軸向拉伸與壓縮

【內容提要】

材料力學主要研究構件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規律。為設計既安全

可靠又經濟合理的構件，提供有關強度、剛度與穩定性分析的基本理論與方法。

【重點、難點】

重點考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應力的計算。

【內容講解】

一、基本概念

強度一一構件在外力作用下，抵抗破壞的能力，以俁證在規定的使用條件不，不會發生

意外的斷裂或顯著塑性變形。

剛度一一構件在外力作用下，抵抗變形的能力，以俁證在規定的使用條件入不會產生過

分的變形。

穩定性一一構件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保證在規定的使用條件下,

不會產生失穩現象。

桿件-----個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸的構件，稱為桿件或簡稱桿。

根據軸線與橫截面的特征，桿件可分為直桿與曲桿，等截面桿與變截面桿。

二、材料力學的基本假設

工程實際中的構件所用的材料多種多樣，為便于理論分析，根據它們的主要性質對其作

如下假設。

（一）連續性假設一一假設在構件所占有的空間內均毫無空隙地充滿了物質，即認為是密

實的。這樣，構件內的一些幾何量，力學量（如應力、位移）均可用坐標的連續函數表示,

并可采用無限小的數學分析方法。

（二）均勻性假設一一很設材料的力學性能與其在構件中的位置無關。按此假設通過試樣

所測得的材料性能，可用于構件內的任何部位（包括單元體）O

（三）各向同性假設一一沿各個方向均具有相同力學性能。具有該性質的材料，稱為各向

同性材料。

綜上所述，在材料力學中，一般將實際材料構件，看作是連續、均勻和各向同性的可變

形固體。

三、外力內力與截面法

（一）外力對于所研究的對象來說，其它構件和物體作用于其上的力均為外力，例如載荷

與約束力。

外力可分為：表面力與體積力；分布力與集中力；靜載荷與動載荷等。

當構件（桿件）承受一般載荷作用時.，可將載荷向三個坐標平面（三個平面均通過桿的軸線,

其中兩個平面為形心主慣性平面）內分解，使之變為兩個平面載荷和一個扭轉力偶作用情

況。在小變形的情況下，三個坐標平面內的力互相獨立，即一個坐標平面的載荷只引起

這一坐標平面內的內力分量，而不會引起另一坐標平面內的內力分量。此即小變形條件

的疊加法。

（二）內力與截面法

內力在外力作用下，構件發生變形，同時，構件內部相連各部分之間產生相互作用力，

由于外力作用，構件內部相連兩部分之間的相互作用力，稱為內力。

截面法將構件假想地截（切）開以顯示內力，并由平衡條件建立內力與部分外力間的關系

或由部分外力確定內力的方法，稱為截面法。

由連續性假設可知，內力是作用在切開面截面上的連續分布力。稱連續分布內力。將連

續分布內力向橫截面的形心C簡化，得主矢與主矩。為了分析內力，沿截面軸線建立軸，

在所切橫截面內建立軸和軸，并將主矢與主矩沿X、y、z三軸分解，得內力分量，以

及內力偶矩分量。這些內力及內力偶矩分量與作用在保留桿段上的部分外力，形成平衡

力系，并由相應的平衡方程，建立內力與部分外力間的關系，或由部分外力確定內力。

內力分量及內力偶矩分量，統稱為內力分量。

（三）應力正應力與剪應力

為了描述內力的分布情況，引入內力分布集度即應力的概念。平均應力在截面m—m上任

一點K的周圍取一微面枳AA,設作用于該面枳上的內力為△「，則AA內的平均應力：

單元體（微體）圍繞某點（如K）.切取一無限小的六面體，稱為單元體（或微體）。為全面研

究一點處在不同方位的截面上的應力（稱為一點的應力狀態）而切取的研究對象之一。

四、軸向拉伸與壓縮的力學模型

軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。

受力特征作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對大小相等、

矢向相反。

變形特征受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長（縮短）即桿件任意兩橫截面沿桿件軸

向方向產生相對的平行移動。

拉壓桿以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向受力桿。作用線沿桿件軸向

的載荷，稱為軸向載荷

五、軸力軸力圖

（-）軸力

拉壓桿橫截面上的內力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸入，用N_表示。是拉壓桿橫

截面上唯一的內力分量。

軸力N符號規定拉力為正，壓力為負。

根據截面法和軸力N正負號規定，可得計算拉壓桿軸力N的法則：橫截面上的軸力N,在

數值上等于該截面的左側（或右側）桿上所有軸向外力的代數和。

無論左側或右側桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負值。

（二）軸力圖

表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化規律的圖線。稱為軸力圖或N圖。以x軸為橫坐標

平行于桿軸線，表不橫截面位置，以N軸為縱坐標，表不相應截面上的軸力值。

六、拉壓桿橫截上、斜截面上的應力

（-）拉壓桿橫截上的應力

（二）拉壓桿斜截面上的應力

由拉壓桿橫截面上的應力均勻分布，可推斷斜截面上的應力，也為均勻分布，且其方向

必與桿軸平行。

斜截面上

剪應力符號規定：將截面外法線，沿順時方向旋轉90°,與諦方向同向的剪應力為正。

七、材料拉壓時力學性能強度條件

㈠破壞（失效）許用應力

由于脆性材料均勻性較差，且斷裂又是突然發生的，其達到極限應力時的危險性要比塑

性材料大的多，因此，在普通荷載作用下，比大，一般取=1.5-2.0；對脆性材料規

定取二2.5?3.0,甚至更大。

㈡強度條件

利用上述條件，可解決以下三類問題。

1.校核強度—

當已知拉壓桿所受外力，截面尺寸和許用應力，通過比較工作應力與許用應力大小，以

判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。

2.選擇截面尺寸

若已知拉壓桿所受外力和許用應力，由強度條件確定該桿所需截面面積。對于等截面拉

壓桿，其所需橫截面面積為

3.確定承載能力

若己知拉壓桿截面尺寸和許用應力，由強度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力,

其值為

八、軸向拉壓變形軸向拉壓應變能

當桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸

向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時，桿件因變形而貯

存的能量，稱為應變能。

（一）軸向變形與胡克定律

試驗表明：軸向拉伸時，軸向伸長，橫向尺寸減小；軸向壓縮時，軸向縮短，橫向尺寸

增大，即橫向線應變與軸向線應變恒為異號。且在比例極限內，橫向線應變與軸向線應

變成正比。比例系數用表示，稱為泊松比。它是一個常數，其值隨材料而異，由試驗測

定O

材料的彈性模量E、泊松比V與剪變模量G之間存在如下關系:

當已知任意兩個彈性常數，即可由上式確定第三個彈性常數，可見各向同性材料只有兩

個獨立的彈性常數。

(三)軸向拉壓應變能

應變能在外力作用卜，桿件發生變形，力在相應的位移上作功，同時在村內貯存的能量

稱為應變能。用W表示外力功，用U表示相應應變能。在線彈性范圍內，在靜載荷作用

下，桿內應變能等于外力功

軸向拉壓應變能：

【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖，其相應軸力圖為()。

A.(A)B.(B)C.(C)D.(D)

答案:A

3_P

"/

【例題72】播散面面枳為的9等直桿，承受軸向款荷H絕對值最大的正應力心為（）,

"

T

A*

T

B

CD.X

:

答B

【例題3】剛度為E@等直桿，承受軸向載荷,位于桿內K點的軸向位移＜5*為（）.

△

3Pa

A.-------

EA

4.5Pa

B----------

EA

9Pa

c.-------

EA

75Pa

D----------

EA

例國圖例題3圖

【網電。橫藏而為正方花的木桿，彈性模及長二[xlO，Mn,箴面邊長qom,桿長3/=150m,中長開一長為/,寬為士的

2

糟，桿的左端固定住力如圖所示）.則各后軸力的大小美系正確的是（）

A.N>N.>y.

B.N:N?N.

c.N=N?>N.

DN=N、>NQ

答案：c

【例題5]在相距2m的AB兩點之間，水平地懸掛一根直徑d=lmm的鋼型在中點C逐漸增

加荷載P。設鋼絲在斷裂前服從虎克定律，E=2x105MPa,在伸長率達到0.5%時拉斷，則

斷裂時鋼絲內的應力和C點的位移分別為（）

A.26.5

B.51

C.63.6

D.47.1

答案:B

【例題7】如圖所示彈性平板上有兩條平行，且與水平線夾角為a的綱直線，而和cd,當

平板兩端作用均布拉皮力。，平板受光后，它們的美系為（）.

▲.abffcd?a角混小

B.abHcd,a角電大

c.abftcd?a角不變

D.不平行于cd

答案人

【例題8】低碳鋼拉伸經過冷作硬化后，以下四種指標中得到提高為在（）。

A.強度極限

B.比例極限

C.斷面收縮率

D.伸長率（延伸率）

答案:B

【例題