PAGE1一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.（2021·全國甲卷1題）設集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x｜2x＞7}，則M∩N＝（）A.{7，9} B.{5，7，9}C.{3，5，7，9} D.{1，3，5，7，9}解析：選B由題得集合N＝x｜x＞72，所以M∩N＝{5，7，2.（2021·全國甲卷2題）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6％B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10％C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間解析：選C對于A：根據頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為（0.02＋0.04）×1＝0.06，正確；對于B：根據頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為（0.04＋0.02＋0.02＋0.02）×1＝0.10，正確；對于C：根據頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入的平均值估計為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68（萬元），錯誤；對于D：根據頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶比率估計為（0.10＋0.14＋0.20＋0.20）×1＝0.64，正確.3.（2021·全國甲卷3題）已知（1－i）2z＝3＋2i，則z＝（）A.－1－32i B.－1＋3C.－32＋i D.－32解析：選Bz＝3+2i（1－i）2＝3+2i－4.（2021·全國甲卷4題）下列函數中是增函數的為（）A.f（x）＝－x B.f（x）＝2C.f（x）＝x2 D.f（x）＝3解析：選D法一（通解）取x1＝－1，x2＝0，對于A項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A項不符合題意；對于B項有f（x1）＝32，f（x2）＝1，所以B項不符合題意；對于C項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C項不符合題意.故選法二（優解）如圖，在坐標系中分別畫出A、B、C、D四個選項中函數的大致圖象，即可快速直觀判斷D項符合題意.故選D.5.（2021·全國甲卷5題）點（3，0）到雙曲線x216－y29＝1A.95 B.C.65 D.解析：選A由雙曲線的方程知，a＝4，b＝3，焦點在x軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝34x，即3x－4y＝0，由點到直線的距離公式得，點（3，0）到雙曲線的一條漸近線的距離為｜3×3－6.（2021·全國甲卷6題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L＝5＋lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為（1010≈1.259）（A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6解析：選C由題意知4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－110≈0.87.（2021·全國甲卷7題）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F，G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）解析：選D根據已知條件作出圖形如圖所示，結合多面體的正視圖可知，該幾何體的側視圖為D選項中的圖形.8.（2021·全國甲卷8題）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，則BC＝（）A.1 B.2C.5 D.3解析：選D由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5（舍去）.故選D.9.（2021·全國甲卷9題）記Sn為等比數列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝（）A.7 B.8C.9 D.10解析：選A法一（通解）因為S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比數列的前n項和公式，得S2＝得q2＝12，所以a1=4（2－2),q＝2法二（優解）：易知S2，S4－S2，S6－S4構成等比數列，由等比中項得S2（S6－S4）＝（S4－S2）2，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故選A.10.（2021·全國甲卷10題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5C.0.6 D.0.8解析：選C把3個1和2個0排成一行，共有10種排法，分別是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2個0不相鄰的排法有6種，分別是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝610＝0.6.故選11.（2021·全國甲卷11題）若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinαA.1515 B.C.53 D.解析：選A因為tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cos12.（2021·全國甲卷12題）設f（x）是定義域為R的奇函數，且f（1＋x）＝f（－x）.若f－13＝13，則f5A.－53 B.－C.13 D.解析：選C因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函數f（x）是以2為周期的周期函數，f53＝f53－2＝f－1二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.（2021·全國甲卷13題）若向量a，b滿足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝.解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.答案：3214.（2021·全國甲卷14題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為.解析：設該圓錐的高為h，則由已知條件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，則圓錐的母線長為h2＋62＝254+36＝132答案：39π15.（2021·全國甲卷15題）已知函數f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則fπ2＝解析：由題圖可知34T＝13π12－π3＝3π4（T為f（x）的最小正周期），即T＝π，所以2πω故f（x）＝2cos（2x＋φ）.點π3，0可看作“五點作圖法”中的第二個點，故2×π3＋φ＝π2，即f（x）＝2cos2x所以fπ2＝2cos2×π答案：－316.（2021·全國甲卷16題）已知F1，F2為橢圓C：x216＋y24＝1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，則四邊形PF1QF解析：法一（通解）由橢圓C：x216＋y24＝1可知｜F1F2｜＝43.由P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩個點，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，得｜PO｜＝｜QO｜＝23（O為坐標原點），所以P，Q既在橢圓x216＋y24＝1上，又在圓x2＋y2＝12上.不妨設點P在第一象限，則由x216＋y24=1，x2＋y2=12，可得P463，233，所以由對稱性，可得四邊形PF1QF2的面積法二（優解）由橢圓的對稱性及｜PQ｜＝｜F1F2｜知，四邊形PF1QF2是矩形，且∠F1PF2＝π2.結合b2＝4，及橢圓焦點三角形的面積公式，得S四邊形PF1QF2＝2S答案：8三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.）（一）必考題（共60分）17.（2021·全國甲卷17題）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99％的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解：（1）根據表中數據知，甲機床生產的產品中一級品的頻率是150200＝0.75，乙機床生產的產品中一級品的頻率是120200（2）根據列聯表中的數據可得K2＝400×（150×80因為10.256＞6.635，所以有99％的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異.18.（2021·全國甲卷18題）記Sn為數列{an}的前n項和，已知an＞0，a2＝3a1，且數列{Sn}是等差數列，證明：{an}是等差數列證明：由題意可知，數列{Sn}的首項為a1，設等差數列{Sn}則d＝S2－S1＝a1＋a所以Sn＝a1＋（n－1）a1＝na1，即Sn＝a1所以an＝a即an＝（2n－1）a1，所以an＋1－an＝2a1，所以數列{an}是以a1為首項，2a1為公差的等差數列.19.（2021·全國甲卷19題）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.（1）求三棱錐F-EBC的體積；（2）已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.解：（1）如圖，取BC的中點為M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝12AB＝1，AB∥A1B1由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐F-EBC＝V三棱錐E-FBC＝13×12BC×CF×EM＝13×12×2×1×（2）證明：連接A1E，B1M，由（1）知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內.在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.20.（2021·全國甲卷20題）設函數f（x）＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.（1）討論f（x）的單調性；（2）若y＝f（x）的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）由題意，f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝2a2x＋a－3x＝2a2則當x＞1a時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當0＜x＜1a時，f'（x）＜0，f（x）故函數f（x）在0，1a上單調遞減，在（2）由（1）知函數f（x）的最小值為f1a要使y＝f（x）的圖象與x軸沒有公共點，只需f（x）的最小值恒大于0，即f1a＞0恒成立故a2·1a2＋a·1a－3ln1a＋1＞0，得所以a的取值范圍為1e21.（2021·全國甲卷21題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M（2，0），且☉M與l相切.（1）求C，☉M的方程；（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與☉M相切.判斷直線A2A3與☉M的位置關系，并說明理由.解：（1）由題意，直線x＝1與C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，設C的焦點為F，P在第一象限，則根據拋物線的對稱性，∠POF＝∠QOF＝45°，所以P（1，1），Q（1，－1）.設C的方程為y2＝2px（p＞0），則1＝2p，p＝12所以C的方程為y2＝x.由題意，圓心M（2，0）到l的距離即☉M的半徑，且距離為1，所以☉M：（x－2）2＋y2＝1.（2）設A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），當A1，A2，A3中有一個為坐標原點，另外兩個點的橫坐標均為3時，A1A2，A1A3均與☉M相切，此時直線A2A3與☉M相切.當x1≠x2≠x3時，直線A1A2：x－（y1＋y2）y＋y1y2＝0，則｜2+y1y2｜（y1＋y2）2+1＝1，即（y12－同理可得（y12－1）y32＋2y1y3＋3－所以y2，y3是方程（y12－1）t2＋2y1t＋3－y12則y2＋y3＝－2y1y12－1直線A2A3的方程為x－（y2＋y3）y＋y2y3＝0，設M到直線A2A3的距離為d，則d2＝（2+y2y3）21+（y2＋所以直線A2A3與☉M相切.綜上，直線A2A3與☉M相切.（二）選考題（共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.）22.（2021·全國甲卷22題）[選修4－4：坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝22cosθ.（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為（1，0），M為C上的動點，點P滿足AP＝2AM，寫出P的軌跡C1的參數方程，并判斷C與C1是否有公共點解：（1）根據ρ＝22cosθ，得ρ2＝22ρcosθ，因為x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝22x，所以曲線C的直角坐標方程為（x－2）2＋y2＝2.（2）設P（x，y），M（x'，y'），則有AP＝（x－1，y），AM＝（x'－1，y'），因為AP＝2AM，所以即x又M為曲線C上的動點，所以x－12+1－22＋y22＝2，即（x－3＋2所以P的軌跡C1的參數方程為x=3－2+2cosαy=2sinα（其中α為參數，易得｜CC1｜＝3－22，圓C1的半徑r1＝2，圓C的半徑r＝2，所以｜CC1｜＜r1－r，所以C與C1沒有公共點.23.（2021·全國甲卷23題）[選修4－5：不等式選講]已知函數f（x）＝｜x－2｜，g（x）＝｜2x＋3｜－｜2x－1｜.（1）畫出y＝f（x）和y＝g（x）的圖象；（2）若f（x＋a）≥g（x），求a的取值范圍.解：（1）由已知得g（x）＝－所以y＝f（x）與y＝g（x）的圖象為（2）y＝f（x＋a）的圖象是由函數y＝f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度或向右平移｜a｜（a＜0）個單位長度得到的，根據圖象可知向右平移不符合題意，向左平移到y＝f（x＋a）的圖象的右支過y＝g（x）的圖象上的點12，4時為臨界狀態，如圖所示，此時y＝f（x＋a）的圖象的右支對應的函數解析式為y＝x＋a－2（x≥2－a），則4＝12＋a－2，解得因為f（x＋a）≥g（x），所以a≥112所以a的取值范圍為112前沿熱點——新高考數學考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動向實時更新請掃碼獲取縱觀近年來新高考數學試題，試題貫徹落實了高考改革的總體要求，實施“德智體美勞”全面發展的教育方針，聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，落實立德樹人根本任務，充分發揮考試的引導作用.試題突出數學本質、重視理性思維、堅持素養導向、能力為重的命題原則.通過設計真實問題情境，體現數學的應用價值；穩步推進改革，科學把握必備知識與關鍵能力的關系，體現了對基礎性、綜合性、應用性和創新性的高考考查要求.一、突出主干知識、筑牢能力基礎以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對各試題所考查的主干知識分析如下：題型題號各試題所考查的知識點分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運算復數的乘法及幾何意義2復數運算、共軛復數由集合間的關系求參數3向量垂直、數量積運算分層隨機抽樣、計數原理4由函數的單調性求參數由函數的奇偶性求參數5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關系求參數6圓的切線問題由函數的單調性求參數7等差數列充要條件的判定半角公式8三角函數中和、差、倍角公式的應用等比數列的概念、前n項和及性質多選題9樣本數字特征圓錐的體積、側面積和截面面積10以實際問題為背景考查對數大小比較直線與拋物線的位置關系、拋物線的概念及性質11抽象函數的函數性質函數的極值及應用12以正方體內嵌入某幾何體考查對稱性、空間位置關系獨立事件的概率、二項分布模型填空題13計數原理向量的數量積、模14四棱臺的體積四棱臺的體積15三角函數中由零點個數求ω范圍直線與圓的位置關系16雙曲線幾何性質、平面向量三角函數的圖象與性質解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長度等差數列、數列的奇偶項問題19利用導數判斷函數的單調性、證明不等式統計圖表、概率統計與函數交匯問題20等差數列的概念、性質及前n項和空間線面位置關系、二面角的正弦值21概率與數列的交匯問題直線與雙曲線的位置關系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數的最值以三角函數、對數函數為載體，考查導數的應用從上表可以看出，試題所考查知識范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識，由此在一輪復習備考中更應重視必備知識的系統梳理、基本能力的逐點夯實.二、注重試題情境創設、牢記育人宗旨1.關注社會熱點2023年新高考Ⅰ卷第10題以當今社會熱點“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導學生關注社會、關注民生，用所學知識解決生活實踐情境下的實際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚優秀傳統文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結構為背景命制出以等差數列為考查點的試題，此類試題不但能考查學生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識運用能力，而且還能以優秀傳統文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國古代建筑中的舉架結構，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現代科學技術水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業的重要成果北斗三號全球衛星導航系統為試題情境命制立體幾何問題，在考查學生的空間想象能力和閱讀理解、數學建模等素養的同時，引導學生關注我國社會現實與經濟、科技進步與發展，增強民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為α，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現數學應用價值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設成就“南水北調”工程為背景命制出以四棱臺體積公式為考查點的立體幾何試題，體現了數學的應用價值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養評價科學有據高中數學課程標準對培養學生能力的要求是數學“六大核心素養”的集中展示.要檢驗學生核心素養高低，必須通過解決數學問題來體現.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養評價本題為多選題，以正方體內嵌入其他幾何體為背景考查學生不同的素養層級，由A、B、C、D四個選項設計的問題不同，對應解決問題所需核心素養也逐漸提升，本題真正體現了“入口容易全分難”的多選題考查特征.四、秉承創新、引導探究性學習新高考試卷中開放性試題的增設，促進了考查的靈活性，思維方式的多樣性.同時引導了學生重視探究性學習，逐步培養學生創新思維的良好習慣.1.舉例題（2023·新高考Ⅱ卷）已知直線x－my＋1＝0與☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值試題評析本類題目屬于結論開放型，利用所學知識選擇數學模型，使之滿足題目所具有的結論可能不唯一，選其之一作為答案即可.2.結構不良題（2022·新高考Ⅱ卷）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（2，0），（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩