第1頁/共1頁2024-2025學年廣東省陽江市高一（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，結合交集的定義求結論.詳解】集合，故.故選：C.2.下列區間中，一定包含函數的零點的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據零點存在定理求解即可．【詳解】因為定義域為R，且連續，，所以函數的零點所在區間為故選：C.3.小明同學在公園散步時，對公園的扇形石雕（圖1）產生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據扇形面積公式即可求解．【詳解】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，則扇形面積為故選：A.4.已知，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知根據不等式的乘法性質求出的范圍，再同向相加即可得結論．【詳解】因為，所以，所以.故選：D.5.“是第四象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結合三角函數的定義檢驗充分必要性即可求解．【詳解】當是第四象限角時，，則一定成立，即充分性成立；當時，與異號，此時為第三或第四象限，即必要性不成立，所以“是第四象限角”是“”充分不必要條件.故選：A6.已知冪函數在上單調遞增，則函數的單調遞增區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由冪函數的定義與性質求解值，再由復合函數的單調性得答案．【詳解】由函數是冪函數，且在上單調遞增，得，解得：函數，由，解得或，而函數在上單調遞增，且函數是定義域內的增函數，則函數的單調遞增區間為故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合指數函數，對數函數，正弦函數的單調性確定的范圍，即可比較的大小．【詳解】因為函數為增函數，又，所以，所以，函數為增函數，，所以，因為函數在上單調遞增，，所以，所以，所以，即故選：D.8.大部分大西洋蛙魚每年都要逆流而上游回出生地產卵.研究蛙魚的科學家發現蛙魚的游速單位：可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數.若蛙魚的游速每增加，則它的耗氧量的單位數是原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】【分析】設原來的游速為，則提速后的游速為，原來的耗氧量的單位數為，后來的耗氧量的單位數為，根據題意列方程組，能求出結果．【詳解】設原來的游速為，則提速后的游速為，原來的耗氧量的單位數為，后來的耗氧量的單位數為，則，所以，，故，所以若蛙魚的游速每增加，則它的耗氧量的單位數是原來的倍．故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各角中，與終邊相同的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知結合終邊相同角的關系檢驗各選項即可判斷．【詳解】，即與終邊相同，A正確；，即與終邊相同，B正確；，即與終邊不相同，C錯誤；，即與終邊相同，D正確．故選：ABD.10.已知，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.若，則【答案】BD【解析】【分析】舉出反例檢驗選項A；結合對數函數單調性檢驗選項B；結合函數單調性檢驗選項C；結合基本不等式檢驗選項D.【詳解】當，時，，A顯然錯誤；因為，所以，B正確；因為函數在單調遞增，所以函數在上單調遞增，當時，，即，C錯誤；若，則，當且僅當時取等號，顯然等號無法取得，D正確．故選：BD.11.已知函數，則（）A.是的一個周期B.的最大值為C.是非奇非偶函數D.關于的方程有無數個實數解【答案】ACD【解析】【分析】對于A，計算可得，可判斷A；利用輔助角公式可得，計算可知可得與不能同時取得最大值，可判斷B；計算可得，可判斷C；令，可得有無數個零點，可判斷D.【詳解】，所以是的一個周期，故A正確；，由，可得，當時，，此時，當時，，此時，當時，可得，當時，，此時，根據周期性可得與不能同時取得最大值，所以最大值小于，故B錯誤；，所以，所以是非奇非偶函數，故C正確；由，可得，所以，令，由，所以是以為周期的周期函數，又，，所以有無數個零點，從而可知關于的方程有無數個實數解，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則______.【答案】12【解析】【分析】將x的值代入函數解析式，即可求解.【詳解】函數，則故答案為：13.已知，則的值是__________【答案】2【解析】【分析】利用兩角和正切公式化簡即得結果.【詳解】因為，所以，因此【點睛】本題考查兩角和正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14.已知是定義在上的偶函數，對任意的當時，都有且，則不等式的解集為______.【答案】或【解析】【分析】先判斷函數的單調性，結合函數的單調性及奇偶性即可求解不等式．【詳解】因為對任意的當時，都有，所以在上單調遞增，因為是定義在R上的偶函數，根據偶函數的對稱性可知，在上單調遞減，因為，所以，由可得或，即或，解得或故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）計算：（2）若角的終邊經過點，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用有理數指數冪運算性質以及余弦函數的特殊值化簡即可求解；（2）利用任意角的三角函數的定義以及對數的運算性質化簡即可求解．【詳解】（1）原式；（2）由已知可得，則，所以16.已知函數滿足（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將原函數變形得出，然后即可得出的解析式；（2）根據指數函數的單調性即可得解．【小問1詳解】，；【小問2詳解】由得：，，，解得或，原不等式的解集為：或17.已知函數（1）證明：是偶函數.（2）若，求在上的零點.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，先分析函數的定義域，再分析、的關系，即可得答案；（2）根據題意，由求出的值，即可得的解析式，進而求函數的零點，即可得答案．【小問1詳解】函數，其定義域為，有，則為偶函數；【小問2詳解】若，即，解可得，故，若，即，解可得或舍，又由，則，即在上的零點為.18.已知函數，其圖象與直線相鄰兩個交點之間的距離為.（1）若，求在上的最大值；（2）對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可得，結合已知即可求解的值，從而可得解析式，由的取值范圍，結合正弦型函數的性質即可求解最大值；（2）根據和的取值范圍可得在上先增后減，由已知恒成立可得關于的不等式組，求解即可．【小問1詳解】令，解得，由已知得，解得，所以，當時，，因為，所以，又在上單調遞增，所以【小問2詳解】因為，所以又，所以，所以在上先增后減，所以即所以解得，故的取值范圍為19.已知函數的定義域為．若且，則稱是凹函數；若且，則稱是凸函數．（1）已知函數．①求的解析式；②判斷是凹函數還是凸函數，根據凹函數，凸函數的定義證明你的結論．（2）討論函數在定義域上的凹凸性.【答案】（1）①；②是凹函數，證明見解析（2）時，函數在定義域上為凸函數；時，函數在定義域上為凹函數【解析】【分析】（1）①利用配湊法，求函數解析