專題1.1集合【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合中元素個數(shù)問題】 2【題型2子集的個數(shù)問題】 3【題型3與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】 3【題型4集合的交、并、補集運算】 4【題型5與集合的運算有關(guān)的含參問題】 4【題型6集合的新定義問題】 51、集合考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)集合的概念

(2)集合間的基本關(guān)系

(3)集合的基本運算2020年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2021年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2022年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2023年I卷：第1題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點，高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補集等運算，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為主.【知識點1集合】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本關(guān)系(1)子集：若對于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；(2)真子集：若A?B，且A≠B，則A?B；(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補集{x|x∈U，x?A}?UA4．集合的運算性質(zhì)(1)，，．(2)，，．(3)，，．【常用結(jié)論】(1)若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(3)．(4),．【題型1集合中元素個數(shù)問題】【例1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有兩個元素，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．m|m≠0 B．mC．mm<12【變式1-1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知集合P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10，Q=2,3,5，則集合T=A．30 B．28 C．26 D．24【變式1-2】（2023·四川南充·模擬預(yù)測）定義集合A?B=z∣z=xy,x∈A,y∈B，設(shè)集合A=?1,0,1，B=?1,1,3，則A?BA．4 B．5 C．6 D．7【變式1-3】（2023·河北·模擬預(yù)測）若集合U有71個元素，S,T?U且各有14，28個元素，則?S∪TS∩T的元素個數(shù)最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【題型2子集的個數(shù)問題】【例2】（2024·寧夏·一模）已知集合A=?1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，則集合A．4 B．7 C．8 D．15【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合1,0?B?1,0,1,2，則滿足條件的集合B的個數(shù)為（

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=?1,0,1，B=zz=x+y+1,x∈A,y∈A，則集合BA．8 B．16 C．31 D．63【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=x,yx,y∈Z,且xy=4，A．3 B．4 C．8 D．16【題型3與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=m+2,1,4,B=m2,1，若B?AA．?1 B．?2或0 C．?2 D．2【變式3-1】（2023·全國·高考真題）設(shè)集合A=0,?a，B=1,a?2,2a?2，若A?B，則a=（A．2 B．1 C．23 D．【變式3-2】（2024·四川德陽·三模）已知集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是（A．(2024,+∞) B．[2024,+∞) C．【變式3-3】（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)集合A=1,?a,B=0,3?a,3a?8，若A?B，則a=A．0 B．1 C．2 D．3【題型4集合的交、并、補集運算】【例4】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合A=x∈N|x>1，B=x|0<x<4，則A．x|1<x<4 B．x|x>0C．2,3 D．1,2,3【變式4-1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合A=0,1,2,B=3,m，若A∩B=2，則A．0,1,2,3 B．0,1,2 C．1,2,3 D．2,3【變式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U=x1<x<6,x∈N,A=2,3,B=A．4,5 B．2,3,4,5 C．2 D．2,4,5【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合U=Z，A=xx=2k+1,k∈Z，B=xx=4k+2,k∈Z，則A．?UA∩B B．?UA∪B C．【題型5與集合的運算有關(guān)的含參問題】【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合A=?1,a,a+2,B=yy=x2?2x,x∈AA．3 B．2 C．1 D．1或3【變式5-1】（2024·安徽阜陽·一模）設(shè)集合S=xx<?1或x>5，集合T=xa<x<a+8，且S∪T=RA．?∞,?3∪C．?∞,?3∪【變式5-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知集合A=xx≤a，B=xx≥2a?1，A∩B≠?，則正實數(shù)A．(0,1] B．(0,1)C．(0,2) D．(1,2)【變式5-3】（2024·廣東梅州·一模）已知集合A=xx<a，B=x?1<x<2，A∪?A．?∞,?1 C．?1,2 D．2,+【題型6集合的新定義問題】【例6】（2024·黑龍江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定義集合：A?B=x,yx∈A,y∈B，則集合A．16 B．15 C．14 D．13【變式6-1】（2023·云南保山·二模）定義集合運算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，設(shè)A=1,2，B=1,2,3，則集合A．14 B．15 C．16 D．18【變式6-2】（2023·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，則A?B=A．2,4,6,1 B．2,4,6,9 C．2,3,4,5,6,7 D．1,2,4,6,9【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合A?B=xx∈A且x?B，已知集合U=x?3<x<7,x∈Z，E=?1,0,2,4,6，A．?2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．?1,2,6 D．?2,0,1,3,4一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=xx=3k+1,k∈ZA．?2∈A B．2023?AC．3k2+1?A2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數(shù)m的取值范圍是（A．34,32 B．34,3．（2024·陜西寶雞·一模）若集合A=x∈Rax2A．1 B．0 C．2 D．0或14．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A．4 B．6 C．7 D．85．（2024·山東聊城·一模）已知集合A={xx≤2}，B={xx?a<0}，若A?BA．?∞,?2 B．?∞,?2 C．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）集合P=1,2,3,4,5,6,Q=xx=3t?1,t∈P，則A．1,3,5 B．2,4,6 C．1,4 D．2,57．（2024·天津·二模）設(shè)全集U=?1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=?1,0,1，則?A．?1,0,1,3 B．?1,0,1,2 C．0,1,2 D．0,18．（2024·安徽·二模）已知集合A=1,2,3，B=xx>a，A∩?RA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤3二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,y∈A，則xy∈A；②若x,y∈A，則x+y∈A下列判斷中，正確的有（A．?1?A B．2022C．若x,y∈A，則xy∈A D．若x,y∈A，則x?y∈A10．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合A=x∣x2?3x?18=0，A．若A=B，則a=?3B．若A?B，則a=?3C．若B=?，則{a∣a<?6或a>6}D．若BA，則{a∣a<?6或a≥6或a=?3}11．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合M,N,P滿足：M∩N=N,M∪P=P，則（

）A．P?M B．M∩P=MC．N∪P=P D．M∩三、填空題12．（2024·遼寧丹東·一模）若x2?80為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合A=?1,2,4，B=2,m2．若B?A，則實數(shù)14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合M=?2,?1,0,1，N=x|a?3<x<1，若M∩N中有2個元素，則實數(shù)a的取值范圍是四、解答題15．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=x∈Rax(1)若集合A中有且僅有一個元素，求實數(shù)a組成的集合B.(2)若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.16．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合A=(1)若a=12，試判斷集合A與(2)若BA，求a的值組成的集合C．17．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知集合A=xm<x<2m+1，B={x|x≤?3(1)當(dāng)m=4時，求A∩?(2)若A??RB18．（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知集合A=xx?2x+3≤0，B=xa?1<x<a+1，定義兩個集合(1)當(dāng)a=1時，求A?B與B?A；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．19．（23-24高一上·北京密云·期末）對于正整數(shù)集合A=a1,a2,?,an（(1)判斷集合1,2,3,4,5是否是“和諧集”，并說明理由；(2)求證：若集合A是“和諧集”.則集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；(3)若集合A是“和諧集”，求集合A中元素個數(shù)的最小值.專題1.1集合【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合中元素個數(shù)問題】 2【題型2子集的個數(shù)問題】 4【題型3與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】 5【題型4集合的交、并、補集運算】 6【題型5與集合的運算有關(guān)的含參問題】 7【題型6集合的新定義問題】 81、集合考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)集合的概念

(2)集合間的基本關(guān)系

(3)集合的基本運算2020年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2021年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2022年I卷、Ⅱ卷：第1題，5分2023年I卷：第1題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點，高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補集等運算，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為主.【知識點1集合】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本關(guān)系(1)子集：若對于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；(2)真子集：若A?B，且A≠B，則A?B；(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補集{x|x∈U，x?A}?UA4．集合的運算性質(zhì)(1)，，．(2)，，．(3)，，．【常用結(jié)論】(1)若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(3)．(4),．【題型1集合中元素個數(shù)問題】【例1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有兩個元素，則實數(shù)A．m|m≠0 B．mC．mm<12【解題思路】根據(jù)給定條件，利用一元二次方程及根的判別式列式求解即得.【解答過程】依題意，方程mx2+2x+2=0有兩個不等的實根，則m≠0且Δ=2所以實數(shù)m的取值范圍為m<12且故選：C.【變式1-1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知集合P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10，Q=2,3,5，則集合T=A．30 B．28 C．26 D．24【解題思路】根據(jù)題意得到P=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，再結(jié)合T=【解答過程】P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10=因為T=xy當(dāng)x∈P,y=2時，xy為偶數(shù)，共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=3時，xy為奇數(shù)，此時xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=5時，xy為奇數(shù)，此時xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重復(fù)數(shù)字15,45，去掉，共有8個元素.綜上T=xyx∈P,y∈Q中元素的個數(shù)為故選：B.【變式1-2】（2023·四川南充·模擬預(yù)測）定義集合A?B=z∣z=xy,x∈A,y∈B，設(shè)集合A=?1,0,1，B=?1,1,3，則A?BA．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)集合的新定義求得A?B，從而確定正確答案.【解答過程】因為A=?1,0,1，B=所以A?B=?3,?1,0,1,3故A?B中元素的個數(shù)為5.故選：B.【變式1-3】（2023·河北·模擬預(yù)測）若集合U有71個元素，S,T?U且各有14，28個元素，則?S∪TS∩T的元素個數(shù)最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【解題思路】根據(jù)集合中的元素以及交并補運算的性質(zhì)即可求解.【解答過程】設(shè)S∩T=M,M中有x個元素，則0≤x≤14,x∈N所以S∪T中的元素個數(shù)為14+28?x=42?x，因此?S∪TS∩T中的元素個數(shù)為S∪T中的元素減去S∩T中的元素個數(shù)，即為由于0≤x≤14,x∈N，所以42?2x∈14,42，故當(dāng)故選：A.【題型2子集的個數(shù)問題】【例2】（2024·寧夏·一模）已知集合A=?1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，則集合A．4 B．7 C．8 D．15【解題思路】先求出集合B，再求真子集個數(shù)即可.【解答過程】由題意得B=x故集合B的真子集個數(shù)為23故選：B.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合1,0?B?1,0,1,2，則滿足條件的集合B的個數(shù)為（

A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系確定B中的元素后可得正確的選項．【解答過程】由1,0?B可得1∈B且0∈B，根據(jù)B為?1,0,1,2可得B=1,0或B=1,0,?1或B=1,0,2故選：A.【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=?1,0,1，B=zz=x+y+1,x∈A,y∈A，則集合BA．8 B．16 C．31 D．63【解題思路】根據(jù)題意，利用列舉法求化簡集合B，從而求得集合B的真子集個數(shù).【解答過程】依題意，得z=?1?1+1=?1；z=?1+0+1=0；z=?1+1+1=1；z=0?1+1=0；z=0+0+1=1；z=0+1+1=2；z=1?1+1=1；z=1+0+1=2；z=1+1+1=3，故B=?1,0,1,2,3其真子集的個數(shù)為：25故選：C.【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=x,yx,y∈Z,且xy=4，A．3 B．4 C．8 D．16【解題思路】根據(jù)集合的描述法確定集合A中的元素，根據(jù)交集的概念可得A∩B，從而根據(jù)其元素個數(shù)得子集個數(shù).【解答過程】因為A=x,yx,y∈ZB=x,y所以A∩B=1,4,2,2,?2,?2故選：D．【題型3與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問題】【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=m+2,1,4,B=m2,1，若B?AA．?1 B．?2或0 C．?2 D．2【解題思路】根據(jù)子集關(guān)系結(jié)合集合中元素的互異性求解出m的值.【解答過程】根據(jù)集合中元素的互異性，可得m2≠1,m+2≠1,m+2≠4，所以根據(jù)B?A，可得m2∈A，則m2=4或故選：C．【變式3-1】（2023·全國·高考真題）設(shè)集合A=0,?a，B=1,a?2,2a?2，若A?B，則a=（A．2 B．1 C．23 D．【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系分a?2=0和2a?2=0兩種情況討論，運算求解即可.【解答過程】因為A?B，則有：若a?2=0，解得a=2，此時A=0,?2，B=若2a?2=0，解得a=1，此時A=0,?1，B=綜上所述：a=1.故選：B.【變式3-2】（2024·四川德陽·三模）已知集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是（A．(2024,+∞) B．[2024,+∞) C．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系求解即得.【解答過程】集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，又A?B，則所以實數(shù)a的取值范圍是[2024,+∞故選：B.【變式3-3】（2024·遼寧撫順·三模）設(shè)集合A=1,?a,B=0,3?a,3a?8，若A?B，則a=A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)題意，得到?a=0或?a=3a?8，求得a的值，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.【解答過程】由集合A=1,?a因為A?B，所以?a=0或?a=3a?8，解得a=0或a=2，當(dāng)a=0時，A=1,0當(dāng)a=2時，A=1,?2故選：C．【題型4集合的交、并、補集運算】【例4】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合A=x∈N|x>1，B=x|0<x<4，則A．x|1<x<4 B．x|x>0C．2,3 D．1,2,3【解題思路】利用集合的交集運算求解.【解答過程】解：因為集合A=x∈N|x>1所以A∩B=2,3，故選：C.【變式4-1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合A=0,1,2,B=3,m，若A∩B=2，則A．0,1,2,3 B．0,1,2 C．1,2,3 D．2,3【解題思路】根據(jù)集合的運算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解答過程】由A∩B=2得m=2所以B=?2?，?3?故選：A.【變式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U=x1<x<6,x∈N,A=2,3,B=A．4,5 B．2,3,4,5 C．2 D．2,4,5【解題思路】由并集和補集的定義求解即可.【解答過程】因為U=x故?UA=4,5，所以?UA故選：D.【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合U=Z，A=xx=2k+1,k∈Z，B=xx=4k+2,k∈Z，則A．?UA∩B B．?UA∪B C．【解題思路】分析集合A可知A={xx=4k+1或【解答過程】對于集合A=x當(dāng)k=2t，t∈Z時，x=4t+1；當(dāng)k=2t+1，t∈Z時，x=4t+3，所以A∪B={xx=4k+1或4k+2或故?U故選：B．【題型5與集合的運算有關(guān)的含參問題】【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知集合A=?1,a,a+2,B=yy=x2?2x,x∈AA．3 B．2 C．1 D．1或3【解題思路】由題意可求出B中可能的元素，討論a的取值，驗證是否符合題意，即可得答案.【解答過程】由題意知：對于集合B，當(dāng)x=?1時，y=x2?2x=3；當(dāng)x=a當(dāng)x=a+2時，y=(又A∪B=A，故A∪B=A，則B?A，若a=3，則a2?2a=3,a不滿足B?A；若a+2=3,∴a=1，此時A=?1,1,3,B=3,?1故a=1，故選：C.【變式5-1】（2024·安徽阜陽·一模）設(shè)集合S=xx<?1或x>5，集合T=xa<x<a+8，且S∪T=RA．?∞,?3∪C．?∞,?3∪【解題思路】根據(jù)并集的定義列出不等式，進(jìn)而可得出答案.【解答過程】因為S=xx<?1或x>5，T=x所以a<?1a+8>5，解得?3<a<?1即實數(shù)a的取值范圍為?3,?1.故選：B．【變式5-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知集合A=xx≤a，B=xx≥2a?1，A∩B≠?，則正實數(shù)A．(0,1] B．(0,1)C．(0,2) D．(1,2)【解題思路】由題意得2a?1≤a，求解即可【解答過程】因為A∩B≠?，所以2a?1≤a，解得a≤1，又a是正實數(shù)，所以則正實數(shù)a的取值范圍為0<a≤1，故選：A.【變式5-3】（2024·廣東梅州·一模）已知集合A=xx<a，B=x?1<x<2，A∪?A．?∞,?1 C．?1,2 D．2,+【解題思路】求出?R【解答過程】?RB=xx≤?1或x≥2，故a≥2，則a的取值范圍為2,+∞故選：D.【題型6集合的新定義問題】【例6】（2024·黑龍江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定義集合：A?B=x,yx∈A,y∈B，則集合A．16 B．15 C．14 D．13【解題思路】先確定集合A?B有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).【解答過程】根據(jù)題意，A?B=x,y則集合A?B的非空子集的個數(shù)是24故選：B.【變式6-1】（2023·云南保山·二模）定義集合運算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，設(shè)A=1,2，B=1,2,3，則集合A．14 B．15 C．16 D．18【解題思路】由集合的新定義計算即可.【解答過程】由題設(shè)知A+B=2,3,4,5∴所有元素之和為2+3+4+5=14，故選：A.【變式6-2】（2023·全國·三模）如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，則A?B=A．2,4,6,1 B．2,4,6,9 C．2,3,4,5,6,7 D．1,2,4,6,9【解題思路】分析可知A?B=xx∈A∪B,x?A∩B，求出集合A、A∪B【解答過程】由韋恩圖可知，A?B=x因為A=xx=2n+1,n∈N,n≤4=則A∪B=1,2,3,4,5,6,7,9，A∩B=3,5,7，因此，故選：D.【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合A?B=xx∈A且x?B，已知集合U=x?3<x<7,x∈Z，E=?1,0,2,4,6，A．?2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．?1,2,6 D．?2,0,1,3,4【解題思路】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6，求得U【解答過程】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6，又U=所以?U故選：A.一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=xx=3k+1,k∈ZA．?2∈A B．2023?AC．3k2+1?A【解題思路】令3k+1分別為選項中不同值，求出k的值進(jìn)行判定.【解答過程】當(dāng)k=?1時，x=?2，所以?2∈A，故A正確；當(dāng)k=674時，x=3×674+1=2023，所以2023∈A，故B錯誤；當(dāng)k=1或k=0時，3k2+1=3k+1當(dāng)k=?12時，x=?12×3+1=?35，所以?35∈A，故D錯誤.故選：A.2．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數(shù)m的取值范圍是（A．34,32 B．34,【解題思路】借助元素與集合的關(guān)系計算即可得.【解答過程】由題意可得2m×2?3>02m×1?3≤0，解得3故選：A.3．（2024·陜西寶雞·一模）若集合A=x∈Rax2A．1 B．0 C．2 D．0或1【解題思路】分類討論，確定方程有一解時滿足的條件求解.【解答過程】當(dāng)a=0時，由ax2?2x+1=0當(dāng)a≠0時，由ax2?2x+1=0解得a=1.綜上，實數(shù)a的取值為0或1.故選：D.4．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A．4 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【解答過程】因為M?A?N，所以A可以是1,2,3,故選：D.5．（2024·山東聊城·一模）已知集合A={xx≤2}，B={xx?a<0}，若A?BA．?∞,?2 B．?∞,?2 C．【解題思路】計算出集合A、B后借助集合間的關(guān)系計算即可得.【解答過程】由x≤2，可得?2≤x≤2，故A={x由x?a<0，可得x<a，故B={xx<a由A?B，則有a>2.故選：C.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）集合P=1,2,3,4,5,6,Q=xx=3t?1,t∈P，則A．1,3,5 B．2,4,6 C．1,4 D．2,5【解題思路】根據(jù)代入法求得集合Q，再根據(jù)集合交集的定義求得結(jié)果；【解答過程】因為P=1,2,3,4,5,6所以P∩Q=2,5故選：D．7．（2024·天津·二模）設(shè)全集U=?1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=?1,0,1，則?A．?1,0,1,3 B．?1,0,1,2 C．0,1,2 D．0,1【解題思路】先求出?UA，再求出【解答過程】因為U=?1,0,1,2,3，所以?所以?UA∪B=故選：A.8．（2024·安徽·二模）已知集合A=1,2,3，B=xx>a，A∩?RA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤3【解題思路】先由A∩?RB【解答過程】由已知A∩?RB=A，所以A??故選:C.二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,y∈A，則xy∈A；②若x,y∈A，則x+y∈A下列判斷中，正確的有（A．?1?A B．2022C．若x,y∈A，則xy∈A D．若x,y∈A，則x?y∈A【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過程】對于A，假設(shè)?1∈A，則令x=y=?1，則xy令x=?1,y=1，則x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0∴?1?A，故A對；對于B，由題，1∈A，則1+1=2∈A,2+1=3∈A,?,2022∈A,2023∈A,∴20222023對于C，∵1∈A，x∈A，∴1∵y∈A,1對于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，則x?y=?1?A，故D錯誤．故選：ABC．10．（23-24高二上·山西晉中·階段練習(xí)）已知集合A=x∣x2?3x?18=0，A．若A=B，則a=?3B．若A?B，則a=?3C．若B=?，則{a∣a<?6或a>6}D．若BA，則{a∣a<?6或a≥6或a=?3}【解題思路】解一元二次方程求得集合A，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．【解答過程】依題意可得A=x對于A，若A=B，則a=?3a2?27=?18對于B，若A?B，則9?3a+a2?27=0對于C，當(dāng)B=?時，則Δ=a2?4a對于D，當(dāng)a=?3時，A=B，故D錯誤．故選：ABC．11．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合M,N,P滿足：M∩N=N,M∪P=P，則（

）A．P?M B．M∩P=MC．N∪P=P D．M∩【解題思路】根據(jù)題意可得：N?M,M?P，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【解答過程】由M∩N=N可得：N?M，由M∪P=P，可得M?P，則推不出P?M，故選項A錯誤；由M?P可得M∩P=M，故選項B正確；因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P=P，故選項C正確；由N?M可得：M∩?pN故選：BC.三、填空題12．（2024·遼寧丹東·一模）若x2?80為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為9,12,21【解題思路】由題意設(shè)x2?80=y2≥0,y∈Z，進(jìn)一步得x?y【解答過程】由題意設(shè)x2?80=y注意到x?y+x+y=2x是偶數(shù)，所以x?y（否則若x?y和x+y中，有一個是奇數(shù)，有一個是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)，這與x?y+注意到x?yx+y=80是偶數(shù)，所以x?y與考慮80的分解方式，滿足題意的數(shù)組x?y,x+y只可能是2,40,所以x的取值可能是8+102故答案為：9,12,21.13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合A=?1,2,4，B=2,m2．若B?A，則實數(shù)m的取值集合為【解題思路】根據(jù)B?A，得到集合B的元素都是集合A的元素，即可求得m的值.【解答過程】由題意B?A，所以m2=?1或m2=4，則所以實數(shù)m的取值集合為?2,2.故答案為：?2,2.14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合M=?2,?1,0,1，N=x|a?3<x<1，若M∩N中有2個元素，則實數(shù)a的取值范圍是1,2【解題思路】根據(jù)交集的運算及集合中的元素的個數(shù)，列不等式求解即可.【解答過程】因為M=?2,?1,0,1，N=x|a?3<x<1，若所以M∩N=?1,0，所以?2≤a?3<?1，解得1≤a<2則實數(shù)a的取值范圍是1,2.故答案為：1,2.四、解答題15．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=x∈Rax(1)若集合A中有且僅有一個元素，求實數(shù)a組成的集合B.(2)若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）分類討論當(dāng)a=0、a≠0時方程根的個數(shù)，即可求解；（2）由（1）可得a=0或a=1，再討論當(dāng)A=?時的情況即可.【解答過程】（1）若a=0，方程化為2x+1=0，此時方程有且僅有一個根x=?1若a≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式Δ=4?4a=0，即a=1方程有兩個相等的實根x1=x∴所求集合B=0,1（2）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個元素，由（1）可知此時a=0或a=1，②A中一個元素也沒有，即A=?，此時a≠0，且Δ=4?4a<0，解得a>1綜合①②知a的取值范圍為{aa≥1或16．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設(shè)集合A=(1)若a=12，試判斷集合A與(2)若BA，求a的值組成的集合C．【解題思路】（1）當(dāng)a=12時求出集合A與（2）求出集合B，注意對a=0與a≠0分類討論，根據(jù)B?A，列方程求解．【解答過程】（1）A=當(dāng)a=1