10.3抽樣方法、用樣本估計(jì)總體【考點(diǎn)梳理】1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．抽簽法(抓鬮法)：一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本．隨機(jī)數(shù)法：隨機(jī)數(shù)法就是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有操作簡(jiǎn)便易行的優(yōu)點(diǎn)，在總體個(gè)數(shù)不多的情況下是行之有效的．2．系統(tǒng)抽樣(1)一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進(jìn)行系統(tǒng)抽樣：①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)．有時(shí)可直接利用個(gè)體自身所帶的號(hào)碼，如學(xué)號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、門牌號(hào)等；②確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)，如果遇到eq\f(N,n)不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除；③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋k)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．(2)當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，常采用系統(tǒng)抽樣．3．分層抽樣(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．(3)分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的．4．用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示．各小長方形的面積總和等于1．(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比．(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．5．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或者最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．(2)樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s＝，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差很接近總體方差．考點(diǎn)一抽樣方法【例題】（1）某校期末考試后，為了分析該校高一年級(jí)800名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了80名學(xué)生的成績(jī)單，就這個(gè)問題來說，下列說法中正確的是（

）A．800名學(xué)生是樣本 B．每名學(xué)生是個(gè)體C．每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本 D．樣本容量是80【答案】D【解析】800名學(xué)生的成績(jī)單是總體，故A錯(cuò)誤；每個(gè)學(xué)生的成績(jī)單是個(gè)體，故B錯(cuò)誤；80名學(xué)生的成績(jī)單是所抽取的一個(gè)樣本，故C錯(cuò)誤；樣本容量是80，故D正確，故選：D.（2）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（

）A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)【答案】B【解析】選項(xiàng)A中總體中的個(gè)體數(shù)較大，樣本容量也較大，不適合用抽簽法；選項(xiàng)B中總體中的個(gè)體數(shù)較小，樣本容量也較小，且同廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品可視為攪拌均勻了，可用抽簽法；選項(xiàng)C中甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，不能滿足攪拌均勻的條件，不能用抽簽法；選項(xiàng)D中總體中的個(gè)體數(shù)較大，不適合用抽簽法，故選：B.（3）某校為了解高一年級(jí)學(xué)生的生涯規(guī)劃情況，在高一年級(jí)的6個(gè)班級(jí)中任選2個(gè)班級(jí)，并在所選班級(jí)中按男女比例抽取樣本，則應(yīng)采用的抽樣方法是（

）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．分層抽樣C．先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法 D．先用抽簽法，再用分層抽樣【答案】D【解析】先從6個(gè)班級(jí)中任選2個(gè)班級(jí)，因?yàn)榭傮w容量、樣本容量都比較小，所以用抽簽法更合理，再在所選班級(jí)中按男女比例抽取樣本，因?yàn)槟小⑴町惷黠@，所以用分層抽樣更合理，故A，B，C錯(cuò)誤，故選：D.（4）北京2022年冬奧會(huì)期間，某大學(xué)派出了100名志愿者，為了解志愿者的工作情況，該大學(xué)學(xué)生會(huì)將這100名志愿者隨機(jī)編號(hào)為1，2，…，100，再從中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，若所抽中的最小編號(hào)為3，則所抽中的最大編號(hào)為（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【解析】由題意知，派出了100名志愿者中，利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，可得間距為，因?yàn)樗闃颖局械淖钚【幪?hào)為，可得樣本中最大編號(hào)為，故選：C．（5）現(xiàn)要完成3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行衛(wèi)生檢查；②科技報(bào)告廳有座椅32排，每排40個(gè)座位，有一次報(bào)告會(huì)恰好坐滿了觀眾，抽取32位進(jìn)行座談；③某中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了解教職工對(duì)校務(wù)公開方面的意見，抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行調(diào)查（）A．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②系統(tǒng)抽樣③分層抽樣B．①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②分層抽樣③系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣③分層抽樣D．①分層抽樣②系統(tǒng)抽樣③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣【答案】A【解析】對(duì)于①總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②總體中的個(gè)體數(shù)較多，而且容易分成均衡的若干部分，選32人剛好32排，每排選一人，宜用系統(tǒng)抽樣；③總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分層抽樣，故選：A．（6）某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三抽取的人數(shù)是.【答案】【解析】高三應(yīng)抽取的人數(shù)為：人，故答案為：.【變式】（1）某市今年有6萬名學(xué)生參加高考，為了解6萬名學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以下表述中正確的是（

）A．6萬名考生是總體 B．每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是個(gè)體C．2000名考生是總體的樣本 D．2000名是樣本容量【答案】B【解析】對(duì)于A：總體是6萬名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī).本選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于B：個(gè)體是每名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī),本選項(xiàng)正確;對(duì)于C：樣本是2000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī),本選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：樣本容量是2000,而非2000名,故本選項(xiàng)不正確，故選:B.（2）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若抽完第一個(gè)個(gè)體后，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，故，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為，故選：D.（3）某企業(yè)有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)沒有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該企業(yè)準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（包括抽簽法和隨機(jī)數(shù)法）、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，則最合適的抽樣方法是（

）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣【答案】C【解析】由于不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)沒有較大差異，故不適宜用分層抽樣，由于總體樣本容量較大，故不適用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法,適合用系統(tǒng)抽樣來抽取樣本；故選：C.（4）從編號(hào)1，2，3，…，99的99個(gè)零件中，抽取一個(gè)樣本容量為11的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分為11組，若第一組中抽取的零件編號(hào)為3，則第三組中抽取的零件編號(hào)為．【答案】21【解析】因?yàn)橛?9個(gè)零件，分11組，所以每組有9個(gè)，因?yàn)榈谝唤M中抽取的零件編號(hào)為3，所以第三組抽取的零件編號(hào)為，故答案為：21.（5）在中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年之際，某高中學(xué)校計(jì)劃選派60名團(tuán)員參加“文明勸導(dǎo)”志愿活動(dòng)，高一、高二、高三年級(jí)的團(tuán)員人數(shù)分別為100，200，300，若按分層抽樣的方法選派，則高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為_________.【答案】【解析】依題意可知高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為人，故答案為：.（6）現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①從臺(tái)剛出廠的電視機(jī)中抽取臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有戶家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查家庭每年生活費(fèi)的開支情況，計(jì)劃抽取一個(gè)容量為的樣本，則完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（

）A．①②都采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．①②都采用分層隨機(jī)抽樣C．①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣D．①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣【答案】C【解析】①的總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比較明顯，宜采用分層抽樣，故選：C.考點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體【例題】（1）在一次連續(xù)10次的射擊中，甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員所射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差不同，則下列說法中正確的是（

）A．因?yàn)樗麄兯渲协h(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，所以他們水平相同B．雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較大的，潛力較大，更有發(fā)展前途C．雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較小的，發(fā)揮較穩(wěn)定，更有發(fā)展前途D．雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較小的，發(fā)揮較不穩(wěn)定，忽高忽低【答案】C【解析】由方差的意義可知，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；反之，方差越大，波動(dòng)越大，所以C說法正確，故選：C.（2）容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組頻數(shù)245342則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40）的頻率為（

）A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55【答案】D【解析】由頻率直方表數(shù)據(jù)知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為，故選：D.（3）10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.則有：，所以，故選：D.（4）學(xué)校舉行演講比賽，11位評(píng)委對(duì)甲同學(xué)《祖國，我愛你》演講的評(píng)分情況是：評(píng)分7.8899.5評(píng)委人數(shù)1235去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則甲同學(xué)的最終得分為（

）A．8.5 B．8.9 C．9.0 D．9.1【答案】C【解析】去掉一個(gè)最高分9.5分和一個(gè)最低分7.8分，則甲同學(xué)的最終得分為，故選:C.（5）一農(nóng)場(chǎng)在同一塊稻田中種植一種水稻，其連續(xù)8年的產(chǎn)量（單位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，則該組數(shù)據(jù)的方差為________．【答案】【解析】根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差為，故答案為：.（6）某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（

）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)【答案】A【解析】由題意知，本次和上次的月考成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都相差，根據(jù)方差公式知方差不變．故選：A．【變式】（1）在某次足球聯(lián)賽上，紅隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球個(gè)數(shù)是1.6，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.1；藍(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球個(gè)數(shù)是2.2，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.4.則下列說法正確的是（

）A．平均來說，藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)防守技術(shù)好 B．藍(lán)隊(duì)很少失球C．紅隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好 D．藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)技術(shù)水平更不穩(wěn)定【答案】C【解析】因?yàn)榧t隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.6，藍(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.2，所以平均說來紅隊(duì)比藍(lán)隊(duì)防守技術(shù)好，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗{(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.2，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以藍(lán)隊(duì)經(jīng)常失球，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榧t隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，藍(lán)隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以紅隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，故C正確；因?yàn)榧t隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1，藍(lán)隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，所以藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，故D錯(cuò)誤，故選：C．（2）某校1000名學(xué)生的高中歷史學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)的頻率直方圖如圖所示，規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀等級(jí)，則該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)為（

）A．15 B．30 C．150 D．300【答案】C【解析】根據(jù)頻率直方圖得該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的概率是，故該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)是,故選：C.（3）一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，10的平均數(shù)為8，則此組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，，解得，故此組數(shù)據(jù)的方差為，故選：B.（4）已知一組數(shù)據(jù)：21，23，24，30，32，下列結(jié)論：①該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24；②該組數(shù)據(jù)的極差為11；③將該組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上2，得到新的一組數(shù)據(jù)的方差與該組數(shù)據(jù)的方差相等．其中正確的是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：21、23、24、30、32，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，極差為，①②正確；將該組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上2，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加2，方差不變，③正確，故選：D.（5）數(shù)據(jù)65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的極差為．【答案】31【解析】極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，由數(shù)據(jù)可知，最大值為94，最小值為63，所以極差為，故答案為：31.（6）某次數(shù)學(xué)考試中20個(gè)人的成績(jī)?nèi)缦拢?01，103，107，110，112，113，116