PAGE1-課時作業8函數的極值與導數學問點一函數極值的概念1.關于函數的極值，下列說法正確的是()A．導數為零的點肯定是函數的極值點B．函數的微小值肯定小于它的極大值C．f(x)在定義域內最多只能有一個極大值一個微小值D．若f(x)在區間(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內不是單調函數答案D解析易知選項A，B，C均不正確．對于D，不妨設x0是f(x)在區間(a，b)內的微小值點，則在x0旁邊，當x<x0時，f(x)>f(x0)，當x>x0時，f(x)>f(x0)，故在x0旁邊函數f(x)不單調，即f(x)在區間(a，b)內不是單調函數，故選D.2．設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數f(x)在x＝－2處取得微小值，則函數y＝xf′(x)的圖象可能是()答案C解析由題意可得f′(－2)＝0，而且當x∈(－∞，－2)時，f′(x)<0，此時xf′(x)>0，解除B、D；當x∈(－2，＋∞)時，f′(x)>0，此時若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函數y＝xf′(x)的圖象可能是C.學問點二求函數的極值3．設三次函數f(x)的導函數為f′(x)，函數y＝xf′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，微小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，微小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，微小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，微小值為f(－3)答案D解析由題圖可知，當x∈(－∞，－3)時，xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；當x∈(－3,0)時，xf′(x)＜0，即f′(x)＞0；當x∈(0,3)時，xf′(x)＞0，即f′(x)＞0；當x∈(3，＋∞)時，xf′(x)＜0，即f′(x)＜0.故函數f(x)在x＝－3處取得微小值，在x＝3處取得極大值．4．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、微小值分別為()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)答案A解析f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當x＝eq\f(1,3)時，f(x)取極大值eq\f(4,27)；當x＝1時，f(x)取微小值0.學問點三已知函數極值求參數5.設x＝1與x＝2是函數f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數a和b的值；(2)推斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是微小值點，并說明理由．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1.由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,\f(a,2)＋4b＋1＝0，))解方程組得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6).(2)由(1)，知f(x)＝－eq\f(2,3)lnx－eq\f(1,6)x2＋x，f′(x)＝－eq\f(2,3)x－1－eq\f(1,3)x＋1.當x∈(0,1)時，f′(x)<0，當x∈(1,2)時，f′(x)>0，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0.故在x＝1處函數f(x)取得微小值eq\f(5,6).在x＝2處函數f(x)取得極大值eq\f(4,3)－eq\f(2,3)ln2.∴x＝1是函數f(x)的微小值點，x＝2是函數f(x)的極大值點．6．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，求f(2)的值．解f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝10，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋b＋1＝10，,2a＋b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))當a＝4，b＝－11時，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－eq\f(11,3).當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x－∞，－eq\f(11,3)－eq\f(11,3)－eq\f(11,3)，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值微小值明顯函數f(x)在x＝1處取微小值，符合題意，此時f(2)＝18.當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)沒有極值，不符合題意．綜上可知f(2)＝18.一、選擇題1．已知函數y＝f(x)，x∈R有唯一的極值，且x＝1是f(x)的微小值點，則()A．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0B．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0C．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0D．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0答案C解析由微小值點的定義，知微小值點左右兩側的導函數是左負右正，又函數f(x)，x∈R有唯一的極值，故當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0.2．已知a為函數f(x)＝x3－12x的微小值點，則a＝()A．－4 B．－2C．4 D．2答案D解析由題意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，所以a＝2.3．函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3)D.eq\f(16,3)答案C解析由圖象可得f(x)＝0的根為0,1,2，故d＝0，f(x)＝x(x2＋bx＋c)，則1,2為x2＋bx＋c＝0的根，由根與系數的關系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x3－3x2＋2x，則f′(x)＝3x2－6x＋2，由圖可得x1，x2為3x2－6x＋2＝0的根，則x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，故xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(8,3).4．對隨意的x∈R，函數f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點的充要條件是()A．a＝0或a＝21 B．0≤a≤21C．a<0或a>21 D．0<a<21答案B解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因為f(x)在R上不存在極值，則Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.5．函數y＝x3－2ax＋a在(0,1)內有微小值，則實數a的取值范圍是()A．(0,3) B．(－∞，3)C．(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))答案D解析y′＝3x2－2a，因為函數在(0,1)內有微小值，所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)內必有實數解，記f(x)＝3x2－2a，如圖，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝－2a＜0，,f1＝3－2a＞0，))解得0＜a＜eq\f(3,2)，故選D.二、填空題6．已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋6，其導數f′(x)的圖象如圖所示，則函數的微小值是________．答案6解析依題意f′(x)＝3ax2＋2bx.由題圖象可知，當x<0時，f′(x)<0，當0<x<2時，f′(x)>0，故x＝0時函數f(x)取微小值f(0)＝6.7．已知函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有極值，則c的取值范圍為________．答案c<eq\f(1,4)解析∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有極值，∴f′(x)＝0有不等的實數根，即Δ＝1－4c>0，解得c<eq\f(1,4).8．已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析由題知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函數f(x)有兩個極值點，則f′(x)＝0有兩個不等的正根，即函數y＝lnx＋1與y＝2ax的圖象有兩個不同的交點(x>0)，則a>0；設函數y＝lnx＋1上任一點(x0，1＋lnx0)處的切線為l，則kl＝y′＝eq\f(1,x0)，當l過坐標原點時，eq\f(1,x0)＝eq\f(1＋lnx0,x0)?x0＝1，令2a＝1?a＝eq\f(1,2)，結合圖象(略)知0<a<eq\f(1,2).三、解答題9．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，微小值為0，試確定a，b，c的值．解f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．(1)當a>0，x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：由表可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝f－1＝－a＋b＋c，,0＝f1＝a－b＋c，))又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.(2)當a<0時，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.10．已知函數f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函數f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．解因為f(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2