(2).明顯，這兩

個方程都不是一元一次方程.則這兩個方程與一元一次方程的區分在

哪里？它們有什么共同特點呢？

(學生分組探討，然后各組溝通)共同特點：

(1)都是整式方程

(2)只含有一個未知數

(3)未知數的最高次數是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個整式方程中都只含有一個未知數：并且未知數的最高次數是

2,這樣的方程叫做一元二次方程).通常可寫成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0(a>b、c是已知數，aWO)。其中a一叫做二次項，。叫

做二次項系數；祗叫做一次項，人叫做一次項系數，。叫做常數項。.

三、例題講解與練習鞏固

L例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

X-212

_、---------1=

(1)3x+2=5x-3(2)r=4(3)2(4)

22

X-4=(X+2)

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、

一次項系數和常數項：

1)6y2=),2)(x-2)(x+3)=83)(X+3)(3x一%=(x+2)2

說明：一元二次方程的一般形式以、以+c=()(〃W0)具有兩個

特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項系數不能為0o此外

要使學生意識到：二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數

項都是包括符號的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二

次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學探討，再由老師歸納。

解：當〃W2時是一元二次方程；當。=2,人士。時是一元一次方程;

4.例4已知關于x的一元二次方程(mT)x'+3x-5ni+4=0有一根為2,

求IHo

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、

一次項系數和常數項

2/=2-3x2x(x-l)=3(x-5)-4(2y-1)?-(y+葉=(y+3燈-2)

練習二關于X的方程舊-3)/+以+機=°,在什么條件下是一元二

次方程？在什么條件下是一元一次方程？

本課小結：

1、只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫

做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為以2+打+”。(〃H0),一元二次方程

的項與系數都是依據一般式定義的，這與多項式中的項、次數與其系

數的定義是一樣的。

3、在實際問題轉化為數學模型(一元二次方程)的過程中，體會

學習一元二次方程的必要性和重要性。

布置作業：課本習題23.11、2、3

教學后記:

23.2一元二次方程的解法

第一課時一元二次方程的解法

教學目標：

1、會用干脆開平方法解形如心一心2=〃(aWO,abNO)的方程;

2、敏捷應用因式分解法解一元二次方程。

3、使學生了解轉化的思想在解方程中的應用，滲透換遠方法。

重點難點：

合理選擇干脆開平方法和因式分解法較嫻熟地解一元二次方程，理解

一元二次方程無實根的解題過程。

教學過程：

問:怎樣解方程("+1)'=256的?

讓學生說出作業中的解法，老師板書。

解：1、干脆開平方，得x+1二±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可變形為

(x+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+l-16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例題講解與練習鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2-9=0.

分析兩個方程都可以轉化為公一4二〃(a#0,ab20)

的形式，從而用干脆開平方法求解.

解(1)原方程可以變形為

(x+1)’=4,

干脆開平方，得

x+l=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以變形為

有.

所以原方程的解是xl=,x2=.

2、說明：（1）這時，只要把3+1）看作一個整體，就可以轉化為

（〃20）型的方法去解決，這里體現了整體思想。

3、練習一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0；(2)(X-1)2-18=0；

(3)(1—3X)2=1；(4)(2x+3)2—25=0.

三、讀一讀

四、探討、探究：解下列方程

(1)(x+2)2=3(x+2)(2)2y(y-3)=9-3y

(3)(x-2)2—x+2=0

222

(4)(2X+1)=(X-1)(5)x-2^+1=49o

本課小結：

1、對于形如卜="（aW0,ab20）的方程，只要把“一口看作一

個整體，就可轉化為/=〃（n20）的形式用干脆開平方法解。

2、當方程出現相同因式（單項式或多項式）時，切不行約去相同因

式，而應用因式分解法解。

布置作業：課本第37頁習題1（5、6）、P38頁習題2（1、2）

教學后記：

其次課時一元二次方程的解法

教學目標：

1、駕馭用配方法解數字系數的一元二次方程.

2、使學生駕馭配方法的推導過程，嫻熟地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應用過程中體會“轉化”的思想，駕馭一些轉化的技

臺匕

目匕。

重點難點：

使學生駕馭配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程轉化為(X+P)2=4

教學過程：

一、復習提問

解下列方程，并說明解法的依據：

22

(1)3-2x2=1(2)(x+1)一6=0(3)(工一2)-1=0

通過復習提問，指出這三個方程都可以轉化為以下兩個類型：

x2=z?(z?>o)^n(x-?)2=z?(z?>o)

依據平方根的意義，均可用“干脆開平方法”來解，假如b<0,方

程就沒有實數解。

如(1)2=-2

請說出完全平方公式。

(x+a)2=x2+2OY+Q2

(x-6?)-=x2-2cvc+a2

二、引入新課

我們知道，形如丁-A=。的方程，可變形為F=4AN0),再依據

平方根的意義，用干脆開平方法求解.則，我們能否將形如/+瓜+c=()

的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節課要解決的問

題.

三、探究:

1、例1、解下列方程：

』+2x=5；（2）f—4x+3=0.

思考

能否經過適當變形，將它們轉化為

（）2二a的形式，應用干脆開方法求解？

解（1）原方程化為V+2x+l=6,（方程兩邊同時加上1）

(2)原方程化為/—4x+4=-3+4（方程兩邊同時加上

4)

三、歸納

上面，我們把方程V—4x+3=0變形為（］-2）2=1,它的左邊是一個

含有未知數的完全平方式，右邊是一個非負常數.這樣，就能應用干

脆開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

留意到第一步在方程兩邊同時加上了一個數后，左邊可以用完全平方

公式從而轉化為用干脆開平方法求解。

則，在方程兩邊同時加上的這個數有什么規律呢?

四、試一試：對下列各式進行配方：

x2+8x=(x+)2.X2-10A=(x+)2

9

x2-5x+=(x-)2.x2-9x+=(x-)2

9

23,、2

X~X+=(X—)2i/\2

2----------.x+bx+=(x+)

通過練習，使學生相識到；配方的關鍵是在方程兩邊同時添加的常數

項等于一次項系數一半的平方。

五、例題講解與練習鞏固

1、例2、用配方法解下列方程：

(1)^2-6X-7=0；(2)f+3x+l=

0.

2、練習：

①.填空：

2

(1)Y+6x+()=(『(2)X-8X+()=(x-)

2

(3)/+x+()=(x+)2；(4)4d—6x+()=4(x

-)2

②用配方法解方程：

(1)F+8X—2=0(2)/一5x—6=0.

(3)X2+7^-6X

六、試一試

用配方法解方程x2+px+q=0(p2—4q^0).

先由學生探討探究，老師再板書講解。

解：移項，得x2+px=-q,

P_P_P_

配方，Wx2+2?x?2+(2)2=(2)2—q,

P_P?-4q

即(x+2)2=4

因為p2—4q》0時，干脆開平方，得

P_J〃2_4g

x+'=±2-.

P_"-4q

所以X=-2±-2一,

-p±y]p2-4q

即x=2.

思考.：這里為什么要規定p2—4q20?

七、討論

1、如何用配方法解下列方程？

4X2-12X-1=0;

請你和同學探討一下：當二次項系數不為1時，如何應用配方法？

2、關鍵是把當二次項系數不為1的一元二次方程轉化為二次項系數

為1的一元二次方程。

先由學生探討探究，再老師板書講解。

解：(1)將方程兩邊同時除以4,得X2-3X-1=0

4

移項，得x2-3x=i

4

配方，得x2—3x+(3)2=_L+(3)2

242

即(x—3)2=3

22

x—」巫

干脆開平方，得

22

3+加

所以

22

3+7103-710

所以x】=2,X2=2

3,練習：用配方法解方程:

2

(1)2x-7x-2=0(2)3X2+2X-3=0.

(3)2x2-+5=0(原方程無實數解)

本課小結：

讓學生反思本節課的解題過程，歸納小結出配方法解一元二次方

程的步驟：1、把常數項移到方程右邊，用二次項系數除方程的兩邊

使新方程的二次項系數為1;2、在方程的兩邊各加上一次項系數的

一半的平方，使左邊成為完全平方；

假如方程的右邊整理后是非負數，用干脆開平方法解之，假如右邊是

個負數，則指出原方程無實根。

布置作業：

P38頁習題2.(3)、(4)、(5)、(6),354.(1)、(2)

教學后記:

第三課時一元二次方程的解法

教學目標：

1、使學生嫻熟地應用求根公式解一元二次方程。

2、使學生經驗探究求根公式的過程，培育學生抽象思維實力。

3、在探究和應用求根公式中，使學生進一步相識特殊與一般的關系,

滲透辯證唯物廣義觀點。

重點難點：

1、難點：駕馭一元二次方程的求根公式，并應用它嫻熟地解一元二

次方程；

2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較困

難，不易記憶；系數和常數為負數時，代入求根公式常出符號錯誤。

教學過程：

一、復習舊知，提出問題

1、用配方法解下列方程:

3X2-12X+-=0

(1)/+]5=10式(2)3

2、用配方解一元二次方程的步驟是什么？

3、用干脆開平方法和配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否

探討出一種更好的方法，快速求得一元二次方程的實數根呢？

二、探究同底數事除法法則

問題1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程"、云+c=°（"°）

2

+b2_b-^ac

轉化為二面呢？

老師引導學生回顧用配方法解數字系數的一元二次方程的過程，讓學

生分組探討溝通，達成共識：

因為。工。，方程兩邊都除以。，得

x2+-x+-=0

aa

移項，得

bc

x2+—x=——

aa

配方，得

，_b.b,bc

x-+2?x?一+(—r2=(—)-一一

2a2a2aa

b，b2-4ac

(x-F—)■=

即2a

b1-4ac

問題2：當從-4〃c“，且"0時，4布大于等于零嗎？

讓學生思索、分析，發表看法，得出結論：當〃2-4或2。時,

止40

因為"。，所以4/＞（）,從而4/-。

問題3:在探討問題1和問題2中，你能得出什么結論？

讓學生探討、溝通，從中得出結論，當6-4妝2。時，一般形

b,yJb2-4ac

式的一元二次方程渥+云+c=°（"°）的根為2/一2a,即

-b±\/b2-4ac

由以上探討的結果，得到了一元二次方程泳+。=°（"°）的求

-b±\Jb:-4ac

根公式：2a（^-4^＞（））

這個公式說明方程的根是由方程的系數。、6、c所確定￡勺，

利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數〃、〃、。的值，干脆

求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

思索：當后-4〃讓0時，方程有實數根嗎？

三、例題

例1、解下列方程：

1、2X2+X-6=0.2、X2+4X=2.

3、5X2-4X-12=0.4、4x2+4.r+10=l-8.v

教學要點：（1）對于方程（2）和（4）,首先要把方程化為一般形式;

（2）強調確定。、葭c值時，不要把它們的符號弄錯；

（3）先計算4枇的值，再代入公式。

例2、（補充）解方程f-x+l=0

解:這里。="H,。=1,

/72-4r/c=（-l）2-4xlxl=-3＜0

因為負數不能開平方，所以原方程無實數根。

讓學生反思以上解題過程，歸納得出：

當從一4碇＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當從一44=0時，方程有兩個相等的實數根；

當〃2-4呢＜0時，方程沒有實數根。

四、課堂練習

1、P35練習。

2、閱讀P39“閱讀材料”。

小結：

依據你學習的體會，小結一下解一元二次方程一般有哪幾種方法？通

常你是如何選擇的？和同學溝通一下。

作業：

P38習題4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）,5。

教學后記:

第四課時一元二次方程的解法

教學目標：

1、使學生能依據量之間的關系，列出一元二次方程的應用題。

2、提高學生分析問題、解決問題的實力。

3、培育學生數學應用的意識。

重點難點：

仔細審題，分析題中數量關系，適當設未知數，找尋等量關系，布列

方程是本節課的重點，也是難點。

教學過程：

一、復習舊知，提出問題

1、敘述列一元一次方程解應用題的步驟。

2、用多種方法解方程（3XT）W+6X+9

讓學生嘗試用多種方法解方程，歸結為：

解法1:將方程化為（3XT）2=（?3）2,干脆開平方，得3x-l=±（x+3）

解得百二2,"一，。

,x1-—x-1=0

解法2：將方程化為一般形式2廠-3x-2=0,進而轉化為2,

用配方法可求方程的解。

解法3：將方程化為一般形式2￡-31-2=0,用公式法求解，其中

2

b-4ac=(-3)2-4x2x(-2)=25o

提問：用哪種方法解方程(3xT)W+6x+9更簡便？

3、現在，你能解決§22.1的問題1了嗎？

二、解決問題

請同學們先看看P26頁問題1,要想解決§22.1的問題1,首先要解

方程V+lOx-900=0,同學傘能解這個方程嗎？

讓學生動手解題并口答結果：再=-5-5后，毛=-5+5收

提問：

1、所求王、馬都是所列方程的解嗎？

2、所求為、％都符合題意嗎？

讓學生思索、分析，真正理解負數根不符合題意，應舍去符合題意的

解是：

為=-5+5而d25.4

x+10。35.4

3.1和2說明白什么問題？

讓學生溝通探討、體會到把實際問題轉化為數學問題來解決，求得方

程的解，不確定是原問題的解答，因此，要留意是檢驗解是否符合題

“E、o

作為應用題，還應作答。

三、例題

例1.如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要

在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，

使它的底面積為800平方米.求截去止方形的邊長。

解：設截去正方形的邊長x厘米，底面(圖中虛線線部分)長等于

厘米，寬等于厘米，§底面=o

請同學們自己列出方程并解這個方程，探討它的M_________U

解是否符合題意。Ij\\

由學生回答解題過程，老師板書：口一門

解設截去正方形的邊長為x厘米，依據題意，得

(60-2x)(40-2x)=800

解方程得

X)=10x2=40

經檢驗，%=40不符合題意，應舍去，符合題意的解是凡二1。

答：截去正方形的邊長為10厘米。

四、課堂練習

P36練習1、2

小結：

讓學生反思、歸納、總結，應用一元二次方程解實際問題，要仔細審

題，要分析題意，找出數量關系，列出方程，把實際問題轉化為數學

問題來解決。求得方程的解之后，要留意檢驗是否任命題意，然后得

到原問題的解答。

作業：

P38習題5、6、7

教學后記:

第五課時一元二次方程的解法（六）

教學目標：

1、使學生會列出一元二次方程解有關變更率的問題。

2、培育學生分析問題、解決問題的實力，提高數學應用的意識。

重點難點：

本節課的重點和難點都是列出一元二次方程，解決有關變更率的實際

問題。

教學過程：

一、創設問題情境

百分數的概念在生活中常常見到，而量的變更率更是經濟活動中常常

接觸，下面，我們就來探討這樣的問題。

問題：某商品經兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的

百分率一樣。求每次降價的百分率。（精確到0.1%）

二、探究解決問題

分析：“兩次降價的百分率一樣”，指的是第一次和其次次降價的

百分數是一個相同的值，即兩次按同樣的百分數削減，而削減的確定

數是不相同的，設每次降價的白分率為X,若原價為〃，則第一次降

價后的零售價為〃一以=々（1一招，又以這個價格為基礎，再算其次次降

價后的零售價。

思索：原價和現在的價格沒有詳細數字，如何列方程？請同學們

聯系已有的學問探討、溝通。

解設原價為1個單位，每次降價的百分率為X.依據題意，得

（1-x）2=1

2

解這個方程，得

2士行

x=2

2+0

由于降價的百分率不行能大于1,所以不符合題意，因此

符合本題要求的x為

2-V2

2^29.3%.

答：每次降價的百分率為29.3%.

三、拓展引申

某藥品兩次升價，零售價升為原來的1.2倍，已知兩次升價的

百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到0.1%）

解，設原價為，元，每次升價的百分率為心依據題意，得

6Z（14-X）2=1.2〃

解這個方程，得

-1土叵

5

I.叵

由于升價的百分率不行能是負數，所以5不符合題意，因此

x=-l+—^9.5%

符合題意要求的I為5

答：每次升價的百分率為9.5%。

四、鞏固練習

P37練習1、2

小結：

關于量的變更率問題，不管是增加還是削減，都是變更前的數據為基

礎，每次按相同的百分數變更，若原始數據為。，設平均變更率為3

經第一次變更后數據為〃（1±幻；經其次次變更后數據為在依

題意列出方程并解得X值后，還要依據。＜工＜1的條件，做符合題意的

解答。

作業：

P38習題8、9

教學后記:

23.3實踐與探究（一）

教學目標：

1、學生在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中的實際

工資問題進行數學建模解決問題，從而進一步體會方程是刻畫現實世

界的一個有效數學模型。

2、讓學生主動主動參與課堂自主探究和合作溝通，并在其中體驗發

覺問題、提出問題與解決問題的全過程，培育學生的數學應用實力。

3、學生感受數學的嚴謹性，形成實事求是的看法與進行質疑和激發

思索的習慣；獲得勝利的休驗和克服困難的經驗，增進應用數學的自

信念。

重點難點：

1、重點：利用一元二次方程對實際問題進行數學建模，從而解決實

際問題。

2、難點：學生分析方程的解，自主探究得到解決實際問題的最佳方

案。

教學過程：

一、鞏固舊學問

1、解方程X'70X+825=0,并敘述解一元二次方程的解法。

2、說說你對實踐問題的解決時，有何閱歷，有何體會？

二、創設問題情境

小明把一張邊長為1。的的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大

小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。

（1）假如要求長方體的底面面積為81cm2,則剪去的正方形邊長

為多少？

（2）假如按下表列出的長方體底面面積的數據要求，則剪去的正方

形邊長會發生什么樣的變更？折合成的長方體的體積又會發生什么

樣的變更？

三、嘗試解決問題

1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板中的什么量有關

系？

（長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系）

2、長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存在什么關

系？

（長方形的底囹止方形的邊長等十止方形硬紙板的邊長減去剪去的

小正方形邊長的2倍）

3、你能否用數量關系表示出這種關系呢？并求出剪去的小正方形

的邊長。

解：設剪去的正方形邊長為依題意得：

（107）2=81

10-x=±9

Xj=1x2=9

因為正方形硬紙板的邊長為I。。"，

所以剪去的正方形邊長為卜加。

4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的K么量有關系？求出此時長

方體的體積。

（長方體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形的邊長一樣；體

積為81xl=81c"）

5、完成表格，與你的同伴一起溝通，并探討剪去的正方形邊長發生

什么樣的變更？折合成的長方體的體積又會發生什么樣的變更？

6、在你視察到的變更中、你感到折合而成的長方體的體積會不會有

最大的狀況？以剪去的正方形的邊長為自變量，折合而成的長方體體

積為函數，并在直角坐標系中畫出相應的點，看看與你的感覺是否一

樣。

四、試一試

如圖，必友:的邊8C=8a72,高AM=6C〃2,長方形DEFG的一邊EF

落在BC上,頂點D、G分別落在AB和AC上，假如這長方形面積"c”,

試求這長方形的邊長。

五、拓展練習

什么狀況下，長方形的面積最大。

小結：

1、談談本節的收獲。

2、談談本節的體會。

3、談談本節的懷疑。

作業：

P42習題1

教學后記:

23.3實踐與探究（二）

教學目標;

1、使學生利用一元二次方程的學問解決實際問題，學會將實際問題

轉化為數學模型。

2、讓學生經驗由實際問題轉化為數學模型的過程，領悟數學建模思

想，體會如何找尋實際問題中等量關系來建立一元二次方程。

3、通過合作溝通進一步感知方程的應用價值，培育學生的創新意識

和實踐實力，通過溝通互動，逐步培育合作的意識與嚴謹的治學精神。

重點難點：

1、重點：列一元二次方程解決實際問題。

2、難點：找尋實際問題中的相等關系。

教學過程：

一、考考你

1、有一個兩位數，它的十位上的數學字比個位上的數字大3,這兩

2

個數位上的數字之積等于這兩位數的彳.求這個兩位數C（這個兩位

數是63）

2、如圖，一個院子長1。。〃，寬8cm,要在它的里沿三邊辟出寬度相等

的花圃，使花圃的面積等于院子面積的3。％,試求這花圃的寬度。（花

圃的寬度為山?）

二、創設問題情境

陽江市市政府考慮在兩年后實現市財政凈收入翻一番，則這兩

年中財政凈收入的平均年增長率應為多少？

三、嘗摸索究，合作溝通，解決問題

1、翻一番，你是如何理解的？

（翻一番，即為原凈收入的2倍，若設原值為1,則兩年后的

值就是2）

2、“平均年增長率”你是如何理解的。

（“平均年增長率”指的是每一年凈收入增長的百分數是一個

相同的值。即每年按同樣的百分數增加，而增長的確定數是不相同的）

3、獨立思索后，小組溝通，探討。

4、展示成果，相互補充。

解：設平均年增長率應為3依題意，得

（1+x）2=2

i+X=±y/2

%1=\/2-1=-x/2-1

玉=0.414,x2=-3.414

因為增長率不能為負數

所以增長率應為41.4%。

四、拓展應用

若調整支配，兩年后的財政凈收入值為原值的L5倍、1.2倍、…，

則兩年中的平均年增長率相應地調整為多少？

又若其次年的增長率為第一年的2倍，則第一年的增長率為多少時可

以實現市財政凈收入翻一番？

獨立思索完成后，與同伴溝通，老師分析示范與學生溝通。

五、做一做

1、某鋼鐵廠去年1月某種鋼產量為5000噸,3月上升到7200噸，

這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

2、某種藥品，原來每盒售價96元，由十兩次降價；現在每盒售價

54元。平均每次降價百分之幾？

小結：

談談你對本節所探討的學問有何體會，你能否結合你的體會編制一道

應用題，在小組內溝通。請一些小組展示成果。

作業：

P42習題2、3、4、5

教學后記:

23.3實踐與探究(三)

教學目標：

1、引導學生在已有的一元二次方程解法的基礎上，探究出一元二次

方程根與系數的關系，與其此關系的運用。

2、通過視察、實踐、探討等活動，經驗從發覺問題，發覺關系的過

程。

3、在主動參與數學活動的過程中，初步體驗發覺問題，總結規律的

看法以與養成質疑和獨立思索的習慣。

重點難點：

1、重點：啟發學生，視察數字系數的一元二次方程的兩個根之和，

與兩個根之積與原方程系數之間的關系，猜想一般性質、指導學生用

求根公式加以確證。

2、難點：對根與系數這一性質進行應用。

教學過程：

一、提出問題

解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，你發覺表格中兩個解的

和與積和原來的方程有什么聯系？

(1)X2—2x=0；(2)x2+3x—4=0；(3)x2—5x+6=0

方程

XIX2勺+“2x\-x2

二、嘗摸索究，發覺規律

1、完成如上表格。

2、猜想一元二次方程的兩個解的和與積和原來的方程有什么聯系？

小組溝通。

同學各抒已見后，老師總結：兩個根的和等于一元二次方程的一次項

系數的相反數，兩個根的積等于一元二次方程的常數項。

3、一般地，對于關于1方程V+PX+4=°（PM為已知常數，獷-4夕20）,

試用求根公式求出它的兩個解xl、X2,算一算xl+x2、xl?x2的值,

你能得出什么結果？與上面發覺的現象是否一樣。

b1-4ac=p2-4（y

-p±/p2-4q

A一

2

+P2_-p-y]p2

X=--6二"

2-2

—p+Jp，-4q—p—Jp--4q__p+P~~P~JP_4q

Xi+X、-----------+-----------=----------------------=—D

解：222

P+y]/—4q-p7P2_4qpf+（飛p"-4q『_

2=22=4F

所以與上面猜想的結論一樣。

三、學問應用

1、范例：

（1）不解方程，求方程兩根的和兩根的積:

①f+3x-l=0②2d-4x+l=0

解：①%+/=-3%.%=-1

②為+“2A|~~2

(2)已知方程5丁+米一6二0的一個根是2,求它的另一個根與女的值。

(3)不解方程，求一元二次方程2f+3x7=0兩個根的①平方和；②

倒數和。

-312-

(4)求一元二次方程，使它的兩個根是、了2O

解：所求方程是

f-(—3g+2；)x+(—3；)x(2》=0

525

X2T—X---=0n.

即63或6r+5無-50=0

2、鞏固練習

(1)下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？

2222

(l)x-3x4-1=0.(2)3x-2JT=2.(§)2x+3x=0.(4)3x=1.

(2)已知方程3f-19x+〃2=O的一個根是1,求它的另一個根與，〃的

值。

(3)設與應是方程2f+4.1-3=。的兩個根，不解方程，求下列各式的

值。

工工

①($+1)*2+1)；(2)芭馬

(4)求一個一元次方程，使它的兩個根分別為:

①4,-7；②1+石,1-6

(5)已知兩個數的和等于積等于2,求這兩個數

小結：

本節通過探究得出一元二次方程的解與系數存在的關系。并能敏捷地

用其解決方法解決一些問題。

作業：P42習題6

教學后記：

第24章圖形的相像

24.1相像的圖形

【教學目標】

一、學問目標

通過生活中的實例讓學生經驗、視察、操作、觀賞相識圖形的相

像，探究它的基本特征，理解“對應線段成比例但不確定相等，對應

角相等”等基本性質

二、實力目標

1.能依據移動兩個相像的圖形精確的找出對應角、對應線段.

2.能依據要求作出簡潔的平面圖形的相像圖形.

三、情感看法目標

學生通過經驗、視察、操作、觀賞，感受圖形的相像，讓學生自

己去體會生活中的相像，從而理解相像的概念，探究它的基本特征.學

會在實踐中發覺規律.

【重點難點】

重點：相像的基本特征是形態相同。

難點：找出相像圖形平移的對應角與對應力。

【教學設想】

課型：新授課

教學思路：：視察情境圖入手（激發學生的學習愛好，初步了解本章

內容：探究相像的圖形的特征與性質，并利用相像的性質解決實際生

活中的一些問題）一觀看生活實例（比例不同的兩張植物照片，大小

不同的兩張世界地圖，同一底板的兩張照片，放大鏡下的三角形的角，

一些圖案的設計.）一得出相像一視察相像的兩個圖形（找出對應頂

點、對應角、對應線段，視察它們的大小關系）。

【課時支配】1課時

【教學過程】

1.情境導入

播放多媒體一教材中的情境圖和教材第66頁中圖（或用投影幻

燈片或用教學掛圖展示）.視察相像是一種常見的幾何變換.相像變

換中的兩個特征是：對應角相等，對應邊成比例.

2.課前熱身

分組活動：（5分鐘）依據前面的多媒體演示，利用幾何本紙中方

格作圖并練習相像變形。

3、合作探究

（1）整體感知

通過一些相像的實例讓學生理解相像的概念.教學中充分讓學生

去感受生活中的相像圖形，讓學生自己去體會生活中的相像，從而理

解相像的概念本章主要探討相像多邊形和三角形，所以本節中所舉例

子大部分都是平面圖形相像的例子，對于立體圖形相像的狀況，教學

中可適當讓學生感受，不必過多的綻開.教材中的第66頁“試一試”

讓學生依據直覺畫出與原四邊形相像的圖形是為了后面探究相像多

邊形的特征埋下伏筆.領悟相像形的兩個特性：①對應角相等；②對

應邊成比例（在相像比等于1時稱這兩個圖形全等）.發展學生的審

美實力、鑒賞實力

（2）四邊互動

互動1：

師：從情境圖中你發覺哪些圖形之間是相像的？

生：思索、溝通、動手.

明確：相像是繼平移、旋轉與對稱變換之后乂一常見現象，直觀地了

解相像變

換過程中保持不變的量一角和變更的量一對應邊成比例.

老師展示投影：課本第64頁圖.讓學生視察圖形

互動2：

師：上圖中兩張照片上的植物的是同一植物的同底片照片，看它們有

何區分與聯系？

生：（以小組為單位進行探討并溝通）.

明確：相像變換過程中對應角保持相等，對應邊成比例。（板書：相

像的圖形）

這一節我們起先探討“圖形的相像二（板書）

學生視察圖形.

互動3

師：出示投影：課木第64頁中圖兩張世界地圖具有哪些相同點與不

同點？

生：（組織學生探討作答）

明確：相像形之間最基本的特征是形態相同。

互動4

師：出示投影：課本第65頁中圖18.L3.視察上述3組圖形中哪幾

組的兩個圖形相像？

生：回答略（學生在相互溝通后形成共識.）

明確：上述3組圖形均為相像形，再次確定相像是指形態相同。

互動5

師：出示投影：課本第65頁中圖視察上述3組圖形中哪幾組的兩個

圖形相像？

生：回答略.（學生與同桌相互溝通后賜予回答.）

明確：上述3組圖形形相像，從而讓學生感悟兩組圖形何時相像，何

時不相像。

互動6：

師：出示投影：課本第66頁圖.請同學們拿取紙和筆畫出與上圖左邊

相像的幾何圖形.

生：個人作圖分組溝通，全班抽樣展覽.

明確：作相像圖形時把握對應角相等，對應邊成比例.

4、達標反饋

課本第66頁練習題第八、2題（還可以補充3?5分鐘習題）

5、學習小結

（1）內容總結

①相像定義在平面內，假如兩個圖形的形態相同，我們就稱這兩

個圖形相像。

②作相像圖形必需做到對應角相等、對應邊成比例。

（2）方法歸納

學會動手畫已知圖形的相像圖形，視察總結規律；重在培育學生的合

作、溝通與探究的實力。

6、實踐活動：（1）找一些生活中存在的相像的實例；（2）利用幾何

作業本小方格紙回一個圖形，然后放在2倍和縮小為原來的一半。（3）

請為班級黑板報設計一個利用相像變換制作的一組有意義的圖案，并

作簡潔的說明。

教學后記:

24.2相像圖形的特征

【教學目標】

一、學問目標

1.通過詳細實例相識相像圖形的特征.

2.從實踐中得出相像圖形的性質.

3.了解線段的比、成比例線段，會推斷已知線段是否成比例，了

解黃金分割.

4.理解相識兩個相像圖形對應角相等，對應邊成比例.

5.駕馭在頂點格作簡潔圖形的相像形.

二、實力目標

L經驗對相像圖形進行視察、分析、動手操作、畫圖、側量和計

算等過程，得出相像圖形的性質.

2.能夠依據要求作出簡潔平面圖形的相像圖形.

3.經驗探究圖形之間的變換過程，發展圖形分析實力，化歸意識

和綜合運用變換解決有關問題的實力.

三、情感看法目標

學生通過經驗、視察、操作、觀賞，感受圖形的相像，讓學生自

己去體會生活中的相像，從而理解相像的概念，探究它的基本特

征.學會在實踐中發覺規律.

【重點難點】

重點：理解相像圖形的基本性質，相識相像圖形，止確地找出相像圖

形的對應頂點、對應角和對應邊。。

難點：運用作圖的步