1§2.7函數(shù)的連續(xù)性和間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性(continuity)二、函數(shù)的間斷點(discontinuouspoint)2時間變化很小時,生物生長的也很少.現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時,單擺擺長變化也很小.

在高等數(shù)學中,主要的研究對象就是連續(xù)函數(shù).這種從直觀上不妨這樣說,連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以一筆畫成.3一、函數(shù)的連續(xù)性增量增量.41.函數(shù)的增量5連續(xù),定義1設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).

把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法——只需求出該點函數(shù)特定值.充分必要條件2.連續(xù)的定義采用了無窮小定義法6連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有但本質(zhì)相同.f(x)在內(nèi)有定義;(1)(2)(3)三個要素:定義3

把極限定義嚴密化,便于分析論證.存在;極限與連續(xù)之間的關(guān)系:

f(x)在x0點連續(xù)

f(x)在x0點存在極限78oyx幾何意義函數(shù)在一點連續(xù)，則其圖形在該點不斷開.9例證由定義2知103.單側(cè)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)(continuityfromtheleft);(continuityfromtheright);定理1112例解右連續(xù)但不左連續(xù)

,13解練一練設(shè)解因為所以即即練一練14154.連續(xù)函數(shù)(continousfunction)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱為該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點右端點這時也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù)161718例證oyx函數(shù)在一點連續(xù)，則其圖形在該點不斷開.19201.間斷點的定義二、函數(shù)的間斷點f(x)在無定義;21oyxoyxoyxoyx間斷點圖形：函數(shù)在一點間斷，其圖形在該點斷開.22可能是連續(xù)點,初等函數(shù)無定義的點是間斷點.分段函數(shù)的分段點可能是間斷點,也需要判定.23跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點第一類間斷點2.間斷點的分類(discontinuitypointofthefirstkind)24第二類間斷點(discontinuitypointofthesecondkind)若其中有一個為振蕩,若其中有一個為稱x0為無窮間斷點.稱x0為振蕩間斷點.25例解(Jumpdiscontinuity).解例2627例解(removablediscontinuity).28則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.注對可去間斷點x0,如果于A,

(這就是為什么將這種間斷點稱為使之等可去間斷點的理由.)補充

x0的函數(shù)值,或改變2930例解31例解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.狄利克雷函數(shù)

在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.★32總結(jié)兩類間斷點:第一類間斷點:跳躍型,第二類間斷點:無窮型,可去型無窮次振蕩型33判斷下列間斷點類型:34例解35例解1.求的間斷點,并判別其類型.解

x=–1為第一類可去間斷點

x=1為第二類無窮間斷點

x=0為第一類跳躍間斷點練一練36解函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點.由于所以是函數(shù)的第二類間斷點,且是無窮型.由于所以是函數(shù)的第一類間斷點,且是跳躍型.并指出其類型.2.37有無窮間斷點及可去間斷點解為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在3.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.3839小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)在點連續(xù)的等價形式有402、函數(shù)間斷點的定義.(見下圖)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在3、在點間斷的類型:41可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx42作業(yè)習題2.7(P45)(2)2.(5)(6)(7)(8)(9)3.(2)