第四章三角函數、解三角形

第一節任意角和弧度制及任意角的三角函數

［備考領航］

課程標準解讀關聯考點核心素養

1,了解任意角的概念和弧度制，能

1.象限角及終邊相同的角.1.數學抽象.

進行弧度與角度的互化.

2.扇形的弧長及面積公式的應用.2.直觀想象.

2.借助單位圓理解三角函數（正弦、

3.三角函數的定義及應用3.數學運算

余弦、正切）的定義

知識逐點:夯:實重點準逐點清結論要牢記諜前門修

［重點準?逐點清］

重點一角的概念的推廣

1.定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.

1按旋轉方向不同分為正電、魚角、零角;

2分舉

?按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

3.終邊相同的角：所有與角”終邊相同的角，連同角〃在內，可構成一個集合5=加川

=a+A?360°,k￡Z）.

［提醒］終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同.

［逐點清］

1.（必修4第5頁繪與3（2）題改"）一870°的角的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：選C-8700=-2X360°-150°,一870°和一150°的終邊相同，所以一870°的終

邊在第三象限.

2.（必修4第5頁練習5⑵題改G）在0至U2n范圍內，與角a=一竽終邊相同的角

是.

解析：與角a=一號終邊相同的角是2E+（一專）（A￡Z）,令k=l,可得與角〃=一號

終邊相同的角是胃.

答案后

重點二弧度制的定義和公式

1.定義：把長度等于坐徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示.

2.公式

角a的弧度數公式|a|=:(/衰示弧長)

①「一山②

角度與弧度的換算180m1rad-(7r)

弧長公式z=kk

扇形面積公式S=1/r=1|a|r

［提醒］有關角度與見度的兩個注意點

(1)角度與弧度的換算的關鍵是江=180°,在同一個式子中，采用的度量必須一致，不可

混用；

(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

［逐點清］

3.(果錯用)下列與空的終邊相同的角的表達式中正確的是()

9

A.2"定+45c(左WZ)B.^360A+j7t(/lGZ)

C.A?360°-315°(A￡Z)D.E+￥(A￡Z)

解析：選C由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和弧度，應為號+2々江

或上360°-3I5°(A￡Z).

4.(必修4第8頁例3改編)一條弦長等于半徑，則此弦所對圓心角的弧度數為()

A.TB.?

63

C.TD.T

解析：選B因為弦長等于半徑，所以弦和與弦兩端點相交的兩半徑構成等邊三角形，

所以弦所對圓心角為60。，即為三rad.

重點三任意角的三角函數

1.定義：設夕是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（X,y）,那么sina=上，cos

a=x,tana—;(x#0).

2.推廣：設點P（x,刃是角a終邊上任意一點且不與原點重合，r=|OP|,貝ljsin〃=：,

Xy

cosa=ptana=j(xHO).

［逐點清］

5.（興傳4第12頁例2改編）已知角a的終邊過點P（-4,3）,則2sina+tana的值是（

99

A.

~2020

C.-7D-5

34

解析：選B二,角a的終邊經過點P(—4,3),；?r=|OP|=5.，sina=1,cosa=-7,tan

3

a=一不

2sina4-tana=2x]+(-?=9

府.故選B.

6.（必修4第13頁例3改編）若角0同時滿足sin〃V0且tan〃V0,則角0的終邊一定

位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：選D由sinOVO,可知。的終邊可能住于第三象限或第四象限,也可能與y軸

的非正半軸重合.由tan〃V0,可知〃的終邊可能位于第二象限或第四象限，故。的終邊

只能位于第四象限.

［記結論?提速度］

［記結論］

1.一個口訣：三角函數值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

第二象限角）,性〃VaV2E+多,A￡Z}

象

眼第一象限角］［a2AJT+號Va<2Ajr+7T,*￡Z|

角

的

第三象限角）卜|2A"7TVaV2E+要"刃

集

合

第四年限角〕卜性"婪VaV2A"27T”￡Z：

3.軸線角

［提速度］

1.已知角a為第二象限角，點尸（tana,sina）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：選B因為角”為第二象限角，所以tanavO,sina>0,則點P（tana,sina）在

第二象限.故選B.

2.終邊在直線y=x上的角〃的取值集合是（）

A.{a［a=〃?360°+135°,〃￡Z}

B.{a|a=〃?360°-45°,/iGZ}

C.{a|a=/rl80°+45°,?ez}

D.{a|a=〃?180°-45°,?ez}

解析：選C終邊在x軸上的取值集合為{夕W=〃?180°,nGZ},把x軸繞原點按逆時

針旋轉45°得到a,則a的取值集合為{a|a=〃?180°+45°,〃WZ}.

考點分:類茯皴理解透規律明變化究其本課堂講練

1考點一|象限角及終邊相同的角

［基礎自學過關］

［題組練透］

1.設集合M={x'=與180。+45。，&wz},"=卜’=與180。+45。，Fz},那么

）

A.M=NB.MGV

C.N7MD.2Wn/V=0

解析：選B由于M中，工=4180°+45°=幺90°+45。=（2攵+1）?45°,2A+1是奇數；而

N中，x=]180°+45°=Q45°+45°=(A+l>45°,hH是整數，因此必有MGN.

2.（多選）已知角2a的終邊在x軸的上方，那么角a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：選AC因為角2〃的終邊在x軸的上方，所以4?360°〈2〃〈4?360。+18＜）°,A￡乙

帥I有&?180°＜。＜如180°+90°,kGZ.

故當A=2〃，〃￡Z時，〃?360°vav〃?360°+90°,〃￡Z,a為第一象限角；

當A=2〃+l,時，/I-36O04-180°＜a＜/r360°+270°,〃WZ,“為第三象限角.故選

A、C.

3.在一720。?0。范圍內所有與45。終邊相同的角為.

解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：

//=45°+AX360°（AGZ）,

則令一720。＜45。+AX360。＜00（&￡Z）,

得一765°WAX360°v-45°（A￡Z）,

解得一從而2或A=-1,

代入得。=一675°或少=一315°.

答案：一675。或一315°

4.終邊在直線），=小x上，且在［-2加，2萬）內的角a的集合為.

解析：如圖，在坐標系中畫出直線），=小/可以發現它與x軸的夾［尸、3工

角是會在［0,2n）內，終邊在直線y=，5x上的角有兩個：竽；在［―2江，

0）內滿足條件的角有兩個：一萼，一萼，故滿足條件的角以構成的集合為

JO

5n_27rn4nl

{一予一予yTj-

杳茶：13,3,3,3J

［練后悟通］

1.象限角的2種判斷方法

在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾

圖象法

象限角

先將已知角化為際360。+以(0。W〃<360。,A￡Z)的形式，即找出與已知角終邊相

轉化法

同的角處再由角〃終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角

2.求《或〃伙〃￡N")所在象限的步驟

(1)將〃的范圍用不等式(含有A,且&WZ)表示；

(2)兩邊同除以〃或乘以〃；

(3)對k進行討論，得到《或WN")所在的象限.

［提醒］注意“順轉減，逆轉加”的應用，如角?的終邊逆時針旋轉180°可得角a+180°

的終邊，類推可知〃+心180。僅￡2)表示終邊落在角〃的終邊所在直線上的角.

1扇形的弧長及面積公式的應用

［師生共研過關］

［例1］已知扇形的圓心角是小半徑是r,弧長為1.

⑴若“=100°,r=2,求扇形的面積；

(2)若扇形的周長為20,求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數.

［解］(1)因為a=100°=100X念=卷，

1Ouy

、,加、,，

“cL1,21X5X4=10?r

所以SA?=2/r=2?r=2y-?

(2)由題意知，Z+2r=20,即/=20-2「，

故S*?=|/T=|(20-2r)-r=-(r-5)24-25,

當/*=5時，S的最大值為25,此時/=10,則〃=，=2.

［解題技法］

有關弧長及扇形面積問題的注意點

(1)利用扇形的瓠長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是瓠度；

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得

到解決；

(3)在解決瓠長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

［跟蹤訓練］

1.(多選)(2021,青島模擬)已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,下列選項正確的有

A.圓的半徑為2B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數是1D.圓心角的弧度數是2

解析：選ABC設扇形半徑為r,圓心角弧度數為處

2r+ar=6,

則由題意得h,解得r=2,

或

產=2,a=4a=l,

可得圓心角的弧度數是4或L

2.若扇形的圓心角a=120°,弦長A〃=12cm,則弧長/=(

解析：設扇形的半徑為/*cm,如圖.

由sin60°=,得r=4\/5cm,

所以/=|“卜「=空乂4小=駕^

n(cni).

答案：明

L^i!______________.三角函數的定義及應用

［定向精析突破］

考向1三角函數的定義

［例2］(1)已知角P的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有一

點P(—4,a)t且sin/??cos/?=乎，則。的值為()

A.4小B.±4/

C.一4小或一弧D.<3

(2)已知角a的終邊在直線y=-x上，且cosaV0,則tana=.

［解析］(1)因為點P(—4,0)在角力的終邊上且sin/cos夕=半，所以(工?工2=坐

L4L

解得〃=—或a=一川3.故選C.

(2)如圖，由已知，角a的終邊在第二象限，在其終邊上任取一點P(x,7

j),則y=-x,由三角函數的定義得tana=3=—=一1.\L

O\x

［答案］(DC(2)-1

［解題技法］

利用三角函數定義解決問題的策略

(1)已知角a終邊上一點尸的坐標，可求角。的三角函數值.先求。到原點的距離，再

用三角函數的定義求解；

(2)已知角a的某三角函數值，可求角a終邊上一點尸的坐標中的參數值，可根據定義

中的兩個量列方程求參數值；

(3)已知角?的終邊所在的直線方程或角a的大小，根據三角函數的定義可求角a終邊

上某特定點的坐標.

考向2三角函數值符號的判定

［例3］(2020?全國卷II)若〃為第四象限角，貝人)

A.cos2a>0B.cos2〃VO

C.sin20t>0D.sin2a<0

［解析］法一：因為a為第四象限角，所以2E—3VaV2E,kQZ,所以4E—7iV2a

<4knfAWZ,所以2a的終邊在第三象限、第四象限或y軸的負半軸上，所以sin2?<0.

故選D.

法二：因為a為第四象限角，所以sinaVO,cosa>0,所以sin2a=2sinacosaV0.

故選D.

［答案］D

［解題技法］

三角函數值符號的判斷方法

要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、

余弦函數值在各象限的符號確定函數值的符號.如果角不能確定所在象限，那就要進行分

類討論求解.

［跟蹤訓練］

1.下列各選項中正確的是(

A.sin300°>0B.cos(—305°)<0

C.tan「一馬”>0

D.sin10<0

解析：選D300°=360°—60°,則300°是第四象限角，故sin300°<0;—3050=—360°

+55°,則一305°是第一象限角，故cos(—305°)>0;一^^=一8江+竽，則一警^是第二象限

角，故tan(一室)vo；3n<10<y,則10是第三象限角，故sin10<0,故選D.

3

2.已知角〃的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，且cos〃=-］,若點M(x,8)

是角〃終邊上一點，則X等于()

A.-12B.-10

C.一8D.-6

解析：選D由任意角的三角函數的定義可得，

八

"=；x=/本x3

解得x=-6.

3.設〃是第三象限角，且卜。s與=-cos*貝岑是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：選B由〃是第三象限角知，號為第二或第四象限角,

V|cos=—cosj,Acos^<0,

綜上可知，§為第二象限角.

［課時過關檢測］4

A級---基礎達標

1.下列命題錯誤的是()

A.一個是第二象限角B.專是第三象限角

C.一400°是第四象限角D.一315°是第一象限角

解析：選A一普是第三象限角，故A錯誤.華=加+作,從而手是第三象限角，B正確.一

?。0

4000=—360°-40°,從而C正確.一315°=—360°+45',從而D正確.

2.已知圓上的一段弧長等于該圓內接正方形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數為

()

A啦B正

A?4??2

C.^2D.2^2

解析：選C設圓的半徑為r,則該圓內接正方形的邊長為啦r,即這段圓弧長為也,，

則該圓弧所對的圓心角的弧度數為與=啦.故選C.

3.已知點（ina，cos：。落在角〃的終邊上，且〃￡[0,2兀），則。的值為（）

A"D3"

A.T4B.-4r

C包D-

J4“4

解析：選D點《i亭，co*）,

即^厄），點尸落在角夕的終邊上，且呵0,2江），所以。=竽

4.若角。與夕的終邊關于x軸對稱，則有（）

A.〃+片90°

B.a+/?=90°+A?360°,k?Z

C.“+4=2距180°,kRZ

D.”+4=180。+心360。，&GZ

解析：選C因為々與夕的終邊關于x軸對稱，所以/?=2〃?180°—%kGZ,所以〃+/?

=2A?180°,kQZ.

5.（多選）（2021?濟寧模擬）關于角度，下列說法正確的是（）

A.時鐘經過兩個小時，時針轉過的角度是60。

B.鈍角大于銳角

C.三角形的內角必是第一或第二象限角

D.若a是第三象限角，貝吟是第二或第四象限角

解析：選BD對于A,時鐘經過兩個小時，時針轉過的角是一60。，故錯誤；

對于B,鈍角一定大于銳角，顯然正確；

對于C,若三角形的內角為90°,則是終邊在），軸正半軸上的角，故錯誤；

對于D,???角a的終邊在第三象限，

??2kn^-n<.a<2kn-^^tAWZ,

/.Ar7r+?<T<^+^,k￡Z.

當A=2〃，〃WZ時，2〃江+5V3V2〃兀+乎，〃WZ,得，是第二象限角；

當A=2〃+l,時，（2〃+1加+5〈3〈（2〃+1加+斗，〃WZ,得3是第四象限角，

故正確.

6.（多選）（2021?泰安模擬）已知“4人與，kGZ｝，則函數尸簫$+?一黑點

的值可能為（）

A.3B.-3

C.1D.—1

解析：選BCx,H與，AGZ,

sinx.pCOSXtanx_

當X在第一象限時：1411-li

L|sin]|cosx\Itanxn

_sinx.1COSX_tan±I4』.

當X在第二象限時：「，

>-|sinxr|cosx\Itanx1""I

sinx」1COSXtanx...一.

當X在第三象限時：?一1"11—3

?-|sinxr|cosx\u|tanx\

sinx.COSX

當X在第四象限時：-故選、

L|sinx|T|cosx\|tanx|1+1+1—1,BC.

7.若“=1560°,角。與a終邊相同，且一360°V〃V360°,則。=.

解析：因為”=1560°=4X360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360°X斤+120°,kGZ,

令A=-l或A=0,可得〃=一240°或0=120°.

笞案：120°或一240。

8.已知扇形的圓心角為本面積為岸則扇形的弧長等于.

解析：設扇形半徑為r,弧長為/,則￡=*1^=3?解得"=去/=2?

答案送

9.已知扇形的圓心角為仇其弧長是半徑的2倍，則篇j+黑鬻+黑?

pillU\CUoUIdllV

解析：由題意，得。=2,而4V2V明???〃是第二象限角，，sin〃>0,cos^<0,tan0

v。，???si閑n0+,J母cos^|+|看|tan0\=—

答案：一1

10.（2021?天津模擬）在平面直角坐標系xQy中，角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸

的非負半軸重合，終邊交單位圓0于點P（a,b）f且a+T，則ab=,cos（2a+?

解析：由題知sina=b,cosa=a.Va+^=z,.,.sina+cos兩邊平方可得sii>2a+

n，

49492412

cos2a+2sinacosa=運，l+2sinacos〃=云，2sinacosa=^.sinacosa=ab=運,

.,.cos(2a+^j=—sin2a=-2sinacosa=_24

25,

答案：H-S

U.已知孤=一消最且電(cos。)有意義?

⑴試判斷角a所在的象限；

(2)若角a的終邊上一點，臉，且OM=1(0為坐標原點)，求加及sin〃的值.

解：⑴由點］=一/，得sin"。，

由lg(cosa)有意義，可知cos?>0,所以a是第四象限角.

(2)因為OM=1,所以解得m=±T.

又“為第四象限角，故加<0,

-4x,n4

從而機=_g,sma=,=5方=一亨

12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角〃的始邊與x軸的非負半軸

重合且與單位圓相交于點A,它的終邊與單位圓相交于r軸上方一點3,

始邊不動，終邊在運動.

(1)若點4的橫坐標為一:，求tana的值；

(2)若△40B為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角力的集合.

解：(1)設點8的縱坐標為％則由題意加+(一號』1,

且心0,所以m=1,故

根據三角函數的定義得tana

(2)若△AOA為等邊三角形，則NHOB=Q,故與角?終邊相同的角fi的集合為

“。=京+2mkWZ

B級——綜合應用

13.（多選）（2021?淞坊質檢）在平面直角坐標系X。），中，角G以Ox為始邊，終邊經過點

P（—1,〃[）（加>0）,則下列各式的值一定為負的是（

A.sina+cosaB.sina-cosa

sina

C.sinacosaD.tana

m

解析:選CD由已知得r=|0。|=/序+],則sina=>0,cosa

7，，/+i

的符號不確定，

tana=—m<0,Asina+cosasina-cosa>0,sinacosa<0,on**（L=cosa<0.

故選C、D.

14.《九章算術》是我國古代數學的代表作，其中《方田》章給出計

算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=；（弦X矢+矢2）,弧田由圓《/?

弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長3

與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為空，半徑長為4的弧田，如圖，按照上述公式計算

出弧田的面積為（）

A.4巾+2B.4^3

C.6D.6v5+2

解析：選由題意可得。.在中，易得

AJ4=J4RthAODZDAO

=T,OO=；OA=；X4=2,可得矢=4-2=2.由4D=40sin三=4X萼=2小，可得弦=2AD

=4小.所以弧田面積=；(弦X矢+矢2)=；x(45X2+2?)=45+2.

15.若角0的終邊過點P(—4a,3a)(ar0).

⑴求sin9+cos0的值；

(2)試判斷cos(sin〃)?sin(cos夕)的符號.

解：⑴因為角〃的終邊過點P(-4a,3a)(aW0),

所以x=—4%j=3a,r=5|a|,

341

當a>0時，r=5afsinZ^+cos~=--

341

當時，〃〃=一三+三=三.

aVOr=-5a,sin+cosD33

(2)當a>0時，sin〃=走(0,5

cos?=—%(甘，0),

則cos(sin^)'sin(cos0)=cos/sin(一§V0；

3,0),cos〃=鼠

當aVO時，sin0=—=^

貝Ucos(sin〃)?sin(cosC)=cos7>0.

綜上，當a>0時，cos（sin夕）?sin（cos夕）的符號為負；

當aVO時，cos（sin^）*sin（cos夕）的符號為正.

C級——遷移創新

16.在一塊頂角為120。、腰長為2的等腰三角形厚鋼板廢料中用電焊切割成扇形,

現有如圖所示兩種方案，既要充分利用廢料，又要切割時間最短，試說明哪種方案最優.

ADBAB

方案一方案二

2

解：因為△/105是頂角為120°即為不、腰長為2的等腰三角形,

所以A=AM=RN=lrAD=2f

所以方案一中扇形的弧長=2X?=W；方案二中扇形的弧長=1X勺=勺；

o3J3

方案一中扇形的面積=；X2X2X%=g,方案二中扇形的面積=；X1XlX§=g.

由此可見：兩種方案中利用廢料割成的扇形面積相等.方案一中切割時間短.因此方

案一最優.

第二節同角三角函數基本關系式與誘導公式

［備考領航］

課程標準解讀關聯考點核心素養

1.理解同角三角函數的基本關系式：siMx+1.同角三角函數基本關系式

,.sinx的應用.

c°sx-Lcos「tanX.

1,數學運算.

2.誘導公式的應用.

2.借助單位圓及三角函數的定義推導出誘導2.邏輯推理

3.誘導公式與同角關系的

公式住±〃，7T±?的正弦、余弦、正切）

綜合應用

【逐:點:夯:實

知識重點準逐點清結論要牢記課前自修

［重點準?逐點清］

重點一同角三角函數的基本關系

1.平方關系：sin2a-cos2a=1；

2.商數關系：tan吃.

LU。CA

［提醒］平方關系對任意角都成立，而商數關系中永〃eZ).

1.(必修4笫20頁練習1題改編)已知sin”=W，9<〃4江，貝ljtana=()

3X

Icos0

2.(必修4第20天練習4題改編)若疝11〃(：05〃=5，貝八@11〃+而/=.

cos0sin0cos8______1______

解析：tan。+

sincos0+sincos伙iin0~

答案：2

重點二誘導公式

―*二三匹五

n

2An+a(AeZ)冗+a—ait-a2~a2+a

sina—sina一sinasinacosaCOS(L

cosa一cocacosa一cosasina-sina

tanatana-tana一tana

［提醒］誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“槨+a(A

￡Z)”中的k是奇數還是偶數.“變”與“不變”是指函數的名稱的變化，若k是奇數，

則正、余弦互變；若A為偶數，則函數名稱不變.“符號看象限”指的是在，V+a(A￡Z)”

中，將〃看成銳角時，“kg+a(A￡Z)”的終邊所在的象限.

［逐點清］

ms(號)=

3.(必修4第24頁例1BJU*)sin24900=

解析：sin2490°=sin(7X360°—30°)=—sin30°=—g.cos(一=cos^j^=

8§（16兀+江+三

fg11

答案：一］~2

4.（易錯題）已知,則tana=

解析：因為cose+a)=2sin(〃一習，所以一sina=-2cos%則tana=2.

答案：2

［記結論?提速度］

［記結論］

同角三角函數基本關系式的常用變形

(l)(sina±cosa)2=l±2sinacosa；

(sina4-cosa)24-(sina-cosa)2=2；

(sina+cosa)2-(sina-cos?)2=4sinacosa.

(2)sina=tanacos?^?￥冷+￡江，A^z)；

.2_____sin2a_______tan2a

Smasin2a+cos2atan2?+r

2_____cos.a_________］

cos"sjn2￡e_|_cos2atan2“+r

［提速度］

1.已知tana=-3,則cos?"—sin2"=()

44

-B--

5?5

j.xx>5M.，6,ecoCa-sin2以1-tan2a1-9

解析：選B由同角三角函數關系得cos2"-sin2”=嬴工=忑=中京=市

4

2.若。是△4BC的一個內角，且sinecosG=-：,則sin。一cos〃的值為（）

O

A.一手B.申

C.-當D.半

解析：選D???。是△/［〃。的一個內角，且sinOco$0=-：,

O

.'.sin〃>0,cos〃V0,

yi=坐，故選D

sin”—cos0=7(sin〃一cos2sin“cos1=.

考點理解透規律明變化究其本課堂講練

!型_1___________________.同角三角函數基本關系式的應用

［定向精析突破］

考向1“知一求二”問題

［例1］已知a是第二象限角，且tana=—則sina+cosa的值為.

［解析］由tan“=一得sin〃=—geosa,將其代入siMa+cos2a=1,得學：0$2〃=1,

所以cos2a=4，由a為第二象限角，易知cosavO,所以cosa=一今俱，sin夕

?MCsin?-rcos?=-國5.

［答案1一手

考向2sin”，cosa的齊次式問題

［例?已知i,d〉n：ot3i=一1，求下列各式的值:

sina-3cosa

⑴sina+cosa;

(2)sin2a+sinacosa4-2.

［解］由已知得tana=1.

sina-3cosatana-35

⑴------------=-------=——.

sina4-cosatana+13，

sin2a+sinacosataira+tana

(2)sin2a+sinacosa+2=2

sin%+cos2a2-tana+l

考向3"sina土cosa,sinacosa”之間的關系的應用

［例3］已知x￡(—7i,0),sinx+cosx=1.

⑴求sinx—cosx的值;

sinZx+Zsin2*

⑵求的值.

1-tanx

［解］⑴由sinx+cosx=w，

平方得sin2x+2sinxcosx+cos、=圭,

24

整理得2sinxcosx=一元.

,49

/.(sinx-cosx)2=1-2sin.rcos

由x￡(—TT,0),知sinxvO,

又sinx+cosx>0,

:.cosx>0,I'Jsinx—cosx<0,

7

故sinx-cosx=-g.

sin2x+2sin2；r2sinx(cosx+sinx)

⑵1-tanx——sinx

cosx

2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

24J

25A5_24

一—7-=-175,

5

［規律探求］

考向1是公式的直接應用，即巳知sina,cosa,tana中的一個求另外兩個的

值.解決此類問題時，直接套用公式sin2“+cos2a=l及tana=^即可，但

看(A

個要注意”的范圍，即三角函數值的符號.

性考向2的分式中分子與分母是關于sina,cosa的齊次式，往往轉化為關于tan

〃的式子求解.

考向3是考查sina±cosa與sinacosa的關系.

對于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個式子，利用(sina土cosa"=

l±2sinacosa,可以知一求二

(1)利用sin2a+cos2?=l可實現正弦、余弦的互化，開方時要根據角a所在象限

找

確定符號；利用鬻=tana可以實現角”的弦切互化；利用(sina土cos〃產=

共vOo(A

性l±2sinacosa的關系可實現和積轉化；

(2)注意方程思想與轉化思想的應用

［跟蹤訓練］

1.已知$in（7r+a）=-g,貝!Jtang—a）值為（）

A.2^2B.-2\2

C?乎

D.+2V2

解析：選D因為sin（7t+a）=-g,所以sina=1,cosa=±^^,

故選D.

2.已知sinacosa=g,且:VaV去則cosa—sina的值為（）

A.31

B.

c?-;D-4

3

解析：選D因為sinacosa=?,所以（cosa-sina）2=cos2a—2sinacosa+sin2a=1

—2sinacosa=1_2X^=^,因為gvav],所以cosaVsina,即cosa—sinaVO,即cosa

-sina=-

3.若3sina+cosa=°,則口訐而荔蕊的值為.

解析：V3sina4-cosa=0=>cosa^O^tana=—y

________1____________cos2“+sii12a_____1+lai12tz1+1罰1。

cos2a+2sinacosacos2a+2sinacosa14-2tana.23

1-3

答M案gr10

IMl誘導公式的應用

［師生共研過關］

2sin(7r+a)cos(7r-a)-cos(7t+a)(1+2sina#0),則右鐺

［例4］(1)設/(a)