第十三章非線性電阻電路簡介

本章簡要介紹非線性電阻元件以及它們的串聯和并聯，并舉例說明非線性電阻電路方程的建立方法。分段線性化方法和小信號分析法是分析非線性電阻電路的常用方法。不論是線性電阻電路還是非線性電阻電路，都可以分為非時變的和時變的。本章只限于討論非時變電路。13.1非線性電阻元件13.2含一個非線性元件的電阻電路的分析13.3非線性電阻的串聯和并聯13.4分段線性化方法13.5小信號分析法13.1非線性電阻元件

電阻元件凡是不滿足線性定義的，就稱之為非線性電阻元件。非線性電阻元件亦有非時變和時變之分，本章只簡單介紹非時變非線性電阻元件。為便于理解非線性元件，先回顧一下線性電阻元件的特點:線性電阻的阻值是不隨加在其上的電壓或是流過其中的電流的改變而改變的。與此相反，如果電阻元件的阻值與加在其上的電壓或是流過其中的電流有關，就稱該元件為非線性電阻元件。含有非線性元件的電路稱為非線性電路。

一切實際電路嚴格來說都是非線性的，但在工程計算中往往可以不考慮元件的非線性，而認為它們是線性的。特別是對于那些非線性程度比較微弱的電路元件，這樣處理不會帶來本質上的差異。但是，仍然有許多非線性元件的非線性特征是不容忽略的，否則將無法解釋電路中發生的現象，所以非線性電路的研究有著重要的意義。下面以常見的非線性元件為例說明非線性元件的性質。13.1非線性電阻元件非線性變阻管

圖13-1給出了非線性變阻管的符號及其特性曲線，特性曲線以原點對稱。這是在大功率、低頻情況下得到的模型。流過元件的電流是電壓的非線性函數，該函數為（13-1）式中,k是常數;α是正整數(5＜α＜50)。圖13-1非線性變阻管的符號及其特性曲線13.1非線性電阻元件2.

PN結二極管

圖13-2給出了PN結二極管的符號及其特性曲線。這是在低頻情況下得到的模型。

在圖中，A到B的區域內，元件的電流是電壓的非線性函數，該函數為（13-2）

式中，常數Is代表反向飽和電流；q是電子的電量(1.6×10ˉ1?C)；k是波爾茲曼常數(1.38×10ˉ23J/K)，而T為熱力學溫度。在室溫下，(kT)/q的值約為0.026V。圖13-2PN結二極管的符號及其特性曲線13.1非線性電阻元件3.

隧道二極管

圖13-3給出了隧道二極管的符號及其特性曲線。這是在低頻和中頻情況下(20kHz以下)得到的模型。由特性曲線可知，隧道二極管的電流i是電壓u的單值函數，但是電壓u卻不是電流i的單值函數。這類元件的電壓電流關系可寫成如下的形式i=f(u)。這類電阻元件稱為電壓控制型元件，元件的電流可以近似地表示成電壓的非線性函數，該函數為（13-3）式中，n是整數(n≥3);a0，a1，a2，…，an是參數。圖13-3隧道二極管的符號及其特性曲線13.1非線性電阻元件充氣二極管

圖13-4給出了充氣二極管的符號及其特性曲線。這是在低頻和中頻的情況下(10kHz以下)得到的模型。充氣二極管的電壓u是電流i的單值函數，可寫成u=f(i)。這類電阻元件稱為電流控制型的元件，元件的電壓可近似地表示成電流的非線性函數，該函數為（13-4）式中，n是整數(n≥3);a0，a1，a2，…，an是參數。圖13-4充氣二極管的符號及其特性曲線

13.1非線性電阻元件5.理想二極管

圖13-5給出了理想二極管的符號及其特性曲線。由圖可見，特性曲線是兩條直線的組合:負u軸和正i軸。當u<0時，i=0，此時理想二極管如同開路;當i>0時，u=0，此時如同短路。這個元件的特征是ui=0，物理意義為既不消耗能量，也不存儲能量，稱之為非能量元件。圖13-5理想二極管的符號及其特性曲線13.1非線性電阻元件13.1非線性電阻元件

可見，如果把這個電阻作為100Ω的線性電阻，則誤差為0.0001%。從以上的分析可以看到非線性電阻的一些特點，如疊加定理不適用于非線性電阻;利用非線性電阻可以產生頻率不同于輸入頻率的輸出(這種作用稱為倍頻)。還可以看到當輸入信號很小時，把非線性電阻作為線性電阻來處理，所產生的誤差并不很大。13.2含一個非線性元件的電阻電路的分析上式為一非線性方程。除非f(u)是一個簡單的函數，否則(13-7)式的求解過程是復雜的，通常只能求其數值解。13.2含一個非線性元件的電阻電路的分析

可用圖解法求解非線性方程的問題。

我們可以由(13-6)式畫出線性電路伏安特性，同時可以由(13-5)式畫出非線性電阻的伏安特性，見圖13-7。由圖可知線性電路的伏安特性是一條斜率為-1/Req的直線，縱軸截距為uoc/Req。而非線性電阻的伏安特性為一條曲線(如圖中所標)，這樣它們的交點為Q點，該交點就是所求的解。點Q通常稱為非線性元件的“靜態工作點”。圖中的直線稱為“負載線”，之所以這樣稱呼是因為從非線性元件的角度來看，線性部分是它的負載。圖13-7非線性電路圖解法13.2含一個非線性元件的電阻電路的分析13.3非線性電阻的串聯和并聯

圖13-9所示為兩個非線性電阻的串聯電路。按KCL和KVL，有i=i1=i2

u=u1+u2圖13-9非線性電阻的串聯設兩個非線性電阻均為電流控制型的，且其伏安特性分別可寫為u1=f1(i1)，u2=f2(i2)如果把串聯電路當作一個端口，并令端口處的伏安關系為u=f(i)，則有u=u1+u2=f1(i1)+f2(i2)=f1(i)+f2(i)=f(i)（13-8）也就是說，端口處的伏安特性為一個電流控制型的非線性電阻，所以兩個電流控制型的非線性電阻串聯組合的等效電阻是一個電流控制型的非線性電阻。13.3非線性電阻的串聯和并聯

可以用圖解的方法分析非線性電阻的串聯電路。設圖13-9所示的兩個非線性電阻的伏安特性如圖13-10所示。把任一電流值下的u1、u2相加即可得到u的波形，即可以得到端口處的伏安特性曲線，也即最終得到的伏安關系為u=f(i)=f1(i)+f2(i)

如果這兩個非線性電阻中有一個是電壓控制型的，那么該壓控非線性電阻在電流值的某范圍內對應的電壓是多值的，這樣將寫不出(13-8)式的解析表達式，但可以用圖解法求出具體的解，如圖13-10所示。圖13-10非線性電阻串聯的圖解法13.3非線性電阻的串聯和并聯

圖13-11所示為兩個非線性電阻的并聯電路。按KVL和KCL，有u=u1=u2i=i1+i2

設兩個非線性電阻均為電壓控制型的，且其伏安特性可分別寫為i1=f1(u1)，i2=f2(u2)由此可以求出并聯電路伏安關系表達式：i=i1+i2=f1(u1)+f2(u2)=f1(u)+f2(u)=f(u)（13-9）圖13-11非線性電阻的并聯

13.3非線性電阻的串聯和并聯

由上式可知，兩個電壓控制型的非線性電阻并聯組合的等效電阻是一個電壓控制型的非線性電阻。如果并聯的非線性電阻之一不是電壓控制型的，就得不出(13-9)這個表達式，但可以用圖解法求解。

并聯電路的圖解法與串聯電路的圖解法類似。當用圖解法分析非線性電阻的并聯電路時，把在同一電壓值下的各并聯非線性電阻的電流值相加，即可得到所需的伏安特性曲線，具體過程可參照非線性電阻的串聯。13.4分段線性化方法

分段線性化方法(折線法)是研究非線性電路的一種有效方法，它的特點在于能把非線性電路的求解過程分成幾個線性區段，就每個區段來說，又可以應用線性電路的計算方法。

非線性電阻的伏安特性往往可以近似地用一些直線段來逼近。例如，圖13-2所示PN結二極管的伏安特性可以粗略地用兩段直線來描述，如圖13-12中的粗線BOA。這樣，當二極管加上正向電壓時，它相當于一個線性電阻，其伏安特性用直線OB表示;當電壓反向時，二極管不導通，電流為零，它相當于開路，其伏安特性用直線AO表示。圖13-12PN結二極管伏安特性的分段線性表示13.4分段線性化方法

例13-4如圖13-13(a)所示電路由線性電阻R、理想二極管和直流電壓源串聯組成，電阻R的伏安特性如圖13-13(b)所示，畫出此串聯電路的伏安特性。另有如圖13-13(c)所示電路，它由線性電阻R、理想二極管和直流電流源并聯組成，畫出此并聯電路的伏安特性。

解

串聯時，將理想二極管、電壓源、電阻的伏安特性畫于圖13-13(d)中，然后用圖解法，得到圖13-13(e)。并聯時的等效特性曲線圖如圖13-13(f)所示。圖13-13例13-4題圖(a)串聯電路;(b)電阻R的伏安特性;(c)并聯電路;(d)伏安特性;(e)串聯等效特性曲線;(f)并聯等效特性曲線13.5小信號分析法

在某些電子電路中信號的幅度很小，這時可以在工作點附近建立一個局部線性模型。對小信號來說，我們可以根據這種線性模型運用線性電路的分析方法來研究，這就是非線性電路的小信號分析法。小信號分析法是工程上分析非線性電路的一個重要方法。

如圖13-14(a)所示的電路，U0是直流電壓源，us(t)是時變電壓信號，Req是線性電阻，壓控非線性電阻的伏安關系為i=f(u)。假設有U0?|us(t)|，求非線性電阻的電壓u(t)和電流i(t)。圖13-14非線性電路的小信號分析

對電路應用KVL，得U0+us(t)=Reqi(t)+u(t)（13-10）

首先設us(t)=0，即沒有信號電壓，于是可以用圖解法求出靜態工作點(UQ，IQ)，如圖13-14(b)所示。如果U0?|us(t)|總成立，則一般所要求的解u(t)、i(t)必定在工作點附近，所以有u(t)=UQ+u1(t)（13-11）i(t)=IQ+i1(t)（13-12）式中，u1(t)和i1(t)是由于信號電壓us(t)所引起的變化分量。在任何時刻t，u1(t)和i1(t)相對UQ、IQ來說都是很小的量。

將(13-11)式、(13-12)式代入非線性電阻的特性方程i=f(u)，得IQ+i1(t)=f（UQ+u1(t)）

（13-13）在u=UQ處，將(13-13)式右方展開為泰勒級數，由于u1(t)很小，因此只取級數前面兩項而略去一次項以上的高次項，則上式可寫為因為IQ=f(UQ),所以13.5小信號分析法令Gd為非線性電阻在工作點(UQ，IQ)處的動態電導，所以i1(t)≈Gdu1(t)或u1(t)≈Rdi1(t)由于Gd=1/Rd在工作點(UQ，IQ)處是一個常數，