七、賦值法當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式．【例1】已知，對于任意實數x，y，等式恒成立，求的解析式．【解析】對于任意實數x，y，等式恒成立，不妨令則有再令，得函數解析式為八、遞推法若題中所給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過累加、累乘或者迭代等運算求得函數解析式．【例1】若二次函數滿足且則__________．【答案】【解析】設由可知又則，即．故且解得所以．變式訓練若的定義域是正整數集且求的解析式．【例2】設是定義在上的函數，滿足且對任意的自然數a，b都有求的解析式．【解析】由不妨令則有，又故=1\*GB3①分別令@式中的得，將上述各式相加得，則所以．【例3】已知其中，求．【解析】即，所以是以4為首項，以2為公比的等比數列，故，所以九、利用函數圖象變換【例1】將函數的圖象向左平移2個單位長度得到圖象又和的圖象關于原點對稱，曲線的圖象與關于直線對稱，求的解析式．【答案】【例2】設函數且當點是函數圖象上的點時，點是函數圖象上的點．（1)寫出函數的解析式；（2)若當時，恒有試確定的取值范圍．【解析】（1）設點的坐標為則即點在函數的圖象上，則即所以．（2）由題意得，又且故，因為，所以．又在上為減函數，所以在上為減函數，從而，于是所求問題轉化為求不等式組的解．由解得由解得，綜上，所求的取值范圍是．十、應用問題【例1】動點從邊長為1的正方形ABCD的頂點出發，順次經過點B，C，D再回到A，設表示點經過的路程表示PA的長表示的面積，求和，并作出的簡圖．【解析】如圖，當，點在AB上運動時，當點在BC上運動時，可得當點在CD上運動時，可得當點在DA上運動時，，故由于點在折線ABCD上不同位置時，的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對，點的位置進行分類求解．當點在AB上時;當點在BC上，即時;當點在CD上，即時;當，點在DA上，即時．故圖象如圖所示．【例2】已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在非零常數T，對任意有成立．（1）函數是否屬于集合M?請說明理由;（2）設，且．已知當時求當時的解析式．【解析】（1）假設函數屬于集合M，則存在非零常數T，對任意有成立，即成立．令則與題意矛盾．故．(2)且則對任意有，設則，當時，故當時．變式訓練某蔬菜基地種植西紅鹽，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅鹽的市場價與上市時間之間的關系用圖甲的折線表示，西紅鹽的種植成本與上市時間之間的關系用圖乙的拋物線段表示．（1）寫出圖甲表示的市場售價與上市時間的函數關系式;寫出圖乙表示的種植成本與上市時間的函數關系式;（2）若設定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?（注：市場售價和種植成本的單位：元／102kg，時間單位：天）．第八章函數零點，六大類型一、基本函數零點問題(一)指數函數型零點【例1】已知函數的零點其中常數a，b滿足，則等于A．-1B．-2C．1D．2【答案】A【解析】令，因此函數的零點問題轉化為與圖象的交點問題．易知所以直線與的交點應在軸的左側，排除若則，即這說明故選【例2】若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0．25，則可以是A．C．D．【答案】C【解析】的零點為，的零點為，的零點為，的零點為現在我們來估算的零點，因為，所以的零，點又函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0．25，只有的零，點適合，故選C．【例3】函數在區間(0，1)內的零點個數是A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】B【解析】令即則．在同一平面直角坐標系中分別畫出和的圖象，由圖可知兩個圖象在區間(0，1)內只有一個交點．所以函數在區間(0，1)內有一個零，點，故選B．【例4】函數且有兩個零點，則實數的取值范圍是【答案】【解析】設函數且)與函數，則函數且有兩個零點，就是函數且)與函數有兩個交，點，可知當時，兩函數只有一個交點，不符合題意;當時，因為函數的圖象過點而直線所過的點一定在點(0，1)的上方，所以一定有兩個交點．所以實數的取值范圍是【例5】設函數其中若存在唯一的整數使得則的取值范圍為A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，令則“存在唯一的整數使得”等價于“存在唯一的整數使”，在同一坐標系內作出兩個函數的圖象，由圖象可知解得故選【評注】本題考查函數與不等式，為中檔題函數與不等式是高考的重要內容，數形結合是解決函數與不等式問題的重要途徑，通常可把所有的數學表達式移到不等式的一邊，構造函數，作圖解決，也可像本題這樣把變量放在不等式的兩邊，構造兩個函數，在同一坐標系內作出兩個函數的圖象，通過圖象求解．（二）對數函數型零點【例1】判斷函數零點的個數，并證明．【解析】令得．令則．令則，當時當時所以，即所以單調遞增．當時當時，所以只有一個零點．變式訓紙已知函數過點則方程的解所在的區間是A．B．【例2】已知函數且)．當時，函數的零點則______．【答案】【解析】因為當時;當時，所以的零點在區間(2，3)內，故．【例3】函數的零點個數為A．0B．1個C．2個D．3個【答案】C【解析】由得，由得故有2個零點．故選．【例4】已知偶函數滿足，且當時則關于的方程在上解的個數是A．7個B．8個C．9個D．10個【答案】C【解析】設方程在上解的個數，即為函數和的圖象在上交點的個數．由得故原函數的周期又當[0，1]時由以上條件，可畫出在上的圖象．又因為當時，結合圖象可知，在[0，9]上的圖象共有9個交點，即在[0，9]上，原方程有9個根，故選C．【例5】若方程僅有一個實根，那么的取值范圍是【答案】或【解析】題設條件等價于對（3）式由求根公式得（4）得或結合(1)式知或(i)當時，由@式得所以同為負根，又由@式知所以原方程有一個解．(ii)當時，原方程有一個解．(iii)當時，由(3)式得所以同為正根，且不合題意，舍去．綜上可得或為所求．解法2：參數不完全分離法．由題意知即由得由圖分析即得：一解一解兩解無解綜上可得：或為所求．解法3：參數完全分離法由題意知得．由圖分析即得：一解一解兩解無解綜上可得：或為所求．【評注】上述三種解法是最典型的處理含參問題的有效套路，顯然解法3最為簡捷．【例6】已知定義域為R的函數滿足以下條件：=1\*GB3①對任意，;=2\*GB3②=3\*GB3③當時若方程且在[0，+)上至少有5個不等的實根，則實數的取值范圍為A．B．【答案】【解析】由知的圖象關于直線對稱，由知的周期結合作出的圖象與函數的圖象，則“方程在[0，+)上至少有5個不等的實根”等價于“函數的圖象與函數1)的圖象至少有5個交點”，如圖所示，則所以選．【評注】本題考點為函數的零點、函數與方程．在解決函數的零點或方程的根等問題時，一般把方程的根的個數轉化為兩函數圖象的交點問題，其中一個函數要求是確定的函數，參數只在其中一個函數中出現，且隨參數的變化，函數的圖象變化規律易找，如能轉化為直線與函數的交點更好．本題函數是確定的，函數變化規律也易知，這樣就容易得出結論．拓展提升若用[]表示不大于的最大整數，則方程的實根個數是______個．【例7】已知函數若存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】解法1：由題意得當時，存在三解，當時，存在一解，由得，所以故選解法2：由題意得，令，由則得當時有兩個不同的根，即有兩個不同的根時只有一個根)，存在使之成立．所以即故．選．【例8】已知符號函數則函數的零點個數為A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【解析】由題意知當時，令解得此時有一個零點;當時則是的一個零點;當時，令此方程無解，此時無零點．綜上的零點個數為2，故選．（三）指對混臺型零點【例1】函數的零點個數為A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B．【解析】令，得，作出和的圖象，由圖即得有2個交點(圖略)，即有2個零，點，故