第四章生產理論第一節生產函數的一般特性

第二節投入的變動

第三節規模收益第四節生產函數的典型類型

復習思考題與計算題

在市場經濟體系中，與消費者這一角色相對應的是生產者(企業)，與市場需求相對應的行為是市場供給或企業生產。生產就是企業將投入轉為產出的過程。從實物視角考察投入與產出，涉及的是投入量與產出量之間的物質技術關系。從貨幣形態分析投入與產出，涉及的是投入的成本與市場收益之間的經濟關系。本章首先論述投入與產出之間物質技術關系方面的生產函數理論，下一章再結合成本理論進行進一步的分析。第一節生產函數的一般特性

生產函數刻畫了企業的投入組合及其投入量對于產出量或產出組合的決定作用、決定過程。雖然現實社會中，這種決定表現得非常復雜，但并不妨礙理論分析上可從中抽象出一般特性。

一、生產可能集與生產函數

生產可能集(productionpossibilitiesset)是企業面臨的所有技術上可行的生產方法構成的投入量與產出量之間的各種可能組合的集合。企業往往可以投入n種要素，以生產出m種產品。但如果假設只有一種投入要素x，并且只有一種產出品q，則生產可能集就會如圖4-1所描繪的那樣。圖中的陰影部分即為生產可能集，也簡稱生產集。在生產集中，對于任一給定的投入xn，理論上總有不同數量水平的q與之對應。圖4-1生產可能集的典型形式生產集的邊界線上的任一點表示的是相應的投入量在技術上能夠提供的最大產出量。投入與最大產出量之間的這種函數關系被定義為生產函數。因此，生產集邊界線所表示的函數關系就是生產函數。假設投入x以生產y是一個可行的生產方案，則該生產方案可以簡單地以產出向量z=(y，－x)表示。這里特別要注意要素投入被表示為負的產出，意味著要素的消耗。每個可行的生產方案或生產方法用z表示，所有可行的生產方法構成的生產集用Z表示，則有z∈Z。我們如果假定企業的生產總是有效率的，于是，在特定投入量x時總能得到可能的產量，將這個最大產量記為f(x)。這樣，則可定義生產函數：生產函數還可區分為短期生產函數和長期生產函數。如果在我們考察的時期內，企業可以改變它所有的要素投入規模，前面定義的生產函數中的x或其所代表的一組投入xi都是可以變動的，那么它就是一個長期生產函數。另一方面，假設在某一時期內企業的一部分生產要素是無法調整、固定不變的，將要素向量記為(xv，)，其中xv是可變要素，是固定要素，則這期間的短期生產函數可以記為從生產可能集和生產函數中還可引申出等產量集和等產量線。如果說在生產可能集中，總有不同數量水平的產出與任一給定的投入相對應的話，則也存在對于任一給定的產量水平q0，總有不同數量水平的投入x與之對應。換言之，在不同的生產方法和生產環境下，不同數量水平的投入提供的產出量是既定的。所有那些產出至少為q0的投入組合x所組成的集合：稱為產出q0的必要投入集(inputrequirementset)。所有產出正好是q0的投入組合x所組成的集合：稱為產出q0的等產量集。在投入要素為兩種(x1，x2)的情形下，圖4-2中的陰影部分便屬于必要投入集，圖中的必要投入集的邊界線就是等產量線。等產量線上的任一點表示為了提供既定的產量，在某一投入量固定的前提下，另一投入要素的最低投入量，也就是，等產量線表示的是一定的技術條件下，為了提供某既定產量的兩種投入的最經濟的結合方式的軌跡，線上的所有點所代表的投入組合構成了等產量集。一個常用的處理方法是將企業眾多的投入要素歸并為兩大類(x1和x2)，如勞動投入和資本投入，于是可得到兩要素投入的生產函數的簡單形式：

q=f(x1，x2)

(4-1)其中：q表示產量；x1、x2分別表示兩種不同的可變要素的投入量。一般在理論上假定式(4-1)中的常見生產函數具有如下特點：(1)連續的一階和二階偏導數。這一假定特點表示生產函數曲線是光滑的，生產函數具有良好的性質。

(2)要素投入和產出均為非負，即x1≥0，x2≥0，q≥0。這一假定特點的現實意義很明確，不可能出現負勞動或負資本的投入，也不會出現負數的產品，充其量不生產任何產量而已。(3)任何一種要素投入量若為零，則產量為零，即：

q=f(x1，0)=f(0，x2)=f(0，0)=0

一般地，在實際生產過程中，技術上要求兩種投入相配合以生產某種產品的條件下，完全沒有其中某一種要素的投入，或兩種要素皆不投入，是不能生產的，當然也談不上有產量了。圖4-2必要投入集和等產量線

二、生產技術的性質

理論分析中，還有必要對企業的生產技術作一定的假定。當然，這些假定原則上是建立在對現實的觀察之上的，具有現實合理性基礎。單調性和凸性是兩個最常見的假設。

1.單調性

針對式(4-1)，這時存在：。或者換一種表述：如果x1a≤x1b，則存在f(x1a，x2)≤f(x1b，x2)。此條件下可稱企業的生產技術為單調性。假如剛剛述及的式子改為嚴格不等式，則稱為嚴格單調性。單調性是指，如果在至少一種生產要素上增加了投入，那么，產出量至少等于原先的產出量，即一般來說，投入越多，產出也越多。當然嚴格說來單調性隱含有自由處置(freedisposal)的條件，即假設企業可以無成本地處置多余的投入要素。譬如，如果投入要素組合(3，3)可生產1單位產品，投入要素組合(4，3)是否能生產至少1單位產品呢？這時只要自由處置條件存在，企業就能毫無代價地閑置或丟棄那實際上多余的1單位要素，從而能生產至少1單位產品。如果處置多余要素還需要額外的成本支出，動用或占有其他本可用于產品生產的要素，則上述的投入要素組合(4，3)就有可能無法生產出1單位產品來。單調性是對生產技術性質的刻畫，顯然這里排除了生產組織者非理性地增加某一種投入從而帶來邊際產量負增長的情況。

2.凸性

先來看一個簡單的例子。某企業可用A方法或B方法生產1單位產品，A方法使用的要素組合為(1，2)，B方法使用的要素組合為(2，1)。如果技術上允許的話，將生產1單位產品的A方法放大100倍，即使用要素組合(100，200)生產出100單位產品，這可表示為(100，200)∈V(100)；或者將生產1單位產品的B方法放大100倍，即使用要素組合(200，100)也能生產出100單位產品，簡記為(200，100)∈V(100)。是否還有其他途徑生產100單位產品呢？答案是：還有。譬如，分別用A方法和B方法各生產50單位的產品，有(150，150)∈V(100)；或用A方法生產75單位產品，用B方法生產25單位產品，有(125175)∈V(100)，等等。對于如用A方法生產75單位產品，B方法生產25單位產品，可表示為

0.75(100，200)+0.25(200，100)=(125，175)∈V(100)

更一般地有：

t(100，200)+(1－t)(200，100)=［100t+200(1－t)，200t+100(1－t)］∈V(100)

其中：0≤t≤1。必要投入集的這種性質的更精確的數學定義為：若x1∈V(q)，x2∈V(q)，且0≤t≤1，存在tx1+(1－t)x2∈V(q)，則V(q)為凸集。凸技術的等產量線(兩要素情形)是凸向原點的，這從上述的生產100單位產品的兩種要素此消彼長的數量關系中可以看出來。從理論上說，凸性也意味著如果有兩種方法生產一定數量的某產品，那么兩種方法使用的要素組合的加權平均(如果這樣在技術上可行的話)至少能生產出同樣多的產品。如圖4-3所示，假如a1單位的X1與a2單位的X2可生產1單位產品，還可用b1單位的X1與b2單位的X2生產這1單位產品，那么，在連接(a1，a2)與(b1，b2)的線段上的任何一點(如c點)代表的要素投入組合都可以至少生產1單位產品。凸生產集意味著凸必要投入集，凸必要投入集等價于擬凹生產函數。如果企業的生產技術為凸性，其生產函數必然是擬凹函數或稱之為擬凹生產函數。然而，在要素的投入規模改變，從而原有的投入產出關系改變時，凸性假設可能不再合理，不再成立。圖4-3生產技術的凸性第二節投入的變動

生產者(企業)基于一定的產出量或利潤等目標，常常會對資本、勞動等要素的投入進行變動、調整。這種變動不僅涉及到單個要素的投入，還涉及到多種要素組合結構的變動。

一、產出曲線

在q=f(，L)=f(L)的短期生產函數假定條件下，基于可變要素投入的變動，總產出(TP)曲線、平均產出(AP)曲線和邊際產出(MP)曲線及其相互關系如圖4-4所示。圖4-4產出曲線對于平均產出和邊際產出的關系，可以作如下數學論證因為，且AP是L的函數，因而：由于L＞0，所以，

(1)若，則＞0，即當邊際產出大于平均產出時，平均產出處于遞增階段；

(2)若，則＜0，即當邊際產出小于平均產出時，平均產出處于遞減階段；

(3)若，則=0，即當邊際產出等于平均產出時，平均產出處于最高點。由平均產出最大的一階條件得：也就是即表現在平面幾何圖形上，平均產出曲線最高時，邊際產出曲線與它相交(數值相等)。二、等產量線在長期生產函數條件下，如果只考慮兩種要素投入，這兩種要素的投入量都是可變的，并且假設它們之間是可以相互替代的，則同一產出量往往可以由兩種要素的不同組合來實現。

1.連續性生產函數等產量線連續性生產函數等產量線表示兩種要素的投入比例可以任意變動，產量是一個連續函數，這是等產量線的基本形態，如圖4-2所示。兩維空間的等產量線圖實際上可看做為三維空間中等產量線圖的技術性簡化。等產量線的三維空間圖如圖4-5所示，L代表勞動投入，K代表資本投入，q代表產量，產量表現為三維空間中的一個曲面。圖4-5等產量線的三維空間圖生產曲面上的任何一點，代表與高度對應的產量水平，它至兩軸的垂直距離表示所需要的相應投入量。起初，隨著L與K的投入量的增加，產量曲面一般為上升的凸面，因為這時往往對應著規模收益遞增。到后來，隨著要素投入量的增加，產量曲面為上升的凹面，因為這時往往對應著規模收益遞減。當兩要素的組合由E點代表時，產量達到最高。再繼續增加投入，產量曲面下降。此時的產量曲面對應了不正常的生產階段。L-K平面兩維空間中的等產量線可看做為三維空間中的產量曲面上相應等產量線在L-K平面上的投影。在平面幾何圖上，等產量線上任一點的切線的斜率表示兩種要素替代的比率，稱為邊際技術替代率(MRTS)。設想這樣兩種要素為L、K，生產函數便為q=f(L，K)。因為產量為常數，dq便為零，所以有：對該生產函數式取全微分，有由于在L與K各自不同的投入數量時，MPL與MPK均有不同的值，所以等產量線上不同點的MRTSL，K也是不同的，至少在生產經濟區或生產合理區內的等產量線上情形如此。一般地，MPL＞0和MPK＞0，因而＜0，也就是，在勞動與資本的邊際產量均為正的條件下，增加一種投入的同時必須減少另一種投入，才能維持總產量不變。這種關系由圖4-6中兩條脊線以內的等產量線表示。在生產經濟區以外的等產量線斜率為正，這說明必定存在MPL＜0和MPK＞0，或MPL＞0和MPK＜0，只有如此，才有＞0。如就q1的等產量線來說，L的投入超過L1后，正是由于L的邊際產出為負值即MPL為負，為了維持總產出q1不變，才需要增加K的投入。或者，MPL為正時增加L的投入和資本的投入，總產出q1不變，這時MPL必為負。圖4-6生產經濟區圖圖4-6中的C1、C2、C3點斜率為零，即L對K的邊際技術替代率為零。過這些點的切線平行于橫軸，=0，說明為維持產出不變，增加微小的L的投入但無需變動任何K的投入。而且由可知，C1、C2、C3點的勞動的邊際產出(MPL)為零。圖4-6中的D1、D2、D3點斜率為無窮大，過這些點的切線平行于縱軸。=∞說明MPK趨于0，這時可反過來說，K對L的邊際技術替代率為零，為維持產出不變，增加微小的K的投入但無需變動任何L的投入，因為這時的MPK為零。D1、D2、D3點的資本的邊際產出(MPK)為零。由上述分析可知，兩條脊線分別是兩種要素的邊際產量為零的軌跡。除了上述形狀的等產量線外，還有一些比較特殊的等產量線。

2.固定比例生產函數的等產量線在這種情況下，等產量線表現為直角型折線，如圖4-7所示。對應的生產函數為q=f(L，K)=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)。為從原點出發的連接不同水平的等產量線的拐角的射線的斜率，它表示兩種投入要素的固定比率。這種情況下的要素表現出完全不能相互替代的特征，相對于固定比率和既定產量，任何一種要素少一單位投入不行，多一單位投入也沒用。圖4-7固定比例生產函數的等產量線

3.完全替代情況下的等產量線如果生產函數為q=f(L，K)=aL+bK(a＞0，b＞0)，則L對K的邊際技術替代率MRTSL，K=為一常數，說明為維持同一產量，增加一個單位的L所能替代的K的投入量均為。這兩種要素互為完全替代品，對應的等產量線為一條向右下方傾斜的直線，如圖4-8所示。對應的生產函數也稱為線性生產函數。設想高速公路上的收費，既可以采用自動投幣的方式，也可以采用完全人工的收費方式，還可以兩者兼用，但一天的收費額都是相同的。圖4-8完全替代情況下的等產量線

4.有限可變比例情況下的等產量線

這種情況下的等產量線是折線型的，如圖4-9所示。當企業可采用多種固定比例的要素組合以產出同等產量時，將形成折線型等產量線。圖中的A、B、C、D、E分別表示勞動與資本投入的五種固定比例，產量都是相同的。ABCDE便構成折線型等產量線。由原點出發的五條射線的斜率，分別代表兩種要素投入的五種固定比例。如果這些有限可變的比例無限增多，其極限狀態便是可以任意變動投入比例的連續生產函數的光滑的等產量線。圖4-9有限可變比例情況下的等產量線現將折線型等產量線簡單化，并在此基礎上作進一步的深入分析。如圖4-10所示，假定某企業有兩個車間或兩種生產方法都可以生產某種產品，T1車間或其所代表的生產方法占用的固定資本比重較高，或機械化水平較高，T2車間則相反。每個車間內部投入要素的比例或每種生產方法隱含的要素投入比例是固定的。如果企業用T1方法生產，需用OV的勞動和OW的資本生產產量q；如果用T2方法生產，需用OU的勞動和OY的資本生產產量q。假如企業擁有的勞動資源少于OU，擁有的資本資源也少于OW，企業可用怎樣的方式去生產產量q呢？在這里，企業可以為每個車間分配不同的生產任務來調整整個企業投入要素之間的比例。在圖中，可任取等產量線上的一點(A點)，A點顯示的勞動投入量為OS，資本投入量為OR，這是結合兩種生產方法的結果。圖4-10要素總量約束下的產量分配如果需要找出每個車間或每種生產方法上的投入量，可以從A點作AP線使之平行于OT1，作AM線使之平行于OT2，得到M、P點。其坐標分別為(OG，ON)和(OF，OH)。即用資本ON和勞動OG投入生產方法T1，用資本OH和勞動OF投入生產方法T2，就可得到總產量q。可以證明：OR=ON+OH，OS=OG+OF。因為AM//OP，AP//OM，則OMAP為平行四邊形，那么

AP=OM作PE并使之平行于橫軸，因為HE//OS，所以∠1=∠2又因為OM//PA，所以∠3=∠4即有∠1+∠3=∠2+∠4也就是∠MOG=∠APE由于∠AEP=∠MGO=90°，便有∠EAP=∠GMO于是△OMG≌△APE有

OG=PE=FS所以

OS=OF+FS=OF+OG同理可證：

OR=ON+OH

此時，生產方法T1(即A車間)提供的產量為，生產方法T2(即B車間)提供的產量為。證明如下：生產方法T1提供的產量為(OB為產量q，OM為現有產量)。由于△APC相似于△BOC，所以，即，也就是生產方法T1提供的產量為類似地，可求得生產方法T2提供的產量為則總產量為

三、投入組合均衡的條件

假定長期中的所有要素投入都是可變的，且投入要素為勞動與資本兩種。既定成本下的產量最大化表現為既定的等成本線與一條位置盡可能高的等產量線相切，切點代表的要素組合為最優投入組合。既定產量下的成本最小表現為既定的等產量線與一條位置盡可能低的等成本線相切。

1.既定成本下產量最大

由既定成本下產量最大可知：

maxq=f(L，K)

s.t.

PL·L+PK·K=C0

作拉格朗日函數：

Z=f(L，K)+λ1(C0－PL·L－PK·K)Z的極大值問題也就是q的極大值問題，Z的極大值的必要條件：(4-2)(4-3)(4-4)由式(4-2)和式(4-3)可得出：也就是，要素的邊際產量之比等于其價格之比是要素投入最優組合的條件。從式(4-2)和式(4-3)還可得到：(4-5)

這說明，要素投入組合最優時，每種要素的最后1單位貨幣投入所帶來的邊際產量都應是相等的、相同的，并等于拉格朗日乘數λ1。λ1等于產量對成本的導數，因而其經濟意義可表述為最后投入1個單位成本對于產出量的貢獻。證明如下：因為

dC=PL·dL+PK·dK由式(4-5)可得：和于是即所以

2.既定產量下成本最小由既定產量下成本最小可知：

minC=PL·L+PK·K

s.t.q0=f(L，K)作拉格朗日乘數：

Z=PL·L+PK·K+λ2[q0－f(L，k)]

Z取極值的必要條件：(4-6)(4-7)(4-8)由式(4-6)和式(4-7)可得出即有(4-9)經計算可得也就是說，λ2在這里體現為邊際成本。四、生產彈性企業根據自身需要和約束條件決定投入要素的變動時，技術上還有一個生產彈性問題。生產彈性通常包括產出彈性、生產力彈性和替代彈性。

1.產出彈性

產出彈性(elasticityofoutput)是指在技術水平與投入要素價格不變的條件下，若其他投入固定不變，某一種投入的相對變動所引起的產出量的相對變動程度。設q=f(L，K)，EL和EK分別為勞動的產出彈性與資本的產出彈性，則：(4-10)(4-11)一般地，邊際產量和平均產量均為要素投入的函數，因此產出彈性也為要素投入的函數。當某種要素的邊際產量大于、等于或小于它的平均產量時，該投入要素的產出彈性就大于、等于或小于1。就前述的圖4-4(a)來說，勞動投入在L2以前，勞動的產出彈性大；勞動投入在L2單位時，產出彈性剛好等于1；勞動投入超過L2后，勞動的產出彈性就小。如果某種投入要素的產出彈性等于一個常數，則稱其產出彈性為不變彈性。產出彈性的表達式還可以用對數微商來表示：

2.生產力彈性

生產力彈性(elasticityofproductivity)指的是在技術水平與投入要素價格不變的條件下，所有投入要素按同一比例變動時所引起的產出量的相對變動程度。由于該彈性針對生產函數中所有要素的同一比例變動而言，因而又被稱為生產函數彈性。設Ee為生產力彈性，要素向量為X=(L，K)，則：假設存在生產函數q=f(L，K)，則等式兩邊同除以q因為L、K都按同一比例變動，因而有于是所以

Ee=EL+EK

類似地還可證明，如果投入要素有更多種，則存在Ee=EL+EK+…+E。簡言之，生產力彈性等于各投入要素的產出彈性之和。在不同的生產條件和市場環境中，資本的產出彈性是有區別的，勞動的產出彈性也是有區別的。很容易理解，高素質勞動力的產出彈性大于低素質勞動力的產出彈性；管理嚴格的企業的生產力彈性也較大。

3.替代彈性

當各種要素的數量、質量和生產技術發生變動時，就會引起各自邊際產量的變動，導致邊際技術替代率的變動。而邊際技術替代率的變動顯然又會引起投入比例的變動。替代彈性(elasticityofsubstitution)就是指在產出量不變前提下，邊際技術替代率的相對變動所引起的企業投入比例相對變動的程度。設Eσ為替代彈性，則：也即

因為假設K/L與MRTSL，K沿同一條等產量線按相同方向變動，因而Eσ值為正。邊際技術替代率是等產量線的斜率，替代彈性則是等產量線的曲率，說明等產量線斜率的比率變化時，要素比率的變化率如何變化。設想同一條等產量線上的點A運行到點B，在這一運行中，MRTSL，K與K/L的比率都將發生變化，Eσ便刻畫了這種變化的相對比率，因此Eσ是關于等產量線曲率的度量。當等產量線斜率的微小變化引起要素比率的較大變化時，說明等產量線是相當平坦的，也說明替代彈性是大的，反之亦然。如果兩種要素可完全相互替代，則替代彈性為無窮大。如前述的生產函數q=aL+bK(a＞0，b＞0)，因為MRTSL，K=為一常數，因而dMRTSL，K=0，也即Eσ=∞。如果兩種要素完全不能相互替代，即生產函數為固定比例生產函數，則替代性彈為零。如前述的生產函數q=min(d1L，d2K)(d1＞0，d2＞0)，由于K/L為一固定比例，即為一常數，有d(K/L)=0，則Eσ=0。一般地，生產要素的替代彈性大于0。第三節規模收益

一般將生產中的各投入要素以相同的比例變動稱為生產的規模變化。規模收益指的便是在技術水平和要素價格不變的條件下，生產規模變化所導致的產量變動狀態。

一、全局性規模收益

全局性規模收益有不同的表達方式。

1.生產函數表達式

規模收益問題常用齊次生產函數來表達。當生產函數是齊次函數時，所有要素的增長與產出增長之間存在著對應關系。如設生產函數為q=f(L，K)，有：

f(tL，tK)=trf(L，K)trq在這一等式成立的條件下，則稱f(L，K)是r次齊次生產函數。這時，所有投入要素以同一比率t增長會引起產量按比率tr增長。當t＞1和r＞1時，trq＞tq，則稱規模收益遞增；當t＞1和r＜1時，trq＜tq，則稱規模收益遞減；當t＞0和r=1時，trq=tq，則稱規模收益不變。從完整的理論意義上講，規模收益不僅對應于生產規模的擴大，還應對應于生產規模的縮小。1＞t≥0便代表生產規模的縮小，但t不可能為負數。因為無論就要素投入還是就企業產量而言，極限狀態的縮減便是不作任何投入或不提供任何產量，即乘以現有要素(組合)或產量的系數t為0。當0＜t＜1和r＜1時，trq＞tq，則稱規模收益遞增。譬如，考慮t=0.7和r=0.5時的情形，這時有0.70.5q＞0.7q，這意味著在新的要素投入僅為原有投入量的70％(或者說生產規模縮減了30％)條件下，提供的新產量的減少幅度卻不到30％。也可一般地理解為，生產規模縮減幅度大，帶來的產量減少幅度較小，企業生產的平均成本下降了，產生了規模經濟。企業由此可以節約資源或將部分資源移作他用。這也說明，原有的生產規模過大，處于規模收益遞減階段，所以縮小規模反而能帶來規模收益遞增。當0＜t＜1和r＞1時，trq＜tq，則稱規模收益遞減。例4-1說明生產函數q=f(L，K)=的規模收益狀態。解：設t＞1，有所以，生產規模擴大方向上的規模收益遞減。設0＜t＜1，有所以，生產規模縮小方向上的規模收益遞增。雖然生產規模縮減對于規模收益的說明保證了理論闡述的完整性，但無論在理論上還是現實上，人們通常是在生產規模擴大的方向上來討論規模收益問題的。

2.生產力彈性表達式

當Ee＞1，即產量相對變動的幅度大于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規模收益遞增；當Ee＜1，即產量相對變動的幅度小于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規模收益遞減；當Ee=1，即產量相對變動的幅度等于所有要素投入量同一比率的相對變動幅度時，規模收益不變。考慮生產函數的表達式，顯然，針對t＞1所表示生產規模的擴大而言，Ee=r，即生產力彈性系數這時就是齊次生產函數中的次數。

3.等產量線圖表示法

如圖4-11所示，通過原點的射線OR表示L與K的投入按相同比例增加。在A點至B點再至C點，可以觀察到規模收益遞增；C點到D點，規模收益不變；D點至E點，規模收益遞減。圖4-11等產量線表示的規模收益變動二、局部性規模收益

以上討論的規模收益是就根本意義和全局性意義而言的，它往往對應于不同的生產技術和行業特性等。但即使是規模收益遞增的生產技術或行業，在不同的規模水平，其規模收益遞增的速度可能是不同的。而且，許多生產函數并不能歸入上述的規模收益的三種情形中的任何一種，但卻在某一產量范圍內呈現規模收益遞增，在另外的產量區域中又呈現規模收益遞減或不變的情況。所以，需要一個衡量規模收益特征的局部性指標或技術手段。這個局部性指標就是規模彈性。相應地，前面的分析內容也就稱之為全局性規模收益，下面分析局部性規模收益。設q=f(x)是生產函數，t＞0，且有q(t)=f(tx)，定義規模彈性為其含義為在投入要素量及其組合點x處，生產規模的變動所帶來的產量變動的程度。通常將t=1視為原有的生產規模，t＞1代表生產規模的相應放大，t＜1代表生產規模的相應縮小。如果e(x)=1，表明產量增長速度與生產規模增長速度相同，可說在x處是規模收益不變。如果e(x)＞1或e(x)＜1，則可說在x處是規模收益遞增或遞減。不難發現，規模彈性與生產力彈性在內在邏輯上具有高度的一致性。三、規模收益變化的原因

前述的生產函數或生產力彈性對于規模收益狀態的表達、刻畫更多的是一種事后的度量。因為現實經濟社會中，生產規模擴大或縮小時，各種投入通常并不會以同一比例變動。但即使投入要素以相異比例變動，仍會產生規模經濟和規模不經濟及其比較關系的變化，進而引起規模收益的變動。這種規模收益變動的度量可以借助于等式f(tL，tK)=trq中t與tr之間的關系來進行。就規模經濟而言，一般認為其產生的原因主要有：

(1)生產分工的深化。隨著生產規模的擴大，專業化生產分工可以更細，各種要素的專用性更強，從而生產效率更高，生產的平均成本降低。實際上，早在18世紀，經濟學巨匠亞當·斯密在《國富論》中就以制針業為例，對專業化分工如何會促進生產效率提高作了經典性的分析。

(2)生產經營的不可分性。直觀地講，一輛30噸的載重卡車不會因為只載貨15噸而減少某些必要的費用；一條流水生產線不會因為產量的減少而降低整條流水線的運行成本；針對10萬件同一品牌的產品所做的廣告不能因為現在只針對100件產品而只做哪怕半個廣告。生產經營的不可分性實際上也體現了生產經營設施、設備的共享性。如連鎖店就較好地實現了對企業管理模式和企業品牌的共享。

(3)財務方面的因素。企業規模的擴大意味著資產規模的擴大，從而有利于其對外籌資，便捷的籌資又有利于企業采用先進的機器設備和生產技術；由于所需資本和原材料數量大，又可在一定程度上降低籌資成本和購貨成本等。

(4)交易成本的節省。根據現代企業理論，企業的對外市場交易都會產生較大的交易成本，這些交易成本既包括財務成本，也包括時間、精力的耗費和生產經營過程中的注意力不集中等。大規模生產使得企業內交易在較大程度上取代了企業外的市場交易，從而節省了交易成本，提高了企業效率。但是，企業規模的擴大在產生規模經濟的同時，也常產生著規模不經濟。如由于所需資本量大，籌資的難度也在增加；另一方面企業的內部摩擦、企業內的信息傳遞失真現象都會增加，尤其是企業規模超過一定程度后，管理效率趨低，即企業內交易的邊際交易費用上升，等等。規模經濟超過規模不經濟時，表現為規模收益遞增；規模經濟與規模不經濟相抵時，表現為規模收益不變；規模不經濟超過規模經濟時，便表現為規模收益遞減。第四節生產函數的典型類型

經濟學家在理論分析上提出了許多生產函數，它們具有不同的理論特征和適用性。本節運用上述的基本理論原理討論幾種著名的、常用的代表性生產函數。

一、線性齊次生產函數

現實社會中，生產函數往往是非線性的，線性生產函數極為少見，但為分析簡單，理論上常將近似線性的生產函數假設為線性生產函數。假設生產函數由下式給出：

q=f(L，K)=aL+bK該生產函數的等產量線都是斜率為－a/b的平行直線，如圖4-8所示。前已述及，其替代彈性Eσ=∞。線性齊次生產函數具有如下性質：

(1)規模收益不變。這一性質可以很容易地予以證明。對于任意t＞0，有：

f(tL，tK)=atL+btK=t(aL+bK)=tq

(4-12)

這表示投入的L、K增加了t倍，產量也相應地增加t倍，呈線性變動。可見，這里的Ee=r=1。

(2)要素投入的平均產量和邊際產量取決于投入比例，而一般被認為與投入數量無關。現證明如下：令(因規模收益不變，且L≠0，可看做為原有的產量與各投入量都除以L，這并不破壞等式或函數關系的成立)，并代入式(4-12)可得：兩邊同乘以，有由式(4-13)有求上式對L的偏導數，得(4-16)求式(4-15)對K的偏導數，得：式(4-13)和式(4-14)說明，APL和APK都是K/L即要素投入比例的函數；式(4-16)和式(4-17)說明，MPL和MPK也都是K/L的函數。(4-17)

(3)滿足歐拉定理(Euler’stheorem)。歐拉定理可用下式來表示：(4-18)

此式的經濟含義是，各種投入的邊際產量乘以其投入數量之和，剛好等于總產量。將線性齊次生產函數f(tL，tK)=tf(L，K)對t求導，便可得到式(4-18)。下面我們作一簡單驗證：以式(4-16)和式(4-17)代入式(4-18)，得：(據式(4-15))

二、柯布-道格拉斯生產函數

柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產函數有時簡稱為C-D生產函數，其表達式為

q=ALaKβ

(4-19)其中，A、α、β均為正常數，且1＞α、β＞0。C-D生產函數具有如下性質：

(1)α、β分別為勞動與資本的產出彈性。證明：據C-D生產函數，有：(4-20)(4-21)據式(4-20)和式(4-21)，可得：而生產力彈性

(2)要素的替代彈性恒為1(即單位替代彈性)。證明：

(3)生產函數為α+β次齊次函數。對于任意給定的非零常數t，有：

f(tL，tK)=A(tL)α(tK)β=tα+βq

若α+β＞1，則規模收益遞增；若α+β＜1，則規模收益遞減；若α+β=1，則規模收益不變，這時的f(tL，tK)=tq，即為線性齊次生產函數。

(4)等產量線凸向原點。對式(4-19)全微分，可得：

由于dq=0，所以(α，β，L，K＞0)上式為C-D生產函數的等產量線的斜率，即勞動對資本的邊際技術替代率為負，且等于要素的投入比例乘以與其分別對應的產出彈性之比的倒數。而且，上式表明，C-D生產函數等產量線凸向原點。

(5)生產擴張線是一條直線型射線。因為不同水平的等成本線與等產量線的切點滿足條件：也就是αPKK=βPL·L，則顯然，生產擴張線為一直線型射線的前提條件是，α、β、PL和PK之值不變。這樣，從原點出發的射線的斜率不變。如果PL或PK之值變化，等成本線的斜率就會隨之改變，其與等產量線的切點就會處于直線型射線以外，或者說，連接這些切點的生產擴張線的斜率就會改變。

C-D生產函數的對數形式是線性的，為lnq=lnA+αlnL+βlnK，這便使它表現出了相當的應用價值。α、β對應于勞動與資本的產出彈性，而這些常量往往可根據實際數據進行測算。

三、里昂惕夫生產函數

里昂惕夫(Leontief)生產函數又稱為投入產出生產函數，其數學形式為(4-22)其中，a、b分別表示生產一個單位產品所需要的L和K要素的投入量。對于特定的產量q0，需要的生產要素的投入量是被唯一地決定：

L=aq0，K=bq0

其中，L/a或K/b表示投入的L或K與別的要素結合所能生產的(最大)產量。式(4-22)表明，產量取決于具有固定比例的各種要素投入量中的最少者。換言之，最小的L/a或L/b決定所能生產的最大產量水平，另一種或另外所有的生產要素會因該種要素的相對短缺而被閑置。這也就是人們常說的“箍桶原則”，即水桶能盛多少水，完全取決于最短的那一塊木板，而不是取決于木板的平均長度或有多少塊長木板。例如，生產某一單位產品需要投入3個單位的L和4個單位的K，假如企業部門實際投入了9個單位的L和16個單位的K，所能生產出的產量也僅為3單位，因為該企業部門在生產過程中實際上有4個單位的K閑置。由式(4-22)易見：

(1)等產量線是一條直角型折線，我們已在前面作過分析。(2)它是關于L和K的一次齊次函數。

(3)要素的替代彈性為零。

四、不變替代彈性生產函數不變替代彈性(constantelasticityofsubstitution)生產函數簡稱CES生產函數，由阿羅、索洛等人于上世紀60年代初提出。它的一般表達形式為(4-23)其中，A為規