彈塑性力學(xué)課程安排授課方式：講座,討論,練習(xí)考試方式：閉卷或開卷參考書目≤應(yīng)用彈塑性力學(xué)≥，徐秉業(yè)、劉信聲、著，北京：清華大學(xué)出版社，1995≤巖土塑性力學(xué)原理≥，鄭穎人、沈珠江、龔曉南著，北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002≤彈塑性力學(xué)引論≥，楊桂通編著，北京：清華大學(xué)出版社，2004≤彈性與塑性力學(xué)≥，陳惠發(fā)、A.F.薩里普著，北京：建筑工業(yè)出版社，2004目錄一、緒論二、矢量張量三、應(yīng)力分析四、應(yīng)變分析五、本構(gòu)方程六、彈塑性力學(xué)問題七、能量原理及變分法八、塑性極限分析一、緒論1.1基本概念1.2彈塑性力學(xué)的發(fā)展歷史1.3塑性力學(xué)的主要內(nèi)容1.4塑性力學(xué)的研究方法1.5與初等力學(xué)理論的聯(lián)系1.6彈塑性力學(xué)的發(fā)展趨勢1.1基本概念彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支，是研究彈性和彈塑性物體變形規(guī)律的一門科學(xué)。應(yīng)用于機(jī)械、土木、水利、冶金、采礦、建筑、造船、航空航天等廣泛的工程領(lǐng)域。目的：（1）確定一般工程結(jié)構(gòu)受外力作用時的彈塑性變形與內(nèi)力的分布規(guī)律；（2）確定一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力；（3）為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的振動、強(qiáng)度、穩(wěn)定性等力學(xué)問題打下必要的理論基礎(chǔ)。彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)

（1）物體是連續(xù)的，其應(yīng)力、應(yīng)變、位移都可用連續(xù)函數(shù)表示。（2）變形是微小的，忽略變形引起的幾何變化。即連續(xù)介質(zhì)和小變形假設(shè)。彈性和塑性變形的特點(diǎn)彈性變形的特點(diǎn):應(yīng)力－應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，且在許多情況下可以近似地按線性關(guān)系處理。塑性變形的特點(diǎn)：應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系不再一一對應(yīng)，且一般是非線性的單軸應(yīng)力應(yīng)變曲線彈性、塑性線性、非線性典型的塑性本構(gòu)模型理想彈塑性模型強(qiáng)化彈塑性模型軟化彈塑性模型1）理想彈塑性模型2）強(qiáng)化彈塑性模型3）軟化彈塑性模型彈塑性力學(xué)基本方程彈塑性力學(xué)的基本方程是：（1）平衡方程；（2）幾何方程。（3）本構(gòu)方程。前兩類方程與材料無關(guān)，塑性力學(xué)與彈性力學(xué)的主要區(qū)別在于第三類方程1.2

彈塑性力學(xué)發(fā)展歷史1678年胡克（R.Hooke）提出彈性體的變形和所受外力成正比的定律。19世紀(jì)20年代，法國的納維（C.I.M.H.Navier）、柯西（A.I.Cauchy）和圣維南（A.J.C.B.deSaintVenant）等建立了彈性理論1864年特雷斯卡（H.Tresca）提出最大剪應(yīng)力屈服條件。1871年列維（M.Levy）將塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系推廣到三維情況。米賽斯（R.vonMises）提出形變能屈服條件。普朗特（L.Prandtl）和羅伊斯（A.Reuss）提出塑性力學(xué)中的增量理論巖土塑性理論形成早期研究：1773年Coulomb提出土質(zhì)破壞條件，其后推廣為

Mohr-

Coulomb準(zhǔn)則；1857年Rankine研究半無限體的極限平衡，提出滑移面概念；1903年K?tter建立滑移線方法；1929年Fellenius提出極限平衡法；1943年Terzaghi發(fā)展了Fellenius的極限平衡法；1952~1955年Drucker和Prager發(fā)展了極限分析方法；1965年Sokolovskii發(fā)展了滑移線方法。形成獨(dú)立學(xué)科：巖土塑性力學(xué)最終形成于20世紀(jì)50年代末期；1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，以反映平均應(yīng)力或體應(yīng)變所導(dǎo)致的體積屈服；1958年劍橋大學(xué)的Roscoe等提出土的臨界狀態(tài)概念，于1963年提出劍橋粘土的彈塑性本構(gòu)模型，開創(chuàng)了土體實(shí)用計(jì)算模型從1970年前后至今巖土本構(gòu)模型的研究十分活躍，建立的巖土本構(gòu)模型也很多。1982年Zienkiewicz提出廣義塑性力學(xué)的概念，指出巖土塑性力學(xué)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的推廣。1.3塑性力學(xué)的主要內(nèi)容（1）建立屈服條件。對于給定的應(yīng)力狀態(tài)和加載歷史，確定材料是否超出彈性界限而進(jìn)入塑性狀態(tài)，即材料是否屈服（2）判斷加載、卸載。加載和卸載中的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律不同，需要建立準(zhǔn)則進(jìn)行判斷。（3）描述加載（或變形）歷史。應(yīng)變不僅取決應(yīng)力狀態(tài)，還取決于達(dá)到該狀態(tài)的歷史，在加載過程中必須對其歷史進(jìn)行記錄。1.4塑性力學(xué)的研究方法宏觀塑性理論以若干宏觀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，提出某些假設(shè)和公設(shè)，從而建立塑性力學(xué)的宏觀理論。特點(diǎn)是：數(shù)學(xué)上力求簡單，力學(xué)上能反映試驗(yàn)結(jié)果的主要特性。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加以公式化，并不深入研究塑性變形過程的物理化學(xué)本質(zhì)。細(xì)微觀塑性理論從細(xì)微觀的層次來看，具有內(nèi)部細(xì)微結(jié)構(gòu)，如位錯、微裂紋和微孔洞等。從細(xì)微結(jié)構(gòu)的改變過程推求宏觀塑性變形性質(zhì)宏觀塑性理論的求解方法精確解法。滿足彈塑性力學(xué)中全部數(shù)學(xué)方程的解；近似解法。采用合理簡化假設(shè)，獲得近似結(jié)果。如差分法、有限元法、加權(quán)殘值法等。實(shí)驗(yàn)方法。采用機(jī)電方法、光學(xué)方法、聲學(xué)方法等來測定應(yīng)力和應(yīng)變的分布規(guī)律。精確解法對形狀簡單的物體比較有效，但對復(fù)雜形狀的物體難以列出方程；有限元數(shù)值解法是近似方法，將列出方程的難度轉(zhuǎn)移到復(fù)雜幾何形狀的模擬上。1.5與初等力學(xué)理論的聯(lián)系材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)從研究對象、基本任務(wù)來看，彈塑性力學(xué)與它們都是相同的；從處理問題的方法來看，都是從靜力學(xué)、幾何學(xué)、本構(gòu)關(guān)系三個方面進(jìn)行分析。區(qū)別研究問題的范圍：材料力學(xué)僅研究桿狀構(gòu)件，結(jié)構(gòu)力學(xué)主要研究桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，彈塑性力學(xué)涉及各種固體結(jié)構(gòu)。研究問題的深度：材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)主要局限于彈性階段，而彈塑性力學(xué)研究從彈性階段到塑性階段，直至最后破壞的整個過程。研究問題的簡化程度：材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)除了采用與彈塑性力學(xué)相同的一些基本假定外，還要對桿件的應(yīng)力分布和變形狀態(tài)作一些附加的假定。如梁橫力彎曲的平截面假定等，得到的結(jié)果比較近似。而彈塑性力學(xué)則不作該假定。總的來看，彈塑性力學(xué)的研究范圍更加廣泛、研究問題更加深入，得到的結(jié)果更加精確。1.6彈塑性力學(xué)的發(fā)展趨勢由早期的精確解法占主導(dǎo)地位到如今的數(shù)值近似解法占主導(dǎo)地位。由線性問題向非線性問題不斷擴(kuò)展，并且研究開裂過程，多組分材料、多場耦合問題。由研究型的軟件逐漸發(fā)展成商品化軟件，如ANSYS、ADINA等。以后的趨勢是功能更加完善，使用更加方便，與其它軟件進(jìn)行集成。二、矢量和張量2.1基本概念2.2矢量2.3張量2.1基本概念討論應(yīng)力、應(yīng)變和本構(gòu)方程時，通常采用矢量和張量符號。具有表達(dá)簡潔的特點(diǎn)。坐標(biāo)系規(guī)定：采用右手螺旋直角坐標(biāo)系，熟悉記法為x軸、y軸、z軸，按規(guī)則記法為x1軸、

x2軸、

x3軸。2.2.1矢量代數(shù)矢量既有大小又有方向，在坐標(biāo)系中通常用箭頭表示。對空間任一點(diǎn)Ｐ，坐標(biāo)是（v1，v２，v３），可以表示為矢量ＯＰ或Ｖ。由單位矢量疊加有：或簡潔寫為：若兩矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示為：可簡潔表示為：下標(biāo)i沒有特別指明，認(rèn)為它代表了三種可能下標(biāo)中的任一個。兩個矢量Ｕ與Ｖ之和由平行四邊形法則得到，為分量之和：或簡潔表示為：2.2.2標(biāo)量積矢量有兩種乘法，即標(biāo)量積（點(diǎn)積或內(nèi)積）和矢量積（叉積）。矢量U和V的標(biāo)量積定義為：|U|表示矢量U的絕對長度，為矢量U和V的夾角。標(biāo)量積的計(jì)算式為：兩個垂直矢量的點(diǎn)積為零。一個矢量長度的平方由它與自身的點(diǎn)積得到。應(yīng)用：力F作用在一運(yùn)動速度為V的物體上，功率由點(diǎn)積（）求出。2.2.3矢量積兩矢量的積為垂直于兩矢量平面且按右手螺旋法則確定的一個矢量，該矢量長度等于。標(biāo)記為：W的大小等于由U和V組成的平行四邊形的面積。矢量積的計(jì)算式為矢量叉積不滿足交換律和結(jié)合律：一個矢量與其自身的矢量積為零矢量。應(yīng)用：力F作用于位置矢量為r的點(diǎn)A，則力F繞原點(diǎn)的力矩為：2.2.4三重積三重標(biāo)量積：稱為三重標(biāo)量積或框積，是以U、V、W為邊的平行六面體的體積或體積的負(fù)值。可用[U，V，W]來表示。三重矢量積：2.2.5標(biāo)量場和矢量場函數(shù)稱為一個標(biāo)量場，梯度構(gòu)成矢量場，垂直于=常數(shù)的表面。矢量的散度：矢量的旋度：2.3張量1.3.1指標(biāo)記法和求和約定1.3.2符號（Kronecker符號）1.3.3符號（交錯張量）1.3.4坐標(biāo)變換1.3.5笛卡爾張量1.3.6張量性質(zhì)2.3.1指標(biāo)記法和求和約定矢量V用指標(biāo)記法為，指標(biāo)可以自由挑選。規(guī)則1：如果在一個表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種下標(biāo)只出現(xiàn)一次，稱之為“自由指標(biāo)”。規(guī)則2：如果在一個表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)正好出現(xiàn)兩次，則稱之為“啞標(biāo)”，它表示從1到3進(jìn)行求和。規(guī)則3：在一個表達(dá)式或方程的一項(xiàng)中，一種指標(biāo)出現(xiàn)的次數(shù)多于兩次，則是錯誤的。在下標(biāo)中，用一個逗號表示微分，如：2.3.2符號（Kronecker符號）克羅內(nèi)爾符號可看作是一個單位矩陣的縮寫形式，即由求和約定可得到由于所以，將應(yīng)用于只是將j用i置換，因此符號通常稱為置換算子。2.3.3符號（交錯張量）符號有33或27個元素，取值為1，-1，0。從下標(biāo)為自然順序1，2，3開始，如果交換次數(shù)為偶數(shù)，則元素為1，為奇數(shù)，則為-1，如果下標(biāo)出現(xiàn)重復(fù)，則值為0。可從圖解判斷：叉積證明：對分量1，對于表達(dá)式由于下標(biāo)1，j，k必須互不相同，所以可能的組合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而同理可對其它分量計(jì)算，合并得證。三重標(biāo)量積可寫為對交錯張量和克羅內(nèi)爾符號，有下列關(guān)系式：可用指標(biāo)方法證明：2.3.4坐標(biāo)變換假設(shè)和是共原點(diǎn)的兩個笛卡爾右手坐標(biāo)系的軸，矢量V在兩個坐標(biāo)系中的分量分別為和，則有稱為方向余弦，即與軸夾角的余弦。方向余弦表新坐標(biāo)軸老坐標(biāo)軸注意的元素不對稱。由的定義有：所以或該式隱含6個等式：兩坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)變換為和i為新坐標(biāo)軸，j為舊坐標(biāo)軸。2.3.5笛卡爾張量張量的名稱起源于它與應(yīng)力（張力）有關(guān)的歷史。新坐標(biāo)系中每一個新矢量的分量是原來分量的一個線性組合，這種變換很規(guī)則方便且有很多用途。根據(jù)線性變換的思想來定義張量。標(biāo)量不受坐標(biāo)變換的影響，定義為零階張量，分量數(shù)=30=1。滿足，這些矢量稱為一階張量，分量數(shù)=31=3。滿足，稱為二階張量，分量數(shù)=32=9。滿足，稱為三階張量，分量數(shù)=33=27。如此可以推廣到更高階張量。雖然所有的矢量都是張量，但并不是所有的矩陣都必定是張量，如工程應(yīng)變分量不構(gòu)成一個張量。2.3.6張量性質(zhì)相等當(dāng)兩個張量對應(yīng)的分量相等時，則定義它們相等。相加兩個同階張量的和（或差）仍是一個同階張量，其分量為兩個張量對應(yīng)分量的和（或差）。相乘一個張量與一個標(biāo)量的乘積為一同階的張量。張量相乘構(gòu)成一個新張量，其階數(shù)是原張量的階數(shù)之和。如縮并將兩個指標(biāo)賦給相同的字母，則張量進(jìn)行縮并。如對三階張量，有縮并后，這是對一階張量的變換規(guī)則。對稱與斜對稱對張量，如果，則稱之為對稱張量；如果，則稱之為斜對稱張量。任何一個二階張量都可唯一分解成一個對稱張量與一個斜對稱張量之和，即各向同性如果一個張量的分量在所有坐標(biāo)系中都具有相同的值，則它是各向同性的。張量都是各向同性的。商法則對于，如果在任一坐標(biāo)系中對任何張量，有：c是一標(biāo)量，則是一個張量。證明：由于c是標(biāo)量由于于是得到對任意矢量有，為一矢量；對任意張量有，為一張量；那么為一張量。對任意矢量有，c為一標(biāo)量，那么為一張量。例題2-1如果是一個標(biāo)量，試證明（a）是一個一階張量；（b）是一個二階張量；（c）是一個標(biāo)量（零階張量）；三、應(yīng)力分析3.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)3.2主應(yīng)力3.3最大剪應(yīng)力3.4Mohr應(yīng)力圖3.5偏應(yīng)力張量3.6八面體應(yīng)力3.7應(yīng)力的幾何表示3.8平衡方程3.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)材料質(zhì)點(diǎn)從宏觀尺度上看它無限小；但微觀尺度上看它無限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)行為是這些大量分子、原子力學(xué)行為的統(tǒng)計(jì)平均。應(yīng)力矢量T(n)=定義坐標(biāo)分量

T(n)=Txex+Ty

ey+Tzez

ex，ey和ez表示坐標(biāo)軸的單位基矢量，Tx、Ty

和Tz是應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸分量。法線方向和切線方向分量沿法線方向的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，沿切線方向的應(yīng)力分量稱為剪應(yīng)力。性質(zhì)：同一點(diǎn)的T(n)與所取截面的法線方向n有關(guān)，所有這些不同截面上的應(yīng)力矢量構(gòu)成該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只有三個面上的應(yīng)力矢量是獨(dú)立的；外法線為

n微面上的應(yīng)力矢量為：T(

n)=

T(n) 應(yīng)力張量

zy

z

y

x

xy

xz微六面體三個坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量T(ex)＝

xex+

xyey+

xzez T(ey)＝

yxex+

yey+

yzez

T(ez)＝

zxex+

zyey+

zez以上9個分量，構(gòu)成應(yīng)力張量在笛卡爾坐標(biāo)系下的分量張量表示用1、2、3取代下標(biāo)x、y、z，應(yīng)力正、負(fù)號規(guī)定正面上的應(yīng)力若指向坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎駝t為負(fù)；負(fù)面的應(yīng)力若指向坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎駝t為負(fù)。Cauchy公式（斜面應(yīng)力公式）已知三個互相垂直面上的應(yīng)力矢量，求任意一斜面上的應(yīng)力矢量，由四面體平衡條件導(dǎo)出。由微四面體的平衡條件得：T(n)dS+T(

ex)ldS+T(

ey)mdS+T(

ez)ndS+XdhdS/3=0T(

n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n 將斜面應(yīng)力矢量T(

n)沿坐標(biāo)軸方向分解 T(

n)＝Txex+Tyey+Tzez

斜截面公式

Tx＝

xl+

yxm+

zxn

Ty＝

xyl+

ym+

zyn

Tz＝

xzl+

yzm+

zn張量表示：Tj

=

ij

ni求斜截面的各種應(yīng)力（1）正應(yīng)力

n=T(n)

n=Txl+Tym+Tzn

n＝

xl2+

ym2+

zn2+2

xylm+2

yzmn+2

zxnl＝

ijninj

（2)剪應(yīng)力確定力邊界條件例題3-1求在面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力

解應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換

exeyezl11l12l13l21l22l23l31l32l33

3.2主應(yīng)力在主平面上，無剪切應(yīng)力T(n)＝

n

或Tx＝

lTy＝

mTz＝

n

(

x

)l+

yxm+

zxn＝0

xyl+(

y

)m+

zyn＝0

xzl+

yzm+(

z

)n＝0 l2+m2+n2=1非零解條件特征方程

3

I1

2+I2

I3=0不變量I1=

x+

y+

z=

kk

I2=

x

y+

x

z+

y

z

(

)=

(

ij

ij)

主應(yīng)力性質(zhì)（1）主平面相互垂直（2）極值性3.3最大剪應(yīng)力以應(yīng)力主軸建立坐標(biāo)系，在法線為n的斜截面上，應(yīng)力矢量為 T(

n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l

1e1+m

2e2+n

3e3

斜截面上的正應(yīng)力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3

應(yīng)力矢量的模為 =(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2

斜截面上的剪應(yīng)力是 =(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2－(l2

1+m2

2+n2

3)2

當(dāng)斜截面方向l、m、n變化時，剪應(yīng)力

n隨之變化。求上式的極值可得最大剪應(yīng)力約束條件

l2+m2+n2=1條件極值無條件極值 F=

(l2+m2+n2

1)

為引進(jìn)拉格朗日乘子

lmn

n0000

10000

2

0000

3

000最大剪應(yīng)力規(guī)定

1

2

3

所在平面與

2平行而與

1和

3的角度分別為450

并非純剪面，存在正應(yīng)力純剪切狀態(tài)一個應(yīng)力狀態(tài)成為純剪切狀態(tài)的充分必要條件是必要性直接從定義得到，充分性證明采用連續(xù)性判斷。3.4Mohr應(yīng)力圖每個截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，建立平面坐標(biāo)系—截面上的應(yīng)力對應(yīng)坐標(biāo)系的一個點(diǎn)截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力＝(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2截面上的正應(yīng)力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3l2+m2+n2=1 以上三個式子聯(lián)立求解方向余弦

平面應(yīng)力Mohr圓消去，得用斜截面應(yīng)力公式，得到法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，并用倍角公式變形得主應(yīng)力時，由此可決定方向3.5偏應(yīng)力張量靜水壓力狀態(tài)偏應(yīng)力狀態(tài)定義平均應(yīng)力

0=(

x

+

y+

z)

兩種應(yīng)力狀態(tài)用張量表示

ij=sij+

0

ij其中ij是Kronecker符號，定義為

ij=1，當(dāng)i＝j(luò)

ij=0，當(dāng)i≠j，關(guān)于靜水壓力狀態(tài)任意一個面都是主平面主應(yīng)力值均相等在應(yīng)力圓上是一個點(diǎn)靜水壓力張量是各向同性張量偏應(yīng)力張量sij的主值

s3+J1s2

+

J2s+J3=0 J1

=skk=sx+sy+sz=0J2=sijsij=[(

x

y)2+(

y

z)2+(

x

z)2+6()] =[(

1

2)2+(

2

3)2+(

1

3)]2

3.6八面體應(yīng)力八面體每個面的外法線為

n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)稱為等傾面等傾面上的應(yīng)力

8=(

1+

2+

3)八面體剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力是決定金屬屈服準(zhǔn)則的兩個最重要的剪應(yīng)力。3.7應(yīng)力的幾何表示將三個主應(yīng)力作為坐標(biāo)，某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示為三維應(yīng)力空間中的一點(diǎn)。靜水狀態(tài)軸：過原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸有相等夾角的直線。偏平面：垂直于靜水狀態(tài)軸的平面。平面：過原點(diǎn)的偏平面。對任意應(yīng)力空間點(diǎn)分解：靜水軸上：偏平面上：三個應(yīng)力主軸在偏平面上投影，構(gòu)成互為夾角的三個坐標(biāo)軸。NP在單位矢量的投影：與應(yīng)力張量主值關(guān)系s1=

1

0

s2=

2

0s3=

3

0兩者方向相同等效應(yīng)力J2=sijsij/2=[(

1

2)2+(

2

3)2+(

1

3)2] 單軸拉伸時，應(yīng)力狀態(tài)為

1=

，

2=

3=0，應(yīng)力洛德參數(shù)（Lode)：

3.8平衡方程在x=0的面上，應(yīng)力是

x、

xy、

xz

在x=dx面上的應(yīng)力由x方向的平衡

由y、z方向的平衡指標(biāo)記法為：對運(yùn)動情況：Navier于1827年首次導(dǎo)出。

力矩平衡：繞z軸(

xydydz)dx

(

yxdxdz)dy=0

xy＝

yx

繞x和y方向的形心軸取矩

yz=

zy

xz=

zx

靜力學(xué)邊界條件

xl+yxm+zxn＝

xyl+ym+zyn＝

xzl+yzm+zn＝例3-2如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為

，試寫出邊界條件。解：在x=0上，l=

1，m=0，

(

x

)x=0

(

1)

+(

yx)x=0

0=

y(

xy)x=0

(

1)

+(

y)x=0

0=0(

x)x=0=

y(

xy)x=0=0在斜邊上l=cos

，m=

sin

x

cos

yx

sin

=0

xycos

y

sin

=04.1位移和應(yīng)變4.2應(yīng)變張量4.3應(yīng)變與位移的關(guān)系4.4位移的分解第4章應(yīng)變分析4.5主應(yīng)變4.6體積應(yīng)變4.7應(yīng)變張量的分解4.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程4.1位移和應(yīng)變連續(xù)體內(nèi)任意兩點(diǎn)的相對位置改變時，此物體被稱為有變形或有應(yīng)變。物體發(fā)生位移，應(yīng)變由位移得到。對物體中足夠小的區(qū)域，認(rèn)為該區(qū)域的應(yīng)變是均勻的。 u(x、y、z)=rx

Rx

v(x、y、z)=ry

Ry

w(x、y、z)=rz

Rz位移應(yīng)變考察物體內(nèi)任意一微小線段長度的相對改變

正（線）應(yīng)變方向的相對改變

剪（角）應(yīng)變4.2應(yīng)變張量三個方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)取與坐標(biāo)軸相平行的三個方向

對稱張量張量的剪切應(yīng)變分量

實(shí)際的剪切應(yīng)變工程剪應(yīng)變和張量剪應(yīng)變的區(qū)別4.3應(yīng)變與位移的關(guān)系（幾何方程）

OA和OB兩線元的長度分別為OA=dx，OB=dy。設(shè)O點(diǎn)的位移是u(x，y)和v(x，y)，A點(diǎn)的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)，B點(diǎn)的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。，，根據(jù)定義，導(dǎo)出xy平面內(nèi)的應(yīng)變分量考慮小變形假定

其他應(yīng)變分量幾何方程張量表示位移梯度應(yīng)變張量是位移梯度的對稱化4.4位移的分解A點(diǎn)位移是：

u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)，B點(diǎn)位移是： u

=u(x+dx、y+dy、z+dz) v

=v(x+dx、y+dy、z+dz) w

=w(x+dx、y+dy、z+dz)Taylor級數(shù)將B點(diǎn)位移相對A點(diǎn)展開矩陣表示

轉(zhuǎn)動矢量

＝

xex＋

yey＋

zez

剛體轉(zhuǎn)動：以

方向的直線為轉(zhuǎn)軸，且轉(zhuǎn)角為位移分解（1）隨A點(diǎn)平動；AB

A

B

（2）相對A點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動；A

B

A

B

（3）純變形。A

B

A

B

。4.5主應(yīng)變將應(yīng)力計(jì)算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換，例如求主應(yīng)變的特征方程對于非零解條件行列式展開得主剪應(yīng)變工程主剪應(yīng)變最大值應(yīng)變的Mohr圓圖解表示4.6體積應(yīng)變

變形前的體積是V0=dxdydz

變形后的體積是體積應(yīng)變

(1+

x+y+z)dxdydz

＝

x+y+z4.7應(yīng)變張量的分解球形張量對應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)只有體積等向膨脹或收縮，而沒有形狀畸變；偏應(yīng)變張量對應(yīng)的變形狀態(tài)，只有形狀畸變而沒有體積改變張量表示對偏應(yīng)變張量也可求主值，不變量：八面體應(yīng)變八面體正應(yīng)變八面體剪應(yīng)變等效應(yīng)變在材料不可壓縮（）的情況下，單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中就是單軸應(yīng)變

4.8變形協(xié)調(diào)方程問題根據(jù)幾何方程去求位移分量，有多組位移解表明物體發(fā)生裂縫或者相互嵌入，產(chǎn)生不連續(xù)。因此，6個應(yīng)變分量不能任意給定，必須滿足一定的協(xié)調(diào)關(guān)系，位移單值連續(xù)的必要條件，對單連通體，其充分條件是：

必要性證明同樣得到另外兩個類似的方程，，

（1）式+（3）式-（2）式，得由圣維南首次導(dǎo)出。關(guān)于大變形應(yīng)變定義無限多種但應(yīng)滿足兩個條件（1）物體只產(chǎn)生剛體位移是零（2）在小變形時，與小變形的應(yīng)變定義一致已知三個主方向，及三個主伸長

1，2，3對數(shù)應(yīng)變對小應(yīng)變積分得到大應(yīng)變：得到對數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變之間的關(guān)系。5本構(gòu)關(guān)系5.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系5.1.1一般表示5.1.2材料對稱性5.1.3各向同性彈性體5.1.4彈性常數(shù)的測定5.1.5矩陣形式表達(dá)5.1.6彈性應(yīng)變能

應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過程無關(guān)

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)5.1.1一般表示對于線性彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系數(shù)cmn共36個，取決于材料彈性性質(zhì)，與坐標(biāo)系選取有關(guān)張量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl稱為四階彈性張量，共81個分量。同樣也取決于坐標(biāo)系，服從四階張量的坐標(biāo)變換定律

彈性張量的對稱性（1）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性

Cijkl=Cjikl

（2）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性

Cijkl=Cijlk

獨(dú)立的分量也是36個。（3）應(yīng)變能存在，則彈性張量關(guān)于ij和kl也應(yīng)對稱

Cijkl=Cklij

獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個兩種表示方式之間的關(guān)系

彈性系數(shù)c的下標(biāo)1、2、3、4、5、6對應(yīng)于張量C的指標(biāo)11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

彈性系數(shù)cmn也應(yīng)具有對稱性

cmn＝cnm

5.1.2材料對稱性彈性對稱面該面對稱的兩個方向具有相同的彈性關(guān)系

以最后一個方程為例

zx

反號，而

x，

y，

z和

xy不變，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y

=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z

=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy

=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz

=c55

yz+c56

zx

zx

=c56

yz+c66

zx13個獨(dú)立常數(shù)正交各向異性材料

具有三個相互正交的彈性對稱面。獨(dú)立彈性常數(shù)減少到9個

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c22

y+c23

z

z

=c13

x+c23

y+c33

z

xy

=c44

xy

yz

=c55

yz

zx

=c66

zx

各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料和木材等屬于這類材料橫觀各向同性材料存在一個彈性對稱軸，在垂直該軸的平面內(nèi)材料各向同性。將x，y軸互換時，材料彈性關(guān)系不變

c11=c22，c13=c23，c55=c66將坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)450，剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，得c44=0.5(c11

c12)

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=

c55

zx獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到5個。例如：層狀結(jié)構(gòu)的巖體。5.1.3各向同性彈性體廣義Hooke定律將x軸與z軸互換，或?qū)軸與z軸互換時，材料彈性關(guān)系不變，

c11=c33，c12=c13，c55=c66=0.5(c11

c12)

于是，獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到2個

x

=c11

x+c12

y+c12

z

y

=c12

x+c11

y+c12

z

z

=c12

x+c12

y+c11

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=0.5(c11

c12)

yz

zx

=0.5(c11

c12)

zx令

c12=

，c11

c12=2G

、G稱為Lame（拉梅）彈性常數(shù)

x=2G

x

+

xy=G

xy

y=2G

y

+

yz=G

yz

z=2G

z

+

zx=G

zx

=

x

+

y

+

z

是體積應(yīng)變廣義Hooke定律的張量形式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij

=Cijkl

kl

Cijkl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk) 某個面上的剪切應(yīng)力為零時，剪應(yīng)變也為零應(yīng)力的主方向與應(yīng)變的主方向重合應(yīng)變用應(yīng)力表示

kk=(3

+2G)

kk

體積應(yīng)力與體積應(yīng)變關(guān)系將等式對應(yīng)相加，可得平均應(yīng)力與體積應(yīng)變的關(guān)系：

3

0=(2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/3是平均應(yīng)力。

0=K

式中 K=(3

+2G)/3是體積變形模量。偏應(yīng)力與偏應(yīng)變關(guān)系

x=2G

x

+

sx+

0=2G(ex

+

)+

將體應(yīng)力與體應(yīng)變關(guān)系代入：

sx=2Gex

同理可得：

sy=2Geysz=2Gez

張量形式表示為

sij

=2Geij

在線彈性范圍內(nèi)，偏應(yīng)力只產(chǎn)生偏應(yīng)變，即只產(chǎn)生形狀改變，體積應(yīng)力只產(chǎn)生體應(yīng)變，即只產(chǎn)生體積改變。5.1.4彈性常數(shù)的測定靜水壓縮實(shí)驗(yàn)體積模量單軸拉伸實(shí)驗(yàn)使用物理關(guān)系，有彈性模量和泊松比：相反，有

純剪實(shí)驗(yàn)使用物理方程，

xy

=2G

xy，

因此，G也是剪切模量。單軸應(yīng)變實(shí)驗(yàn)有唯一應(yīng)變分量約束模量：各向同性彈性本構(gòu)關(guān)系用其他參數(shù)表示：正應(yīng)力只產(chǎn)生正應(yīng)變；剪應(yīng)力只產(chǎn)生剪應(yīng)變。每個應(yīng)變等于各個應(yīng)力單獨(dú)作用時產(chǎn)生的應(yīng)變之和。彈性常數(shù)的限制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，E、G、K總為正值，有大多數(shù)材料為正值，而，有即材料彈性不可壓縮，如橡膠。5.1.5矩陣形式表達(dá)平面應(yīng)力情況平面應(yīng)變情況（重力壩）5.1.6彈性應(yīng)變能一維情況

一細(xì)長桿，長度L，橫截面積S，兩端受拉力P作用，伸長量為

L，外力功為 由于應(yīng)力

x=P/S，

x=

L/L，上式可寫成

單位體積的應(yīng)變能W為求應(yīng)變能相對應(yīng)變的偏導(dǎo)三維情況

考察微小六面體，應(yīng)力分量

ij產(chǎn)生的應(yīng)變分量

ij，各應(yīng)力分量

ij都只在與它相同的應(yīng)變分量

ij上做功，根據(jù)能量平衡，單位體積的應(yīng)變能應(yīng)是

所以

dW=

ijd

ij

對于彈性體，應(yīng)變能只取決于狀態(tài)，是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)W=W(

ij)，應(yīng)變能增量dW必須是全微分

于是對于任意的應(yīng)變增量d

ij都應(yīng)成立：這是從能量角度出發(fā)建立的彈性物體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可導(dǎo)出如下對稱性

Cijkl=Cklij將物理方程

ij

=Cijkl

kl代入dW=

ijd

ij，考慮對稱性，則

W=Cijkl

ij

kl=

ij

ij

應(yīng)變能分解

應(yīng)變能可分解為體積改變能和形狀改變能。

W=

ij

ij=(sij

+

0

ij)(eij

+

kk

ij)=

0

kk+sijeij

第一項(xiàng)是體積應(yīng)力在體積應(yīng)變上做的功，稱為體積改變能（體變能）；第二項(xiàng)是偏應(yīng)力在偏應(yīng)變上做的功，稱為形狀改變能（畸變能）。在各向同性情況下，應(yīng)變能由應(yīng)變表示為

W=K(

kk)2+(2G)eijeij

或者用應(yīng)力表示為

W=(

0)2+J2

應(yīng)變能函數(shù)W應(yīng)是正定的，即W

0，應(yīng)變余能對任意非線性彈性，應(yīng)變能和應(yīng)變余能之和為例5-1：對非線性彈性的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系n為常數(shù)，求與的比值。5.2屈服準(zhǔn)則5.2.1引言5.2.2與靜水壓力無關(guān)的材料5.2.3與靜水壓力有關(guān)的材料5.2.1引言基本概念物體在外載荷作用下，隨著載荷增大，逐步從彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)，這種過渡稱為屈服。物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)開始產(chǎn)生塑性變形時，應(yīng)力或應(yīng)變所必須滿足的條件，叫屈服條件。一般情況下，它是應(yīng)力、應(yīng)變、時間、溫度等的函數(shù)，但在不考慮時間效應(yīng)和接近常溫的情況下，屈服條件中不包含時間和溫度。在初始屈服之前應(yīng)力和應(yīng)變之間是一一對應(yīng)關(guān)系，這樣，屈服條件只是應(yīng)力分量或應(yīng)變分量的函數(shù)。

若材料是各向同性的，則屈服條件應(yīng)該與方向無關(guān)，這時宜采用與坐標(biāo)無關(guān)的主應(yīng)力或應(yīng)力不變量表示。屈服條件通常寫為：

在應(yīng)力空間中，屈服條件可以表示為屈服曲面。屈服面在平面上的跡線一般稱為平面上的的屈服曲線，屈服面與子午平面的交線稱為子午平面上的的屈服曲線。平面上屈服曲線的一般性質(zhì)1）屈服曲線是一條封閉的曲線；2）屈服曲線是外凸的；3）屈服曲線所圍成的區(qū)域是單連通的；4）對于各向同性材料，屈服曲線對于平面內(nèi)的三個坐標(biāo)軸是對稱的。在平面內(nèi)的6個60度扇形區(qū)屈服曲線具有相同的形狀。5.2.2與靜水壓力無關(guān)的材料材料的屈服對靜水壓力不敏感，剪切應(yīng)力控制著這些材料的屈服。金屬等晶體結(jié)構(gòu)材料Tresca條件：材料常數(shù)k值可由簡單實(shí)驗(yàn)確定（1）單軸拉伸：屈服時

1=s，2=3=0，代入屈服條件k=s/2（2）簡單剪切：屈服時

=

s

1=s，2=0，3=s,代入屈服條件k=sMises條件：sijeij=sijsij=J2

J2與彈性狀態(tài)的形狀改變能成正比J2的物理意義

J2也與八面體上的剪應(yīng)力成比例材料常數(shù)k由簡單實(shí)驗(yàn)確定（1）單軸拉伸：屈服時

1=s，2=3=0，代入屈服條件

（2）剪切：屈服時=

s

1=s，2=0，3=s,，屈服條件兩種屈服條件比較

如假定單軸拉伸時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓；如假定簡單剪切時兩個屈服面重合，則Tresca六邊形外切于Mises圓5.2.3與靜水壓力有關(guān)的材料巖石、混凝土、土等摩阻材料在受拉狀態(tài)下一般表現(xiàn)為脆性而幾乎不產(chǎn)生塑性變形。只有在受壓狀態(tài)，由于微裂紋的擴(kuò)展或閉合，裂紋表面的相對滑動，才可能產(chǎn)生類似于金屬的塑性變形。拉伸和壓縮的力學(xué)性能差別很大產(chǎn)生應(yīng)變軟化現(xiàn)象產(chǎn)生塑性體積膨脹變形與靜水壓力有關(guān)具有彈塑性耦合

Rankine條件1876年Rankine（朗金）提出最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則，用于確定脆性材料的拉伸破壞。還可表達(dá)為Mohr-Coulomb條件：考察一任意剪切面，該面上的剪應(yīng)力為

n，正應(yīng)力為n，推動剪切滑移的有效剪切力是

n阻止剪切滑動力：內(nèi)摩擦力(n)tg，粘結(jié)力CMohr條件

n

=(n)tg＋C隨靜水壓力增長，

減小，在

應(yīng)力平面上不是直線，而是曲線，Coulumb條件：

對于土和受靜水壓力不太大的巖石，可假定

角為常數(shù)，為直線

n=(1+3)+(1

3)sin

n=(1

3)cos屈服條件為：(

1

3)+(1+3)sin

Ccos=0

作單向拉伸和壓縮實(shí)驗(yàn)，屈服條件可簡化

單軸拉伸屈服應(yīng)力單軸壓縮屈服應(yīng)力Mohr-Coulomb條件過高地估計(jì)了脆性材料的抗拉強(qiáng)度，可與最大拉應(yīng)力條件聯(lián)合運(yùn)用。當(dāng)

1

2

3時，Mohr-Coulomb屈服條件可寫成Drucker-Prager條件：偏平面上DP條件的屈服曲線DP準(zhǔn)則可以通過調(diào)整圓錐的大小來適應(yīng)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。（1）圓外接于六邊形（2）圓內(nèi)接于六邊形Zienkiewicz-Pande條件：雙參數(shù)拋物型Mohr屈服準(zhǔn)則：其中為單軸抗拉強(qiáng)度，a為系數(shù)為單軸抗壓強(qiáng)度雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（俞茂鋐，1961）廣義雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則（俞茂鋐，1982）兩種著名的帽子模型Druker提出的帽子模型劍橋模型（Cam-Clay模型）例：例5-2：一薄壁圓管，平均半徑為R，壁厚為t，受內(nèi)壓p作用，討論下列兩種情況：

（1）

管的兩端是自由的；

（2）管的兩端是封閉的；分別使用Mises和Tresca屈服條件，討論p多大時管子開始屈服（規(guī)定純剪時兩種屈服條件重合）解：將Mises和Tresca中的材料常數(shù)都使用純剪時的屈服極限表示，并使得兩種屈服條件重合，則有Mises屈服條件:J2=

s2Tresca屈服條件:1

3=2s（1）管的兩端是自由的；應(yīng)力狀態(tài)為，

z=0，

=pR/t，

r=0，

zr=r

=

z=0

J2=[(z

r)2+(r

)2+(

z)2+6()]

=[2(pR/t)2]=(pR/t)2

1

3=

=pR/t

對于Mises屈服條件:J2=

s2

對于Tresca屈服條件:1

3=k=2s

p

=2st/R

（2）管段的兩端是封閉的：應(yīng)力狀態(tài)為，

z=pR/2t，

=pR/t，

r=0，

zr=r

=

z=0J2=[(z

r)2+(r

)2+(

z)2

+6()]=(pR/t)2

1

3=

=pR/t對于Mises屈服條件：

p=2st/R對于Tresca屈服條件：

p

=2st/R對管的兩端為固定的情況，屈服壓力又如何？5.3塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系5.3.1加載條件5.3.2流動法則5.3.3強(qiáng)化法則5.3.4增量理論5.3.5全量理論5.3.6穩(wěn)定公設(shè)5.3.7典型例題5.3.1加載條件在塑性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是非線性的。應(yīng)變不僅和應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還和變形歷史有關(guān)。需要判斷應(yīng)變往塑性變形發(fā)展還是彈性變化，即需要加卸載條件判斷。塑性變形時，應(yīng)變和應(yīng)力的關(guān)系如何，需要流動法則來解決。塑性變形后，材料屈服極限是否提高，屈服曲面如何變化，由強(qiáng)化法則來判斷。

加載條件和加載面

在單軸試驗(yàn)中，當(dāng)應(yīng)力超過初始屈服應(yīng)力后發(fā)生塑性變形，卸載后重新加載其屈服應(yīng)力將提高（強(qiáng)化）或減小（軟化）。推廣到三維情況下，在空間應(yīng)力條件下這就相當(dāng)于是加載面的移動、擴(kuò)大或縮小，經(jīng)過塑性變形變化后的屈服條件就稱加載條件。加載條件在應(yīng)力空間內(nèi)形成的曲面稱為加載面。

對理想塑性材料，加載條件和加載面不發(fā)生變化，都是最初的屈服面。

加卸載準(zhǔn)則

在應(yīng)力空間上的屈服面確定了當(dāng)前彈性區(qū)的邊界。若應(yīng)力狀態(tài)改變時材料中有新的塑性變形產(chǎn)生，這種應(yīng)力變化稱加載（loading）；而當(dāng)應(yīng)力變化時材料回到彈性狀態(tài)，不產(chǎn)生新的塑性變形，這種應(yīng)力變化稱卸載（unloading）。

上述情況下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是不同的。因此，要確定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還需建立一個加載準(zhǔn)則。對單軸受力的情況，加卸載準(zhǔn)則可表為：

對于理想彈塑性材料，加卸載條件為對于硬化材料在強(qiáng)化階段，加卸載條件為：

對于硬化材料在軟化階段，加卸載條件在應(yīng)力空間無法體現(xiàn)。可以在應(yīng)變空間進(jìn)行描述為：5.3.2流動法則

塑性位勢理論：Mises將彈性位勢理論推廣到塑性理論，提出塑性流動方向（塑性應(yīng)變增量矢量的方向）與塑性勢函數(shù)的梯度方向一致：關(guān)聯(lián)流動法則

非關(guān)聯(lián)流動法則Mises形式的塑性勢能函數(shù)由流動法則得不會產(chǎn)生塑性體積變化：塑性應(yīng)變增量是一個偏量

展開為考慮彈性應(yīng)變，得到：這就是Prandtl-Reuss方程。在大塑性流動中，忽略彈性變形，得到Levy-Mises方程：相對彈性力學(xué)問題，增加了d

未知數(shù)，也增加了一個方程（屈服條件）理想彈塑性問題，考慮平衡方程＋幾何方程＋物理方程＋屈服條件討論：當(dāng)給定應(yīng)力sij，由本構(gòu)方程可確定應(yīng)變增量d

ij各分量的比例關(guān)系，由于d

未知，不能確定應(yīng)變增量d

ij的大小。其物理含義是：由本構(gòu)方程，大小可以任意。但變形必須始終保持協(xié)調(diào)而受到相互限制。應(yīng)變大小的確定需結(jié)合變形協(xié)調(diào)條件。反過來若給定d

ij，則可以確定sij。應(yīng)變Lode參數(shù)Tresca形式的塑性勢能函數(shù)在應(yīng)力狀態(tài)位于塑性勢能面頂點(diǎn)或奇異點(diǎn)，塑性應(yīng)變增量必須位于六邊形兩相鄰邊的法線方向之間。不規(guī)定主應(yīng)力大小順序，Tresca屈服條件可寫成f1=

2

3

s=0f2=3+1

s=0f3=1

2

s=0f4=2+3

s=0f5=3

1

s=0f6=1+2

s=0當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于f1=0上當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于f2=0上=(0

d

1

d

1)=(d

2

0

d

2)當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)在f1=0和f2=0的交點(diǎn)上可在f1=0的法線n1與f2=0的法線n2之間變化，這個變化區(qū)域稱之為尖點(diǎn)應(yīng)變錐一般地，在幾個光滑勢能面相交的奇異點(diǎn)處，塑性應(yīng)變增量表示成在該點(diǎn)相交的各面的法線方向所確定的增量的線性組合：5.3.3強(qiáng)化法則1）強(qiáng)化法則的概念在加載過程中，屈服面不斷改變它的形狀以使應(yīng)力點(diǎn)總是位于它上面，從某一個屈服面如何進(jìn)入后繼屈服面的準(zhǔn)則就是強(qiáng)化法則，也就是控制加載面發(fā)展的規(guī)則。

單軸拉伸下的強(qiáng)化隨加載，屈服極限會不斷提高，稱為強(qiáng)化或硬化新的屈服極限：

(s)new=Max()

后繼屈服條件（也稱加載條件）

＝(s)new處于屈服狀態(tài)

<(s)new處于卸載狀態(tài)

Max()隨塑性變形歷史單調(diào)增長， Max()＝

(

p) 后繼屈服條件即加載條件也可表示為

(

p)＝0復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

為了描述強(qiáng)化性質(zhì)，需要：（1）記錄塑性加載的歷史；（2）描述強(qiáng)化與塑性加載歷史的關(guān)系。表達(dá)加載歷史的參量為硬化參量，它又稱為內(nèi)變量（internal-variable），它不能由觀測儀器直接觀測求出，而應(yīng)力變形一類可由儀器直接測出的量稱外變量。硬化參量記為目前常用的硬化參量有如下幾種：1．塑性功是目前巖土彈塑性理論中用得較多的。2．塑性應(yīng)變3．等效塑性剪應(yīng)變4．塑性體應(yīng)變使用一組內(nèi)變量

（

=1，2，…，n）描述塑性變形歷史，后繼屈服條件 f(ij，

)=0

隨塑性變形的發(fā)展，

不斷變化，后繼屈服面或加載面也隨之改變。施加增量d

ij：（1）加載：d

ij指向加載面外（2）中性變載：d

ij沿著加載面（3）卸載：d

ij指向加載面內(nèi)當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)

ij處在加載面上，f(ij，

)=0增量后f(

ij+d

ij，

+d

)=0由于任何一種應(yīng)力狀態(tài)都不能位于加載面之外

增量前f(ij，

)=0，一致性條件：隨加載過程，內(nèi)變量

不斷地增加中性變載或者卸載時，則內(nèi)變量

保持不變總之：內(nèi)變量

只會增加，不會減少。且只有產(chǎn)生新的塑性變形時，它才會增加。這是由塑性變形的不可逆性所決定的。

常用的強(qiáng)化模型

1.等向強(qiáng)化幾何特點(diǎn)（在應(yīng)力空間）：加載面形狀和中心位置都不變，大小變化，形狀相似的擴(kuò)大。物理意義：假定材料在強(qiáng)化后仍保持各向同性的性質(zhì)。數(shù)學(xué)表示：f(

ij)

k(

)=0等向強(qiáng)化可理解為材料某一方向上因加載屈服極限得到提高，所有其它方向的屈服極限都將因此而得到同等程度的提高。Mises初始屈服條件

函數(shù)

可通過單軸拉伸下實(shí)驗(yàn)曲線

確定

加載（后繼屈服）條件2.隨動強(qiáng)化幾何特點(diǎn)（在應(yīng)力空間）：形狀和大小、方向保持不變，只是中心位置發(fā)生改變，加載面作剛體移動。物理意義：材料在強(qiáng)化后為各向異性。數(shù)學(xué)表示：

f(

ij

ij)

k=0

ij是一個表征加載面中心移動的應(yīng)力值，稱為背應(yīng)力（backstress）提供了考慮Bauschinger效應(yīng)的簡單方法。Prager隨動強(qiáng)化模型背應(yīng)力增量應(yīng)平行于塑性應(yīng)變增量d

ij=c式中c是材料常數(shù)，由試驗(yàn)確定。對于Mises屈服條件，該模型可寫成3混合強(qiáng)化幾何特點(diǎn)：加載面大小、位置和中心都改變，它是前面兩種情況的綜合，數(shù)學(xué)表達(dá)：f(

ij

ij)k(

)=0與隨動強(qiáng)化不同的是，這里k隨加載的歷史而變化。說明：以上關(guān)于屈服條件和加載條件的討論都是在應(yīng)力空間中進(jìn)行的。對應(yīng)變軟化材料來說，應(yīng)變空間中討論會更方便些。5.3.4增量理論

描述塑性變形規(guī)律的理論大致分兩大類：增量理論和全量理論。增量理論建立了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力及應(yīng)力增量之間的關(guān)系，又稱為流動理論。全量理論建立了應(yīng)力全量和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，又稱為形變理論。在塑性變形階段，塑性變形與加載路徑有關(guān)，因此，一般情況下，必須考慮某時刻的應(yīng)變增量，再用積分或求和的辦法求出整個加載歷史的總應(yīng)變，即塑性本構(gòu)關(guān)系本質(zhì)上只能采用增量的形式，這是與彈性本構(gòu)關(guān)系的明顯區(qū)別。本構(gòu)關(guān)系的一般形式

本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)方法（用矩陣形式）應(yīng)變增量的分解：

彈性部分：用應(yīng)力增量表示應(yīng)變增量：A可通過實(shí)驗(yàn)測定為了求出逆關(guān)系，將上式兩端乘上5.3.5全量理論

一般來說，增量應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）不能積分成全量關(guān)系，但在某些加載情況下，增量理論可積分得到應(yīng)力與應(yīng)變之間的全量關(guān)系，即全量理論。應(yīng)力應(yīng)變一一對應(yīng)的確定關(guān)系，相當(dāng)于非線性彈性（不考慮卸載），求解簡單。

簡單加載（比例加載）是指應(yīng)力各分量之間成比例且單調(diào)增長，即（t>0，dt>0）此時，可由增量理論推導(dǎo)出全量理論在

平面上，該加載路徑是一條

=const的射線，deij=dsij+d

sij（Mises準(zhǔn)則）d

kk=d

kkeij=sij

kk=kk

積分得令H=1/2G+

得：eij=Hsijeijeij=H2sijsij得：單一曲線假定當(dāng)材料幾乎為不可壓縮時，按照不同應(yīng)力組合所得出的～曲線與單軸拉伸時的～曲線十分相近。如何保證物體的每一個微小單元都處在簡單（比例）加載情況，Il

usion給出了一組充分條件。（1）小變形；（2）材料不可壓縮；（3）外荷載按比例單調(diào)增長，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；（4）材料～的曲線具有冪指數(shù)硬化形式：這是一組苛刻的條件（不可壓縮材料不多，冪次型有效應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系也難滿足），揭示出全量方法在應(yīng)用上的極大局限性。在工程實(shí)際應(yīng)用中，許多實(shí)例是偏離簡單加載定理的，只能滿足條件（1）、（3），但結(jié)果還比較滿意，說明在一個較大范圍內(nèi)可以采用全量理論，計(jì)算結(jié)果再用實(shí)驗(yàn)復(fù)核。5.3.6穩(wěn)定公設(shè)（1）穩(wěn)定材料：應(yīng)力增加，應(yīng)變隨之增加，即

>0，（2）不穩(wěn)定材料：應(yīng)變增加，應(yīng)力減少，稱之為應(yīng)變軟化，

<0，（3）隨應(yīng)力增加，應(yīng)變減少，這種情況和能量守恒原理矛盾從1點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（是靜力可能的應(yīng)力）開始，施加某種外力使其達(dá)到2點(diǎn)（其應(yīng)力為

ij）并進(jìn)入屈服，再施加應(yīng)力增量d

ij使其加載到達(dá)3點(diǎn)（其應(yīng)力為ij+d

ij)，然后移去所施加的外力，使微單元體卸載回到原來的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力循環(huán)在如此的應(yīng)力循環(huán)1-2-3-4內(nèi)，附加應(yīng)力ij

所做的功應(yīng)不小于零：

Drucker公設(shè)

在應(yīng)力循環(huán)中，附加應(yīng)力在彈性應(yīng)變上所做功為零Drucker公設(shè)的推論

由于路徑是任意的，所以：又稱為最大塑性功原理，即實(shí)際應(yīng)力所做的塑性功總是大于或者等于靜力可能應(yīng)力所做的塑性功，也可寫為：外凸性和正交性Drucker公設(shè)是一個充分非必要準(zhǔn)則，直接導(dǎo)致了加載面外凸性和正交流動法則。加載面外凸性

定義：過加載面上的任意一點(diǎn)作一超平面與加載面相切，該超平面若不再與加載面相交，即加載面位于超平面的一側(cè)，則加載面外凸。由于應(yīng)力增量和塑性應(yīng)變增量矢量的標(biāo)量積非負(fù)，則初始屈服面和后繼加載面必然是外凸的，否則不能滿足該條件。正交性塑性應(yīng)變增量必須沿著外法線方向n

假定屈服函數(shù)f與靜水壓力無關(guān)，必然是一個偏張量，因此，也是偏張量，即塑性體積是不可壓縮的。對流動法則：

g=f，相關(guān)聯(lián)的流動法則。塑性