一輪復習-數列解答題練習

一、數列之等差數列

1.(2020.北京八十中高三月考)已知數列｛4｝是等差數列，S“是｛4｝的前〃項和,

%=8,%=16.

⑴判斷2024是否是數列｛見｝中的項，并說明理由；

(2)求S”的最小值.

2.(2020?北京密云)已知等差數列｛品｝的前〃和為差滿足邑=%.

(1)若％=2,求數列｛%｝的通項公式及前〃項和S.；

(2)若4<0,且S.K%,求"的取值范圍.

3.（2021?北京海淀高三）已知｛為｝是公差為d的無窮等差數列，其前〃項和為S..又

且邑=40,是否存在大于1的正整數h使得，=耳？若存在，求女的值；若

不存在，說明理由.

從①6=4,②d=-2這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.

4.（2019,北京昌平臨川學校高三期中）設數列｛為｝的前〃項和為，，若對于所有的

自然數〃，都有‘=證明｛可｝是等差數列.

5.（2019?北京海淀清華附中高三月考）數列｛4｝的前〃項和記為S,，若數列是

首項為9,公差為-1的等差數處

⑴求數列｛6｝的通項公式；

⑵若d=同,且數列也｝的前也項和記為人求n+兀的值.

6.（2020?北京昌平?高三期末）已知等差數列｛%｝滿足4+2=8,%-生=4

（1）求數列｛凡｝的通項公式及其前〃項和S”；

1QQ

（2）記數列卷的前〃項和為（，若蕓，求〃的最小值.

3“10。

二、數列之等比數列

（2019?北京海淀?高三期中）已知數列｛/｝為各項均為正數的等比數列，5.為其〃前

項和，勺=3，q+〃4=36.

⑴求數列他”｝的通項公式；

（2）若S.V121,求〃的最大值.

2.（2020,北京高三專題練習）已知數列｛〃“｝為等比數列,且4>0,數列也｝滿足

2=1。區4,若4=4,b2=3.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）設數列也+向前八項和為若當且僅當〃=5時，S.取得最大值，求實數〃?

的取值范圍.

3.(2020?北京北師大二附中高三月考)已知等比數列｛4｝的各項均為正數，且

2q+3a2==9a2a6.

(1)求數列｛勺｝的通項公式；

(2)設2=10g34+10g3生+…+嚏3%，求數列｛〃｝的通項公式.

4.(2020?北京市延慶區教委高三)設｛%｝是公比不為1的等比數列，為=4,再從條

件①、條件②這兩個條件中選攔一個作為已知，求：

(1)求的公比;

(2)求數列｛2〃+%｝的前〃項和.

條件①：q為。2，%的等差中項；條件②：設數列的前〃項和為j，S「S、=2,

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

5.(2020?西城?北京鐵路二中)在等差數列｛%｝中，4+4=77,4+%=-23.

(I)求數列｛〃“｝的通項公式；

(II)設數列｛/+2｝是首項為1,公比為夕的等比數列，求｛"｝的前〃項和S..

6.(2013,北京東城?高三期中(文))已知數列｛〃“｝是首項為公比為g=!的等

44

比數列，設2+2=31叫4(〃￡")數列｛qj滿足%=勺。.

4

(1)求證：｛a｝是等差數列；

(2)求數列匕｝的前〃項和S.;

(3)若gK，］/一加一1一切正整數〃恒成立，求實數小的取值范圍.

4

三、數列之差比混合

1.(2020?北京(文))設數列｛d｝是公差不為零的等差數列，其前〃項和為S,^=1,

若a,a,況成等比數列.

⑴求，“及S’;

⑵設“心MN),求數歹跖｝前"項和7

2.(2020?北京中關村中學高三月考)已知公差不為零的等差數列｛(｝滿足：

。+%=20,且%是生與知的等比中項.

(1)求數列｛勺｝的通項公式；

(2)設數列也｝滿足"=」一，求數列也｝的前〃項和S..

3.（2020?北京高三專題練習）已知｛q｝為等比數列，其前〃項和為3,且滿足

生=1,S3=3%+1.｛々｝為等差數列，其前〃項和為「“，如圖____7；的圖象經過

AB兩個點.

圖①圖②圖③

(?)求S“；

（II）若存在正整數〃,使得白>S“，求〃的最小值.從圖①,圖②;，圖③中選擇一

個適當的條件，補充在上面問題中并作答.

4.（2019,北京人大附中高三）已知數列｛%｝是等差數列，且公差d>0,首項4=1,

且。3+1是。2+1與4+2的等比中項.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

2

⑵設a=——，求數列｛"｝的前〃項和S”.

《4+1

5.(2020?北京十四中高三期中)已知等差數列｛/｝和等比數列也｝滿足4=々=1,

a,+?4=10,bjb4=as.

(1)求｛為｝的通項公式；

(2)若4+/+/+…+a”=81,求"；

(3)求和：+b3+b5+--+b2n.l.

6.(2021?北京市第四十三中學高二月考)設｛叫是等差數列，?(=-10,且出+10,

%+8,4+6成等比數列.

(1)求｛為｝的通項公式.

(2)記｛4｝的前〃項和為S”,求S.的最小值.

(3)記｛|。」｝的前〃項和為「，求，的表達式.

四、數列之綜合應用

1.(2019凍城,北京五十五中高三(文))已知數列血｝的前〃項和S.=2〃2_〃,

nwN".

(1)求數列｛q｝的通項公式；

(2)若以=(-1)"凡，求數列他｝的前〃項和二

2.(2021?北京昌平高二期末)記數列何｝的前〃項和為S”，若對于任意的正整數〃,

都有

(1)求，

(2)設2/+2,求證：數列｛2｝是等比數列；

(3)求數列｛凡｝的前〃項和S”.

3.(2021?北京人大附中高三)設等差數列｛為｝的前〃項和為S”，，已知4=1,S$=15.

⑴求｛勺｝的通項公式；

(II)設數列｛4｝的前〃項和為兀從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個

作為已知，使得數列出｝唯一確定，求。.

條件①條件②：7；=為條件③：&=4+4.

n

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

4.(2021,北京門頭溝?高三)已知各項均為正數的數列｛q｝,其前〃項和為S”，數列

也｝為等差數列，滿足力2=%，々=30.再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作

為已知，求解下列問題：

(I)求數列｛&｝的通項公式4和它的前〃項和S.；

(II)若對任意〃eN*不等式幽112d恒成立，求攵的取值范圍.

條件①d+%=25”

條件②4=9,當。2=2,+2

注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個解答計分.

5.（2021?北京海淀?）在①4=3嗎=&,②％=2，%=%一定,③

4=4-2,%=52-3這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的4存

在，求4的最小值；若4不存在，說明理由.

設數列｛%｝為等差數列，S"是數列｛"｝的前〃項和，且__________

4=8也=2/*(〃..2,〃6')記。,=1占~,7；為數列仁｝的前“項和，是否存在實

CtnlO^2^n

數3使得對任意的〃cN.都有7；＜4?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

6.(2017,北京密云?高三月考(文))已知點(1,2)是函數/(%)="的圖象上一點，數列

｛4｝的前〃項和S”=/(?)-1

(1)求數列｛%的通項公式；

(2)若勿=41og"”+l.

①求數列｛4+2｝的前。項和。；

11

求證--<K<-

②設數列的前〃項和為K”,5"4

五、數列之壓軸大題

1.(2020?北京市第一六一中學)已知數列｛4｝的首項其中〃三N.

%=.甘&為3的倍數，，令集合A=｛X|X=%〃=1,2,3,…｝.

an+1,為不為3的倍數.

(1)若a=4,寫出集合A中的所有的元素；

(2)若〃42020,且數列｛/｝中恰好存在連續的7項構成等比數列，求。的所有可能

取值構成的集合；

(3)求證：leA.

2.(2021?北京人大附中高三月考)已知項數為上伐eV,々之3)的數列｛/｝滿足

0切<4<...<%若對任意的入刀金，4),為+《與。廠4至少有一個是數列｛為｝

中的項，則稱數列｛《｝具有性質P.

(I)判斷數列0,2,4.8是否具有性質只并說明理由；

(II)設項數為10的數列｛〃“｝具有性質P,%=36,求4+%+…+%+即?；

(III)若數列｛〃”｝具有性質P,且不是等差數列，求k.

3.(2021?北京懷柔高三)定義滿足以下兩個性質的有窮數列4,生必，…，。“為

〃(〃=3,4,…)階"期待數列"：①4+向+%+L+%=0；②同+國+|%|+L+同=1.

(1)若等比數列｛4｝為4階“期待數列"，求｛4｝的公比；

(2)若等差數列㈤｝是2Z+1階"期待數列"(〃=1,2,3,…,2&+1.4是正整數，求｛%｝

的通項公式；

(3)記兼階“期待數列”｛4｝的前。項和為5”(〃=1,2,3一?,2匕々是不小于2的整

數)，求證：|S*星.

4.(2021?北京順義)已知｛叫是無窮數列.給出兩個性質：①對于㈤｝中任意兩項

4嗎(，＞/),在｛q｝中都存在一項勾，使得羽-%=4；②對于｛q｝中任意項

a式幾.3),在｛4｝中都存在兩項《嗎(左＞/),使得=2%-4.

(1)若%=2"(〃=1,2,…)，判斷數列｛q｝是否滿足性質①，說明理由；

(2)若/=〃(〃=1,2,…)，判斷數列｛4｝是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；

(3)若｛q｝是遞增數列，4=0,且同時滿足性質①和性質②I證明：｛4｝為等差數

列.

5.(2021?北京昌平)已知數列｛《｝,從中選取第匕項、第&項、…、第)項

a</2<???<(?),若4〈限<…〈氣，則稱新數列4為｛%｝的長度為加的遞

增子歹IJ.規定：數列｛4｝的任意一項都是｛q｝的長度為1的遞增子列.

(I)寫出數列9,2,6,7,3,5,8的一個長度為4的遞增子列；

(II)設數列｛?,｝，4=加釉14.若數列｛q｝的長度為。的遞增子列中，任意三項均

不構成等差數列，求夕的最大值；

(III)設數列｛《,｝為等比數列，公比為q項數為MN..3).判定數列｛%｝是否存在長

度為3的遞增子列：1,16,81?若存在，求出/V的最小值；若不存在，說明理由.

參考答案

一、數列之等差數列

1?(1)2024是數列｛為｝中的項，且是第512項；(2)-60

【分析】

⑴結合等差數列的性質可求公差人然后可求通項公式，結合通項公式即可判斷；

(2)求出等差數列q=-20,進而利用數列求和公式以及二次函數的性質求出最小值.

【詳解】

解：⑴設等差數列的公差為"，則%=%+2d=8+2d=16,即d=4.

故a”=4+(〃—8)d=8+4(〃-8)=4〃—24,

令4〃-24=2()24,解得〃=512.

故2024是數列｛4｝中的項，且是第512項.

⑵由+7d=q+7x4=8可得q=-20,

S.=史當3]=2322"=2(”果1覆—)

故當〃=5或〃=6時，5”取最小值，最小值為~60.

2

2.(1)品=-20+8,(/7=1,2,3,??),Sn=-n+ln；(2)1W/?W8,氾".

【分析】

(1)由得到4=-3",再由2二2,求得a,d即可.

(2)根據3<0,ai=-3d,得到冷0,由S“K%,轉化為-9"+8W0求解.

【詳解】

(1)設等差數列｛a｝的公差為d.

*?,S7=a4,

r7x6.c,

7q+———4=4+3d,

/.4=-3d,

,?**2,

?.?a+2/2,

解得a二6,4-2,

an=ai+(n-l)d=-2n+8,(n=l,2,3,???),

0n(n-\)，/2r

=叫H----------a=ow-n{zn-1)=-n"+In.

(2)vai<0,由S=a,可知a=-3acf>Ot

Sn<an,

-3nd+〃"；Dd<-3d+(〃-l)d,

丁d>0,

,_3〃+曲2_3+(〃_1),

2

v/72-9/7+8<0,解得1W/7矣8.

?.?"的取信范圍1近。於8.nWN.

3.見解析

【分析】

選①4=4時，根據求和公式得出d=2,再由求和公式得出公+3Z=4,求解即可得出結

論；

選②d=-2時，根據求和公式得出％=12,進而得出品=-公+]33解方程

-r+13攵=12,即可得出結論；

【詳解】

選①q=4

???{q}是等差數列

cn(n-\),

「?Sn=叫十---d

?/o,=4,S5=40

5s=20+10J=40

?'.d=2

v5,=k2+3k,3=4=4

,：Sk=S]

k2+3k=4

u-1)(A:+4)=0

&=1或&=T(舍去)

???不存在攵>1,使得&=E

選②d=-2

???｛q｝是等差數列

.,n(n-\)

??S”=解+---d

■d=-2,S5=40

0t=12

..S*=-42+13%,E=4=12

st=Si

-k2+13k=n

(12)("1)=0

??4=1或4=12

vit=12>l

???存在Z>1,使得&=$

4.證明見解析

【分析】

方法一是用數學歸納法，因為只要能證明｛4｝的通項公式滿足等差數列的通項公式

a.=q+(〃-l)d(〃eN),問題就可得證，這顯然是與自然序號〃有關的命題，故可以選擇

數學歸納法；

方法二是數列用定義證明，即證明%=，〃(常數)，利用已知前〃項和

%+Q首先利用q=S,-S”T表示出勺，然后可以計算4-4T=〃2證明之.

2

【詳解】

法一：

令4=4-?|.

下面用數學歸納法證明4,=q+a-l”(〃eN).

(1)當〃=1時上述等式為恒等式4=4.

當〃=2時，q+(2-a)d=q+(/-4)=々，等式成立.

(2)假設當〃=2(222)時命題成立，4=4+(&-l)d.由題設，有

)(4譽),化嗎1f媼，又1.產工

22

把4=4+伏-l)d代入上式，得

化+1)(4+6+J=2M+A(k-l)d+2aa.

整理得("1)%=(01)4+M左一l)d.

'：k>2,4+[=%+〃.即當〃=Z+1時等式成立.

由(1)和(2),等式對所有的自然數/?成立，從而｛〃“｝是等差數列

法二：

當〃之2時，由題設，S"=〃”《).

所以…』=心"R3

同理有*=(〃+嗎+*)-國產I

從而,%=(〃+、+%)一心…)+(〃-嗎+%),

整理得4+|-an=an-%=%-4

從而｛%｝是等差數列.

5.(l)an=-2n+\\；(2)149.

【分析】

(1)運用等差數列的通項公式可得S”，再由數列的遞推式，可得所求通項公式；

(2)求得以=|%|=|1]-2〃],討論當啜h5時，幾.6時結合等差數列的求和公式，可得所求

和.

【詳解】

解：(1)?.?數列{}:是首項為9,公差為T的等差數歹II,

..2=9+(〃-1*(-1)=10-〃，即S,=-/+]0〃①

n

時,Si=T"?+W("l),②

①一②可得%=S“-S.T=-2〃+11,

又當〃=1時，q=S=9,滿足上式，

/.an=-2n+11；

(2)由題意，-2q1由1-2〃|,

當掇山5時，北=4+?+-+/=《9+!；=―"2+10”;

XnJ.Tcv(77—5)(1+2/Z-11)2.cn

九.6時，(=25+---------------=n-Ii0nn+50.

.工+幾=24+125=149.

2

6.(1)4=2〃，Sn=n+n；(2)KX).

【分析】

(1)設等差數列｛〃.｝的公差為小根據題意可得出關于4、d的值，進而可求得等差數列

｛〃”｝的通項公式及其前〃項和S.，

11|go

(2)求得不=——利用裂項相消法可求得，，然后解不等式即可求得滿

足條件的正整數〃的最小值.

【詳解】

(1)設等差數列｛叫的公差為4.依題意有仁二二2：：""，解得｛,I；，

所以4=4+(〃-1)"=2〃，=+〃；

(2)由0)得￡=±4+

所以(=三+三+,

9999

因為D而’即麗所以〃>99?

又所以〃的最小值為100.

【點睛】

二、數列之等比數列

1.⑴4=卡；⑵4

【分析】

(1)設等比數列｛〃”｝的公比為七由出=3嗎+4=36,可得，a”：'即可求出

axq+aq=36.

結果.

(2)S?=—<121,即可得出結論.

3-1

【詳解】

解:⑴在等比數列｛4｝中，設｛為｝公比為9.

因為。2=3,。3+4=36

所以之「3，

[4夕+%q=36.

所以%+3^2=36.即q2+q-\2=Q.

貝必=3或4=-4.

因為>0,

所以4>0,

所以4=3.

因為4=44=3,

所以4=1.

所以數列｛q｝的通項公式勺==3””

⑵在等比數列｛凡｝中，

因為S"="'(]：').?I)

所以邑=1=1(3"-1)

"1-32V)

因為S”<121,

所以S.=g(3”—1)〈⑵.

所以3"<243.

所以〃v5.

因為〃GN”.

所以〃44.即〃的最大值為4.

2.(1)??=25-";(2)(0,1)

【分析】

(1)根據4=4,4=3,得到q和的的值，從而得到公比9,寫出/的通項；

(2)由⑴得到力的通項，根據〃=5,也+帆｝的前〃項和S”取得最大值，得到

七從而解得，〃的范圍

【詳解】

(1)由題意，設等比數列｛%｝的公比為9,則

4=log2《=4,即4=2"=16.

b2=log24=3,即。2=2^=8.

a,81

??==布=5?

??數列｛4｝的通項公式為^=16.|0

25丁weNV

5

(2)由(1)知，^=log22--=5-?.

故"+m=5-n+in.

」?數列也+時是等差數列.

???當且僅當h=5時,數列圾+刊的前〃項和S”取得最大值,

.?1仄+八機＞。0’即5-5+/n>0

5-6+/??<0

解得0<〃Z<1

?.?實數"的取值范圍是(0,1).

3.(1)%="；(2)一美D

【分析】

(1)設數列｛《,｝的公比為q,利用等比數列的性質求出公比，再由基本量運算求出首項,

進而可得數列｛4｝的通項公式；

(2)利用等差數列的求和公式計算即可.

【詳解】

(1)設數列｛凡｝的公比為q.

由d=9%%得片=9。；,

所以夕￡.

由條件可知4>0,故“=：?

由2q+3/=1得2al+3axq=1,

所以q=g.

故數列｛q｝的通項式為例事

(2)bn=log5a.+log,a.+???+log,an=-(l+2+---+n)

4.條件性選擇見解析，⑴-2；(2)〃(〃+1)+話空

【分析】

(1)選①，化簡24=生+。3即得解；選②，化簡*=2即得解；

(2)利用分組求和解答即可得解.

【詳解】

解：選①(1)因為4為電、4的等差中項，

所以=生+生

所以2%=44+。闖2,

因為。尸。

所以2=4+g

所以g=-2,q=\(舍)

選②(1)囚為$3-5]=2,所以％十%十%一卬=。2十%=2,

因為4=4,所以。2=-2,所以,="二-2

a?

(2)由題得等比數列｛4｝的首項《=4=J=1,

q4

所以4=(-2尸，

設數列｛2〃+為｝的前〃項和為S”，

因為數列｛2〃｝是以2為首項，2為公差的等差數列，

而ec(2+2〃)〃」(1一(一2)")

所以S.=-^+下五丁'

=〃(向)+一.

5.(1)勺=-3〃+2；(||)當夕=1時，5“=醴丁)+〃=即產;

當夕工]時，S.=呷2+了.

21-q

【分析】

(I)由題意可得數列的公差〃=-3,首項4=-1,則其通項公式為4=-3〃+2;

(11)由題意結合(1)的結論有包=3〃-2+夕”7,分組求和并討論可得：當夕=1,4Hl時得

解.

【詳解】

(I)設等差數列｛勺｝的公差是d.

依題意a2+a7-(aA+a6)=2d=-6,從而4=一3.

所以q+/=2q+5d=-17,解得4=-1.

所以數列｛&｝的通項公式為勺=-3〃+2.

(II)由數列｛〃"+”｝是首項為1,公比為9的等比數列，

n

得an+bn=q~',即一3〃+2+勿=q"T,

所以"=3計2+礦1.

2

所以S?=[1+4+7+...+(3W-2)]+(1+<7+^+...+^')

n(3n-1)-?-K

―--+Z(1+。+才+…+夕).

H(3M-1)3n2+n.

從而當4=1時，S"=-----------+〃=----------t

22

當4工1時，5,=吟工+了

21-</

6.⑴見解析(2)5.=|-彗金*(；]”(〃￡川)(3)〃匹—1或讓5

【分析】

（1）計算得到（bn=3n-2,得到答案.

（2）c.=（3〃-2）x（；J,根據錯位相減法計算得到答案.

I

⑶c"+1-c”=9(l’確定當Q時數列單調遞減，得到數列的最大值為「解

不等式得到答案.

【詳解】

1

（1）由題意知：annGN*),+2=310gbn=3n-2.

乂4廣

?."向一”=3,???數列也｝是首項4=1,公差d=3的等差數列.

(2)cn=(3?-2)x

???S”=1X；+4X(￡]+7X(；)+…+(3-5)X(￡|+(3〃_2)X&)

G）+44）+7[&）+…+（3叱5）」田+（3〃一2哨

-S=lx

4”n

3I(J+G)+…+8-(3”2唱

兩式相減得a="3

=9（3〃+2）心）…廣宗等心）（"N）

⑶<%+「c”=(3〃+l)(；)-(3〃一

???當〃=1時，<?2=q=,

當心2時‘。…,即…?當〃=1時，G取最大值是?

n

又7-m-\對一切正整數?恒成立，...一機-m-\>-,

即nr-4m-5N0得機4-1或切25.

三、數列之差比混合

1?(1)a=2n-tS=n2；(2)7=

nn"4(W+I)-

【分析】

(1)設等差數列(4)的公差為d,根據九的冷成等比數列，求出％即得解；

(2)bn=—-=,裂項法求和，即得解

《+1-14〃2+4〃

【詳解】

(1)設等差數列｛%｝的公差為小由已知可得4工0

若a,出,法成等比數列，故卬%=婚，因為a=1

故l+4d=(l+d)2「.d2=2d,又dwO

.\d=2

此時生=3,6=9,滿足國加8成等比數列

an=at+(n—V)d=2n-\

_+a)n_(\+2n-\)n_

3..=------n-=---------=n2

”22

⑵由⑴知，an=2n-1

4"+4〃4n〃+1

.-.7；,=-(!--)+-(---)+...+-(------)=-(1-----)=-----

“424234nn+\4〃+14“+4

2.(1)；(2)，=二

【分析】

(1)根據等差數列的通項公式列方程組，求出首項和公差即可得出通項公式；

(2)利用裂項相消法求和.

【詳解】

(1)設等差數列｛&｝的公差為a

?.?%+%=20,且4是生與陽的等比中項，

2q+9d=20

???[(4+4/(q+d)(q+13d)‘解得％4d=2

a”=I+2(n-1)=2n-1.

(2)由⑴得《,=2〃一1

.」“==ip---q,

"(2n-l)(2/1+l)2Un-12w+lJ

?????bn

2/2+1

3.(1)S“=8-23-"；(II)答案不唯一，詳見解析.

【分析】

(I)設數列｛4｝的為公比為4,由條件可得6=2%,^2=1,由此可求；

(II)由圖判斷數列｛〃｝的單調性，以確定是否滿足存在“存在〃，使得”>SJ,再根

據等差數列的通項公式求出"，再代值檢驗求出滿足條件的〃.

【詳解】

解：(I)設｛q｝為公比為9的等比數列，

由4=1,53=3a2+1,得4=2生，即0=年=3，a/、1,

4=；，4=4,

(II)由圖①知：1=4=1,7>-3,可判斷1<0,數列｛4｝是遞減數列；

而數列版-2w｝遞增,由于仇<￡,

???選擇①不滿足“存在〃，使得力.>S.”；

由圖②知：北=4=1,1=6,可判斷d>0,數列低｝是遞增數列；

由圖③知：Z=a=-3,(=0,可判斷d>0,數列出｝是遞增數列.

???選擇②③均可能滿足“存在〃，使得々〉S」.

第一種情況：

如果選擇條件②即4=4=1,n=6,可得：d=l,bn=n,

當〃=1,2,3,4,5,6,7時，4>S“不成立,

當〃=8時，4=8,§8=8-23-8<%,

?.?使得以〉S”成立的〃的最小值為8；

第二種情況：

如果選擇條件③即(=4=-3,4=0,可得：1=3,bn=3n-6,

當〃=1,2,3,4時，">S”不成立，

35

當〃=5時，4=9,S5=8-2-<Z>51

?.?使得”>S”成立的〃的最小值為5.

4.(1)^=2n-l;(2)J=總.

2/?+1

【分析】

(1)由等差數列的通項公式寫出4，6，%，由等比中項的定義列式可求得d,從而得4；

(2)用裂項相消法計算數列｛"｝的前〃項和.

【詳解】

(1)由題意可知：刈=1+4a=l+2d,a=l+3d

,品+1是a+1與國+2的等比中項，

(a+1)2=3+1)(a+2),即(2+2M2=(2+中(3+36,

化簡得：/-d-2=0,解得：/-1或2,

又公差d>0,所以d=2

故a”=l+2(n-1)=2/7-1.

2

(2)-ao=2n-l,品.產2〃+1,(2n-|)(2/z+l)=2^i~2^7i1

二.Sn=hx+&+伉+?一+2

)

2n-\2〃+l

3"-I

5.(1)a=2n-\;(2)〃=9；(3)

n2

【分析】

(1)利用％=1./+q=10,求得數列出｝的公差，從而求得｛為｝的通項公式；

(2)利用等差數列求和公式即可求得.

⑶利用打“=%，%=9,求得母=9,由等比數列性質知2=3,即q2=3,知數列

｛氏才是首項為L公比為3的等比數列，利用等比數列求和公式即可求得.

【詳解】

(1)設等差數列｛勺｝的公差為小由題可得：

%+。4=2%=5.又6=1,解得，_；，

:.an=a｝+[n-\)d=2n-l

(2)利用等差數列求和可知《+%+%+…+4=型土|匕D=〃：

即〃2=81,解得：〃=9或〃=一9(舍去)

.,.72=9

(3)設等比數列也｝的公比為/又她=爐,能=9,

即42=9,又U=bd=q2>(),解得：4=3或4=-3(舍去)

即42=3,所以數列｛Hi｝是首項為L公比為3的等比數列

1X(1-3")3"-1

??4+力3+4+〃?+%

,、--，、，、e1\n-n2,n<5

6.(1)=2?-12;(2)-30；(3)(=2r①、二

一11〃+60,〃26

【分析】

(1)利用等差數列的通項公式以及等比數列的性質列方程求出｛《,｝的公差即可求解；

(2)由等差數列的求和公式求出S”，再利用二次函數的性質即可求解；

(3)討論當"45時，同=一%，(=-S"；當〃之6時，=1=S”一2S$,寫成分段

的形式即可.

【詳解】

(1)設｛%｝的公差為d,因為%+10,%+8,。4+6成等比數列，

所以(6+8)2=(々+10)(%+6),即(-10+24+8)2=(-10+1+10)(-10+34+6),

所以(2d-2)2=4(34-4),所以d2—4d+4=0,解得：4=2,

所以%=-10+(n-l)x2=2n-12,

(2)由(1)知：〃“=2〃一12,所以

所以當〃=5或〃=6時，，=〃2-11〃取得最小值為52-1以5=-30；

(3)當〃￡5時，an=2n-n<Q,此時間=-4,

%=同+同+—+同=一(4+4+—+4)=-5”=11〃一〃2,

當〃N6時，an=2n-12>0,此時|4|=4,

Tn=|4+聞+…+|%|+|%|+|%|+…+|。」=一(4+4+???+%)+%+%4■…+4

222

=-S5+S?-55=Sn-2S5=w-1ln-2(5-11x5)=n-11/1+60,

1\n-r?n<5

綜上所述：〈=<y

n2-ll/i+60,?>6

四、數列之綜合應用

2〃,〃為偶數

1.(1)4=4〃-3,(2)T=\

n-2〃+1,〃為奇數

【分析】

(1)由%=S.-S.T5N2)及q=耳可求得;

(2)用分類討論，并用并項求和法計算.

【詳解】

(1)*S?=2n2-n,

當〃之2時，an=S”-S,i=2〃2_〃一=,

當〃=1時，4=，=1,而4x1-3=1,

所以數列｛q｝的通項公式，”=4〃-3,nW

(2)由⑴可得〃=(T)Z=(T)"(4”3).

當〃為偶數時，7；=-1+5-9+13-17+..?+(4n-3)=4x^=2n,

當〃為奇數時，〃+1為偶數，7＞二「也川=25+1)-(4〃+1)=-2〃+1

2〃,〃為偶數

綜上，T=<

n-2〃+1,〃為奇數

n+l

2.(1)4=4,4=16；(2)證明見解析；(3)Sn=3-2n-3.

【分析】

(1)直接利用數列的遞推關系式和賦值法的應用求出結果；

(2)利用遞推關系式的應用求出數列為等比數列；

(3)利用(2)的結論，進一步利用分組法的應用求出數列的和.

【詳解】

(1)數列｛凡｝的前〃項和為3,若對于任意的正整數〃，都有—2〃.

當〃=1時，解得4=4,

3

當〃=2時，S2=?(+?2=-a2-4,解得“2=16.

⑵由于s〃=54-2〃①，

當兒?2時，,7=5--2(〃-1那，

①一②得：an=3an_t+4,

由于2=。+2,

所以勿+i=/+1+2=3%+6,

所以數列｛2｝是以6為首項，3為公比的等比數列；

(3)由(2)得："=6x3”、

故/=〃-2=6x3"T-2,

所以S〃=：a“—2〃=：(6x3"T—2)—2〃=3"X_2〃—3.

3.(1)q=〃，(2)答案見解析.

【分析】

Q)設等差數列｛4｝的公差為d住等差數列的前〃項和可得為,從而得出公式，可得出答

案.

TM1

⑵.若選條件①可得根據包=」,=一可得答案；若條件②可得

區-如〃>1

Tn=2hn-\,由"與7；的遞推關系可得答案；若條件③可得。討-7；=〃，由于4的值未

知，故滿足條件的數列｛"｝不唯一.

【評解】

⑴設等差數列｛〃”｝的公差為d.

由S，=(4+?X5=5則q+6=6,所以6=6—4=5

所以％=4+4d=l+4d=5,所以4=1

所以4=4+(〃一l)d=l+〃-1=〃，所以=〃

(2)若選條件①.則［=2-1=2"-1

當〃=1時，4=T=i

當2時，”=7；,—厚產k―1—(2"T_1)=2"T,當〃=1時也滿足.

所以選條件①使得數列也｝唯一確定，且a=2"”

若選條件②.由(=22-d=20-1

n

當〃=1時，&=2偽-1,得)=1

當〃之2時，由<=22一1,有"孫一1

兩式相減可得：hn=2bn-2hn_x,即hn=2"T

所以也｝是以1為首項，2為公比的等比數列，則女=2小

所以選條件②使得數列也｝唯一確定，且a=2小

若條件③.由1”=<+勺=7；+〃.即

當〃=1時，7；-7；=^=1

當〃=2時，T「T-

由&產〃，但乙值未知，所以滿足條件③的數列也｝不唯一.

4.(1)選①，an=n;Sn=^-^-；選②,S.=/-〃+9

212〃-2,n>2

(II)選①，k26；選②，k>^

【分析】

⑴選①，根據S”與4的關系求出通項公式，再利用等差數列的前〃項和公式即可求解；

選②，利用等差數列的通項公式以及前〃項和公式即可求解.

(II)選①，分離參數可得上之￡=烏，求出烏最大值即可；選②，分離參數可得

n~+nn+\n+\

/；>6/169

K一〃2一〃+9-9「利用基本不等式求出〃+'-］的最小值即可.

nH-------1〃

n

【詳解】

(I)選①，由。；+/=2斗，

則an-\+a?-l=2S=T,〃22,兩式相減可得

/-%-+/_4T=2%

(q+%)(4-g-1)=0，

又為>0,所以凡-6_|-1=。，即

所以數列｛q｝為等差數列，

當〃=1時，6=1,

所以4=4+(H-l)xl=/7,

所以S.=3=j

"22

選②，4=9,當〃22,4=2,〃》|=q+2,

--4=2,所以當“22時，數列｛%｝為等差數列，

所以〃22時，an=a2+(n-2)x2=2n-2,

所以《=[；〃；，

2n-2,n>2

_八(〃-1)(2+2〃-2)

S=9+1——--------L=〃22一〃+9

“2

(II)數列｛4｝為等差數列，瓦=12,白=30,

則公差4=笞^=^^=6,

所以々=偽+(〃-2)乂6=6〃.

若對任意〃cM不等式電之2恒成立，

若5,=^士,貝必之孕-=鳥恒成立，HGN\

所以％26,

k>6〃二6

若S“=〃2-〃+9,貝IJ一〃2一〃+9-9?恒成立，nwN*、

n

I——66

因為〃+2_]N2j〃-2_i=5,所以，9<

nVn〃+一一1

當且僅當〃=3時取等號，所以攵2,

5.選①：4的最小值為3；選②和③：4的最小值為1.

4

【分析】

由題中條件先求數列｛4｝的通項公式和S”再結合選擇的條件，利用等差數列的通項公式

及裂項相消法求解即可.

【詳解】

由勿可知數列也｝是等比數列，且公比4=2,

又力3=8,則。=8?2"-3=2",所以4=2,所以s=2(1-2")=2m_2,

“1-2

2+,

若選①：4=3,a4=S2=2-2=6,

因為數列｛%｝為等差數列，設公差為d,貝心d=&q=3,即d-1,

所以為=3+(〃-1)=〃+2,

故c1_1=lfl__

“anlog2bn〃(〃+2)n+2J'

T=-1-----1--------1----1---------------1-----------=--------1------1-------

"2(324n-l〃+1nn+2)421〃+ln+2)

一

因為北＜3二,所以4之3;，即4的最小值為3:

444

若選②：則生二偽=4,牝=①一4=8-2=6,

因為數列｛q｝為等差數列，設公差為d,又2d=/一七=2,即4=1,

所以4=4+(〃-3)=〃+1,

易知所以4N1,即冗的最小值為1.

若選③：則％%-2=2,出=S2-3=3,

因為數列｛%｝為等差數列，設公差為d,則〃==1

所以a”=2+(〃-l)xl=〃+l,

11

所以（=]_5+5_g+?

n〃+1

易知所以421,即尤的最小值為1.

6.(1)4=2,⑵①<=2=1+2/_〃②答案見解析

【分析】

(1)由題意。=2,利用4=3,〃:、?化簡后即可得解；

IS”-Si，〃22

(2)①由題意，=4〃-3,%+"=2小+4〃-3,利用分組求和即可得解；

②利用裂項相消法可得長“=；(1-7二］,由4〃+lN5可得即可得證.

414n+\J54n+l

【詳解】

(1)把點(1,2)代入函數/(》)="得〃=2,

所以數列｛凡｝的前〃項和為S”=〃〃)-1=2"-1

當〃=1時，q=$=1；

當〃之2時，q=S“一S"T=2"—1一(21-1)=2n-\

nl

對〃=1時也適合，an=2.

⑵①由〃=2,4=2］可得"=4〃-3

???數列｛紜｝是以1為首項，4為公差的等差數列，

故%+“=2"T+4〃-3,

.〃也川（4n-3）（4n+l|44〃-34w+l

Kn=---+---+??-+———.??+--------------------

b\A她帥1x55x99x13（4〃-3）（4〃+1）

4v4〃+1

「?°〈焉0

4n+l>5,<1.

五、數列之壓軸大題

1.(1)4,5,6,2,3,1；(2){36,2x36,36-1,2x36—1,36-2,2x36-2}；(3)