專題六不等式——2025屆高考數學考點剖析精創專題卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．已知，，記，，則M與N的大小關系是()A. B. C. D.無法確定1．答案：B解析：因為，，所以，，所以，所以.2．若a，b是任意實數，且，則()A. B. C. D.2．答案：C解析：對于A，，因為，所以，但是a的符號不確定，所以A錯誤；對于B，因為，所以，但是a的符號不確定，所以B錯誤；對于C，由，得，所以C正確；對于D，當，時，滿足，但，所以D錯誤.3．[2025屆·福建寧德·模擬考試校考]定義，若關于x的不等式在R上恒成立，則實數a的取值范圍為()A. B. C. D.3．答案：C解析：方法一：等價于，即，所以，解得.方法二：等價于，即.因為，所以，所以.4．某單位在對一個長，寬的矩形空地進行綠化，設計方案初步確定為：中間為矩形綠草坪，四周是等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度x（m）的取值范圍為()A. B. C. D.4．答案：B解析：因為花壇的寬度為，所以綠草坪的長為，寬為，綠草坪面積為，總面積為.根據題意可得，整理得，解得或.由題意知解得，所以.故選B.5．已知關于x的一元二次不等式的解集為，且實數，滿足，則實數m的取值范圍是()A. B.C.或 D.或5．答案：D解析：由不等式的解集，可得一元二次方程的根為，，則，，由，得或.由，得，即，解得或.綜上，實數m的取值范圍是或.6．[2023秋·高一·寧夏銀川·期中]若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是()A. B.或C. D.或6．答案：D解析：由兩個正實數x，y滿足，得，則，當且僅當，即時取等號.由不等式有解，得，解得或.7．某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本，已知購買m臺設備的總成本為（單位：萬元）.若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備()A.100臺 B.200臺 C.300臺 D.400臺7．答案：B解析：由題意，，當且僅當，即時，等號成立，所以應購買200臺.8．設，，且，則的最小值是()A.1 B.2 C.4 D.88．答案：A解析：方法一：因為，，且，所以，，，當且僅當時取等號.方法二：，當且僅當時取等號.二、多項選擇題9．不等式對任意的恒成立，則()A. B. C. D.9．答案：ACD解析：可整理為，則，故A正確.當，時，滿足，即原不等式成立.B錯誤；由，得，所以.C正確；.D正確.故選：ACD.10．若，，且，則()A.mn的最大值為 B.的最小值為5C.的最小值為 D.的最大值為10．答案：ABC解析：A√因為，所以，當且僅當，即，時，等號成立.B√，當且僅當時，等號成立.C√，當且僅當，且，即，時，等號成立.D×，當且僅當，即，時，等號成立.11．[2024春·高一·遼寧·開學考試聯考]若a，b，，則下列命題正確的是().A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則11．答案：BC解析：對于A，取，，則不成立.對于B，若，則，.對于C，若，則，，.對于D，若且，則，，而b可能為0，因此不正確.三、填空題12．已知實數x，y滿足，，則的取值范圍為___________.12．答案：解析：設，則解得.，，，，.13．已知不等式的解集是，則不等式的解集是__________.13．答案：或解析：因為不等式的解集是，所以，且2和3是方程的兩個根，由根與系數的關系，得解得因為不等式，所以，即，解得或.14．已知，則的最小值為__________.14．答案：解析：因為，所以，，所以，當且僅當即，時，等號成立.四、解答題15．關于x的不等式的解集為或.（1）求關于x的不等式的解集；（2）求關于x的不等式的解集.15．答案：（1）（2）解析：（1）因為不等式的解集為或，所以解得所以不等式化為，解得，所以所求不等式的解集為.（2）由（1）知不等式可化為，即，即，即，解得，所以所求不等式的解集為.16．如圖1所示為傳統節日玩具之一——走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節日.燈內點上蠟燭，蠟燭燃燒產生的熱力造成氣流，令輪軸轉動.輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖象便不斷走動，因剪的圖象為古代武將騎馬的圖畫，在轉動時看起來好像幾個人你追我趕一樣，故名走馬燈.現打算做一個體積為的長方體狀的走馬燈（題中不考慮木料的厚薄粗細）.（1）若底面大矩形的周長為，當底面邊長為多少時，底面面積最大？（2）若燈籠高為，現只考慮燈籠的主要框架（如圖2），當底面邊長為多少時，框架用料最少？16．答案：（1）40（2）當長為，寬為時，用料最少解析：（1）設大矩形的長為x，寬為y，依題有，即，則底面面積，當且僅當時，底面面積最大.（2）依題有，框架用料最少等價于底面用料為最小即可，，當且僅當，即，時取等號，故當長為，寬為時，用料最少.17．已知a，b，c均為正實數，求證：（1）；（2）.17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）證明：左邊，當且僅當時取“=”.故.（2）證明：因為，當且僅當時取“=”，所以，所以，所以，①同理，當且僅當時取“=”，②，當且僅當時取“=”.③，得，當且僅當時等號成立.18．為發展空間互聯網，搶占6G技術制高點，某企業計劃加大對空間衛星網絡研發的投入.據了解，該企業研發部原有100人，年人均投入萬元，現把研發部人員分成兩類：技術人員和研發人員，其中技術人員有x名（且），調整后研發人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入為萬元.（1）要使調整后的研發人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入，則調整后的技術人員最多有多少人？（2）是否存在實數m，同時滿足兩個條件：①技術人員的年人均投入始終不減少；②調整后研發人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.18．答案：（1）75人（2）存在實數m滿足條件，且實數m的值為7解析：（1）依題意可得調整后研發人員的人數為，年人均投入為萬元，則，解得，又，，所以調整后的技術人員最多有75人.（2）假設存在實數m滿足條件.由條件①，得，解得.又，，所以當時，取得最大值7，所以.由條件②，得，不等式兩邊同除以ax，得，整理得，因為，當且僅當，即時等號成立，所以.綜上，得.故存在實數m滿足條件，且實數m的值為7.19．[2023秋·高一·重慶南岸區·月考校考]書籍《見微知著》中談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜；從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法.閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數式的恒等變形，使不少依照常規思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有整體觀察、整體設元、整體代入、整體求和等.例如，已知，求證：.證明：原式.波利亞在《怎樣解題》中指出：“當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長.”同理，我們有更多的式子滿足以上特征.請根據以