第1頁/共1頁20242025學年度廣西桂林市國龍外校高二數學12月階段測試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，滿分40分；每小題有且僅的一個選項是正確的）1.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據空間直角坐標系對稱點的特征，點關于軸的對稱點的坐標為只須將縱坐標、豎坐標變成原來的相反數即可，即可得對稱點的坐標.【詳解】在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為：，所以點關于軸的對稱點的坐標為：.故選：B.2.有本不同的書，其中語文書本，數學書本，物理書本．若將其隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可求得結果.【詳解】將本語文書捆綁、本數學書捆綁，則相同科目的書相鄰的排法種數為種.故選：C.3.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結合兩直線平行問題判斷即可.【詳解】當時，直線為，直線為，兩直線重合；當直線與直線平行時，，解得或，而時，兩直線重合，當時，直線為，直線為，兩直線平行，因此直線與直線平行時，，則，所以“”是“直線與直線平行”既不充分也不必要條件.故選：D4.與橢圓有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知橢圓的方程化為標準方程，求出焦點坐標，再利用待定系數法進行求解即可.【詳解】橢圓可化為標準方程，可知橢圓的焦點在軸上，該橢圓的半焦距長為，焦點坐標為，故可設所求橢圓方程為，則.又，即，所以，故所求橢圓的標準方程為，故選：B5.如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三角形重心的性質，結合空間向量線性運算的幾何意義、空間向量基本定理進行求解即可.【詳解】連接，并延長交于點，連接，則為的中點，且，.故選：C6.某醫學院校計劃從5名男生和3名女生中選派2人參加義診活動，則在派出的2人中第1人是男生的條件下，第2人恰好是女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運用條件概率公式，結合古典概型，組合和組合數公式計算即可.【詳解】記“派出的2人中第1人是男生”為事件A，“第2人恰好是女生”為事件.則.故選：C.7.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A.] B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，求出直線過定點，數形結合再由圓心到直線的距離等于半徑和斜率的定義求解即可；【詳解】曲線即為半圓：，其圖象如圖所示，曲線與軸的交點為，而直線為過的動直線，當直線與半圓相切時，有，解得，當直線過時，有，因為直線與半圓有兩個不同的交點，故，故選：A.8.已知圓，直線，若與圓交于，兩點，設坐標原點為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據直線求出定點得出圓心，再結合數量積公式得，最后結合不等式性質計算得出最大值即可.【詳解】由于，故恒過定點，這恰好是圓的圓心，同樣記該點為.所以，且，同時顯然有.所以.從而，得.故，從而，故.另一方面，對，，直接計算可知的中點為，且.故，均圓上，此時，而，故.綜上，的最大值是.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是得出應用向量數量積公式化簡求解.二、多項選擇題（本題共2小題，每小題6分，滿分12分，每小題至少有兩個選項是正確的）9.某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品．設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X，員工B抽取到的3件產品中次品數量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（）A.隨機變量X服從二項分布 B.隨機變量Y服從超幾何分布C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由二項分布的定義判斷A，由超幾何分布的定義判斷B，根據二項分布與超幾何分布的均值公式求得均值判斷D，利用概率與均值的關系可通過D來反證說明C．【詳解】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知兩個選項均正確；對于D選項，該批產品有M件，員工A有放回地抽取一件產品為次品的概率為，抽取3件產品，次品數，則，員工B無放回地隨機抽取3件，因此次品數服從超幾何分布，，（），，因此D正確；對于C選項，假若C正確可得，則D錯誤，矛盾！故C錯誤．故選：ABD.10.已知點為拋物線的焦點，點為拋物線上位于第一象限內的點，直線為拋物線的準線，點在直線上，若，，，且直線與拋物線交于另一點，則下列結論正確的是（）A.直線的傾斜角為B.拋物線的方程為C.D.點在以線段為直徑的圓上【答案】BCD【解析】【分析】過點作，垂足為，根據拋物線的定義知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判斷A；根據為等腰直角三角形，可求出可判斷B；將直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求出的值可判斷C；設線段的中點為，求出的坐標，得到可判斷D.【詳解】如圖，過點作，垂足為，由拋物線的定義知，與全等，則，，，，，，則，直線的傾斜角為，故A錯誤；設直線與軸交于點，則，由上可知，，則為等腰直角三角形，，，得，所以拋物線方程為，故B正確；由上可知，直線方程為，設Px1,y，，聯立，整理得，則，，則，，故C正確；設線段的中點為，則，，，由上可知，則，又，點在以線段為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，第小題5分，滿分20分）11.的二項展開式中，項的系數為________．【答案】135【解析】【分析】寫出二項式的通項，取，即得項的系數.【詳解】的通項為使，解得，即得項的系數為.故答案為：135.12.正八面體中，以其頂點為頂點的三棱錐的個數為___________（用數字作答）．【答案】12【解析】【分析】根據給定條件，利用幾何圖形的組合計數問題，結合排除法列式計算即得.【詳解】作出正八面體，如圖，正八面體共有6個頂點，其中有3組不同的四點共面，則以正八面體頂點為頂點的三棱錐的個數為.故答案為：1213.某同學第1天午餐時隨機選擇中的一家就餐，若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.6；若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.8．則該同學第2天去餐廳的概率為_____．【答案】0.3##【解析】【分析】根據題意結合全概率公式可直接求得.【詳解】設“第天去餐廳就餐”，“第天去餐廳就餐”，則對立且，所以．故答案為：0.3.14.年月，歐內斯特·盧瑟福在《哲學》雜志上發表論文.在這篇論文中，他描述了用粒子轟擊厚的金箔時拍攝到的運動情況.在進行這個實驗之前，盧瑟福希望粒子能夠通過金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有極小一部分粒子從金箔上反彈.如圖顯示了盧瑟福實驗中偏轉的粒子遵循雙曲線一支的路徑，則該雙曲線的離心率為__________；如果粒子的路徑經過點，則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心__________cm.【答案】①.②.【解析】【分析】根據漸近線傾斜角可得離心率為，代入點坐標計算即可得雙曲線方程，求得結果.【詳解】由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為，即可得，因此離心率為；設雙曲線的方程為，將代入計算可得，解得；所以該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心cm.故答案為：；；【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用題目信息，根據漸近線傾斜角得出離心率，再由過的點坐標得出實半軸長.四、解答題（本題共6大題，滿分78分）15.在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，求實數的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由為直徑，可知圓心及半徑，進而可得圓的方程；（2）根據直線與圓相切，結合點到直線的距離可得解.【小問1詳解】由已知，，則M1,1，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】由直線，即，又直線與圓相切，可得，解得.16.文旅部門統計了某網紅景點在2022年3月至7月的旅游收入（單位：萬），得到以下數據：月份34567旅游收入1012111220（1）根據表中所給數據，用相關系數加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合與的關系？若可以，求出關于之間的線性回歸方程；若不可以，請說明理由（精確到0.001）；（2）為調查游客對該景點的評價情況，隨機抽查了200名游客，得到如下列聯表，請填寫下面的列聯表，并判斷能否有99.9%的把握認為“游客是否喜歡該網紅景點與性別有關”.喜歡不喜歡總計男100女60總計110參考公式：相關系數，參考數據：，線性回歸方程：，其中，，，其中.臨界值表：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）可用線性回歸模型擬合與的關系，.（2）列聯表見解析，有99.9%的把握認為游客是否喜歡該網紅景點與性別有關.【解析】【分析】（1）先依據已知條件依次計算、、、和，進而計算，從而得出可用線性回歸模型擬合與的關系，再根據最小二乘法求出即可得解.（2）由已知數據即可填寫列聯表；根據表格數據計算，再結合獨立性檢驗基本思想方法即可得解.【小問1詳解】由已知得：，，所以，，，所以，因為，說明與的線性相關關系很強，可用線性回歸模型擬合與的關系，所以，所以關于的線性回歸方程為：.【小問2詳解】列聯表如下所示：喜歡不喜歡總計男7030100女4060100總計11090200零假設：游客是否喜歡該網紅景點與性別無關，根據列聯表中數據，，依據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即有的把握認為游客是否喜歡該網紅景點與性別有關.17.已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程；（2）設雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據雙曲線實軸長得到，代入，求出，得到雙曲線方程；（2）寫出直線的方程，與雙曲線方程聯立，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式得到，求出點到直線的距離，從而求出三角形面積.【小問1詳解】由已知雙曲線的實軸長為，即得，所以雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，解得，則雙曲線方程；【小問2詳解】由已知直線，即，聯立直線與雙曲線，即，得，，且，，則弦長又為雙曲線的左焦點，，所以點的坐標為，點到直線的距離為，所以的面積，所以的面積為.18.甲、乙兩人準備進行羽毛球比賽，比賽規定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發球方.若甲發球，則本回合甲贏的概率為，若乙發球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結果相互獨立.經抽簽決定，第1回合由甲發球.（1）求前4個回合甲發球兩次的概率；（2）求第4個回合甲發球的概率；（3）設前4個回合中，甲發球的次數為，求的分布列及期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）前4個回合甲發球兩次可分為3種情況，分別求概率再相加即可；（2）先求出第2回合甲乙發球的概率，進而得到第3回合甲乙發球的概率，進而可得第4回合甲乙發球的概率；（3）根據隨機變量的取值，利用獨立性概率公式可得.【小問1詳解】前4個回合甲發球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發球，乙第3，4回合發球，其概率為.第二種情況，甲第1，3回合發球，乙第2，4回合發球，其概率為.第三種情況，甲第1，4回合發球，乙第2，3回合發球，其概率為.故前4個回合甲發球兩次的概率為.【小問2詳解】第2回合甲發球的概率為，乙發球的概率為.第3回合甲發球的概率為，乙發球的概率為.第4個回合甲發球的概率為.【小問3詳解】可以取1，2，3，4.當時，；當時，；由（1）得，當時，；當時，.的分布列為1234.19.如圖，在長方體中，，，點在上，且.（1）求直線與直線所成角的大小；（2）求直線與平面所成角正弦值；（3）若點在側面上，且點到直線和的距離相等，求點P到直線距離的最小值．【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出直線與直線的方向向量運算得解；（2）求出平面的一個法向量，利用向量法求解；（3）設出點，可得，利用點到直線距離公式求解.【小問1詳解】以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：,則，，所以直線與直線所成角為.【小問2詳解】設平面的一個法向量為，，因為，所以，即，令，則，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設，根據題意有，即，，則點到的距離，