5.3平行線的性質第2課時目錄課前導入新課精講學以致用課堂小結課前導入情景導入復習回顧平行線的三個性質：兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，內錯角相等．兩直線平行，同旁內角互補．新課精講探索新知1知識點平行線的性質的應用下圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個角分別是多少度？例1探索新知因為梯形上、下兩底AB與DC互相平行，根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠A與∠D互補，∠B與∠C互.補于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，

∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外兩個角分別是80°，65°.解：探索新知例2如圖，將一張長方形的紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D′，C′位置上，ED′與BC的交點為點G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度數．探索新知導引：本題根據長方形的對邊是平行的，利用平行線

的性質：兩直線平行，內錯角相等，先求

∠DEF＝50°，再根據折疊前后的對應角相等

求得∠D′EF＝50°，然后根據平角的定義得

∠AEG＝80°，最后根據兩直線平行，同旁內

角互補求得∠EGB＝100°.解：∵四邊形ABCD是長方形(已知)，∴∠A＝∠B＝90°(長方形的定義)．∴∠A＋∠B＝180°，探索新知∴AD∥BC(同旁內角互補，兩直線平行)．∴∠DEF＝∠EFG(兩直線平行，內錯角相等)．∵∠EFG＝50°(已知)，∴∠DEF＝50°(等量代換)．∵∠DEF＝∠D′EF(折疊的性質)，∴∠D′EF＝50°(等量代換)．∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定義)．又∵AD∥BC，∴∠AEG＋∠EGB＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)，∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.探索新知總

結

解決折疊問題的關鍵是找到折疊前后相等的角，然后熟練利用平行線的性質來求角的度數．典題精講1如圖，直線AB∥CD，AF交CD于點E，∠CEF＝140°，則∠A等于(

)A．35°B．40°C．45°D．50°B典題精講2如圖，在平行線a，b之間放置一塊直角三角板，三角板的頂點A，B分別在直線a，b上，則∠1＋∠2的值為（）A．90°B．85°C．80°D．60°A典題精講3如圖，將長方形紙片ABCD沿BD折疊，得到△BC′D，C′D與AB交于點E.若∠1＝35°，則∠2的度數為（）A．20°B．30°C．35°D．55°A典題精講4如圖是我們常用的折疊式小刀，刀柄外形是一個長方形挖去一個小半圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成如圖所示的∠1與∠2，則∠1與∠2的度數和是__________度．90探索新知2知識點平行線的判定的應用

例3如圖所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.試問CD與EF平行嗎？

為什么？探索新知導引：1.要說明CD∥EF，我們無法找出相等的同位角、內錯角，也無法說明其同旁內角互補，因此需找第三條直線與它們平行(即AB∥CD，AB∥EF)，這都能由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A說明．2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行就可得到CD∥EF.探索新知解：CD∥EF，理由：∵∠B＝∠D，∴AB∥CD(內錯角相等，兩直線平行)．∵∠CEF＝∠A，∴EF∥AB(同位角相等，兩直線平行)．∴CD∥EF(平行于同一條直線的兩條直線平行)．探索新知總

結找尋說明平行的方法：1.分析法：由結論往前推，要說明這個結論成立需要什么樣

的條件，一直遞推到已知條件為止；(如導引1)2.綜合法：由已知條件一步一步往后推理，看這個已知條件

能推出什么結論，

一直推導出要說明的結論為止；

(如導引2)3.兩頭湊：當遇到復雜問題的時候，我們常常將分析法和綜

合法同時進行，即由兩頭向中間推，尋找到中間的結合點．探索新知

例4光線從空氣射入水中時，傳播方向會發生改變，這種現象叫做光的折射現象．同樣，光線從水中射入空氣中時，也會發生折射現象，一束光線從空氣射入水中再從水中射入空氣中時，光線的傳播方向如圖，其中，直線a，b都表示空氣與水的分界面．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3，請你判斷光線c與d是否平行？為什么？探索新知導引：設光線在水中的部分為e，e與直線a所成的鈍角為∠5，e與直線b所成的鈍角為∠6，只要能說明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，則根據“內錯角相等，兩直線平行”即可判定c∥d.探索新知解：c∥d.理由如下：如圖，設光線在水中的部分為e.∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，∠2＝∠3，∴∠5＝∠6(等角的補角相等)．又∵∠1＝∠4，

∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.∴c∥d(內錯角相等，兩直線平行)．探索新知總

結判斷光線c與d是否平行，應首先解決兩個關鍵問題，一是把實物圖抽象為“三線八角”的基本圖形；二是把直線c，d看作被直線e所截的兩條直線．如此，問題轉化為說明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.典題精講1如圖，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直線AB與CD的位置關系是________．平行典題精講2如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°A探索新知3知識點平行線的性質與判定的綜合應用平行線的性質與判定之間既有聯系又有區別，一定不可混淆二者的條件和結論，要把它們嚴格區別開來．分類條件結論平行線的判定同位角相等兩直線平行內錯角相等同旁內角互補平行線的性質兩直線平行同位角相等內錯角相等同旁內角互補探索新知例5

如圖，已知∠ABC與∠ECB互補，∠1＝∠2，則∠P與∠Q一定相

等嗎？說說你的理由．導引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，

∴要判斷∠P與∠Q是否相等，只需判

斷PB和CQ是否平行．要說明PB∥CQ，可以通過說明∠PBC＝∠BCQ來實現，由于∠1＝∠2，因此只需說明∠ABC＝

∠BCD即可．探索新知解：∠P＝∠Q.

理由如下：∵∠ABC與∠ECB互補(已知)，∴AB∥ED(同旁內角互補，兩直線平行)．∴∠ABC＝∠BCD(兩直線平行，內錯角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性質)，

即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(內錯角相等，兩直線平行)．∴∠P＝∠Q(兩直線平行，內錯角相等)．探索新知總

結一個數學問題的構成含有四個要素：題目的條件、解題的依據、解題的方法、題目的結論，如果題目所含的四個要素解題者已經知道或者結論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數學問題．典題精講1如圖，若∠A＋∠ABC＝180°，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠2＝∠4D典題精講2如圖，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分線，則圖中與∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的個數為（）A．3B．4C．5D．6B典題精講3如圖，直線a，b被直線c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，則∠4的度數是（）A．80°B．85°C．95°D．100°B易錯提醒如圖，已知∠ABC，請你再畫一個∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC邊于點P.探究：∠ABC與∠DEF有怎樣的數量關系？并說明理由．易錯提醒解：畫圖如圖①②③④所示．∠ABC與∠DEF相等或互補，理由如下：如圖①，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC.∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.∴∠ABC＝∠DEF.如圖②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.如圖③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.易錯提醒易錯點：畫圖考慮不周導致漏解.如圖④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.綜上可知，∠ABC與∠DEF相等或互補．學以致用小試牛刀一個人從A地出發向北偏東60°方向走了一段距離到B地，再從B地出發，向南偏西15°方向走了一段距離到達C地，則∠ABC的度數是______________．45°1小試牛刀如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠α

D．∠α＋∠β＝90°B2小試牛刀如圖，已知三角形ABC中，CD⊥AB，E，F，G分別在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1＝∠2，試判斷DG與BC的位置關系，并說明理由．DG∥BC.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF.∴∠1＝∠DCB.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴DG∥BC.解：3小試牛刀如圖，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，則∠BMD與∠N之間的數量關系如何？請說明理由．∠BMD＝2∠N.理由如下：如圖，過點M作ME∥AB，則∠ABM＝∠BME.∵AB∥CD，ME∥AB，∴ME∥CD.∴∠CDM＝∠DME.∴∠ABM＋∠CDM＝∠BME＋∠DME＝∠BMD.解：4小試牛刀同理∠N＝∠ABN＋∠CDN.∵BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN.∴∠ABM＋∠CDM＝2∠ABN＋2∠CDN.∴∠BMD＝2∠N.小試牛刀

閱讀下列解題過程，然