控制工程基礎石志良shizhil998漢理工大學機電學院控制系統都是在時間域內進行工作的。因此，時域分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統輸出量的表達式，從而提供了時間響應的全部信息；時域分析法是分析系統的方法之一，是指在時間域內研究系統在一定輸入信號的作用下，其輸出信號隨時間的變化情況。分析的基礎是確定系統的數學模型。分析系統的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第三章時域分析法系統分析主要是分析系統的穩定性、誤差和動態特性等三方面的性能指標，簡稱分析系統的穩定性、準確性和快速性。Time-domainresponseanalysismethod3.1控制系統的時間響應3.2線性控制系統的穩定性分析3.3控制系統的動態特性分析3.4二階系統的性能指標3.5穩態誤差分析與計算控制系統在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數關系稱為系統的時間響應。描述系統的微分方程的解就是該系統時間響應的數學表達式。一.時間響應的概念第一節控制系統的時間響應一個系統的輸出不僅與輸入有關，還與系統的初始狀態有關。控制系統的時間響應由零狀態響應和零輸入響應組成。零狀態響應：初始狀態為0，僅由輸入引起的響應；零輸入響應：輸入信號為0，而僅由初始狀態引起的響應。時間響應可分為瞬態響應與穩態響應。瞬態響應系統在某一輸入信號的作用下，系統的輸出量從初始狀態到穩定狀態的響應過程稱為瞬態響應。穩態響應在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統的輸出狀態稱為穩態響應。TransientResponseSteady-StateResponse實例設系統微分方程為：即：

若xi(t)=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換對方程右邊進行拉氏變換從而：所以當初始條件為零時：零狀態響應零輸入響應零輸入響應只是對響應項的系數有影響，但不影響響應的性質。決定系統響應性質的是零狀態響應。研究和分析控制系統，主要討論系統響應的性質，即零狀態響應。零狀態響應零輸入響應當初始條件為零時：穩態響應瞬態響應第二節線性控制系統的穩定性分析一．穩定性概念StabilityanalysisofcontrolsystemBasicconceptsofsystemstability控制系統的穩定性是指系統在任何足夠小的初始偏差的作用下，其時間響應隨著時間的推移而逐漸衰減并趨向于零，則該系統是穩定的。如果時間響應是發散的，則該系統是不穩定的。如果時間響應趨于某一恒定值或成為等幅振蕩，則系統處于穩定的邊緣，即臨界穩定狀態。單擺實際系統，應研究穩定性和穩定的程度(穩定性儲備，離開臨界穩定狀態的程度。)如圖(a)所示的系統是穩定的系統。若系統承受的外界擾動終止作用后，系統輸出不能再恢復原先的平衡狀態位置，或發生不衰減的持續振蕩。如圖(b)所示的系統是不穩定系統。控制系統的穩定性是由系統本身的結構所決定的，而與輸入信號的形式無關。純線性系統，系統的穩定與否與初始偏差的大小無關，如果系統穩定，稱為大范圍穩定的系統。線性化的系統穩定性只限于初始偏差不超過某一范圍時的穩定性，成為小范圍穩定性。二．系統穩定的充要條件線性定常系統的微分方程(3-1)Necessaryandsufficientconditionsforsystemtobestable初始條件不為零時N(s)是與初始條件有關的s多項式。由于，穩定性分析是不存在外作用、僅在初始狀態影響下系統的時間響應，也稱零輸入響應。則系統的特征方程為：(3-2)設pi(i=1,2,…,n)為系統的特征根，也即系統傳遞函數的極點，當pi各不相等時，則零輸入響應為：由(3-3)式可知，如果系統所以特征根pi的實部均為負數，即則零輸入響應最終將衰減到零，即系統是穩定的系統。(3-3)反之，如果特征根pi中有一個或多個根具有正的實部，則零輸入響應隨著時間的推移而發散，即系統是不穩定的。特征根中只要有一個是正實根，系統就不穩定；當特征根中的共軛復根具有正實部時，系統不穩定；若特征根中含有共軛虛根，則響應呈等幅振蕩，這時系統出現臨界穩定狀態。由于在實際工作中，系統的參數值往往要發生變化，因此共軛虛根有可能轉變成具有正實部的共軛復根，而使系統不穩定。所以，從控制工程實踐角度看，一般認為臨界穩定屬于系統的實際不不穩定工作狀態。若特征根中有零根，則瞬態分量將趨于某個常值，系統處于臨界穩定狀態。當特征根中沒有零根，沒有共軛虛根，并且所有實根都是負的，共軛復根具有負實部時，響應是指數衰減的，或衰減振蕩的，系統穩定。綜上可見：線性定常系統穩定的必要和充分條件：特征方程的所有根必須是負實數或具有負的實數部分。因為系統的特征根就是系統的極點，故線性定常系統穩定的必要和充分條件就是它的全部極點必須位于復平面的左半部分。由上述分析可以得出如下結論：三.勞思穩定判據判別系統是否穩定，就是要確定系統特征方程根是否全部具有負的實部，或者說特征根是否全部位于[s]平面的左半部分。這樣就面臨著兩種選擇：解特征方程確定特征根，這對于高階系統來說是困難的。討論根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有幾個右根。勞思穩定判據是基于特征方程根的分布與系數間的關系來判別系統的穩定性。無需解特征方程而能迅速判定根的分布情況。這是一種簡單而實用的穩定性判據。RouthStabilityCriterion勞思穩定判據的必要條件

設系統的特征方程式為其中，pi(i=1,2,…,n)為系統的特征根。由根與系數的關系可以求得：要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：特征方程的各項系數特征方程的各項系數的符號都相同。一般取正值，則上述兩條件簡化為——必要條件！特征方程系數的勞思陣列如下：勞思穩定判據的充要條件勞思穩定性判據指出系統穩定的充分條件是：勞思陣列中第一列所有元素的符號均為正號。在上面的勞思陣列中bi、ci、di、ei的計算公式如下：勞思陣列的計算順序是由上兩行組成新的一行。例如由第一行與第二行可組成第三行，在第二行第三行的基礎上產生第四行，這樣計算直到只有零為止。一般情況下可以得到一個n+1行的勞斯陣列。而最后兩行每行只有一個元素。每行計算到出現零元素為止。把a0，a1，b1，c1，…，f1、g1稱為勞思陣列中的第一列元素。勞思穩定判據的充分且必要條件是：特征方程系數所組成的勞斯陣列第一列元素符號一致，則系統穩定。否則系統不穩定。第一列元素符號改變次數就是特征方程中所包含的右根數目(實部為正)。試用勞思判據判別系統的穩定性。解：閉環系統的特征方程式勞思陣列為例

3-1

某一系統的閉環傳遞函數為由于特征方程式的系數以及第一列的所有元素都為正，因而系統是穩定的。例3-2

設單位反饋控制系統的開環傳遞函數為試確定K值的閉環穩定范圍。解：其單位反饋系統的閉環傳遞函數為特征方程式為勞思陣列為由穩定條件得因此K的穩定范圍為例3-3設單位反饋系統的開環傳遞函數為若要求閉環特征方程式的根的實部均小于-1，問K值應取在什么范圍？如果要求根的實部均小于-2，情況又如何？解：系統的特征方程式為令u=s+1得如下u特征方程勞思陣列為所以5/9<K<14/9閉環特征方程式的根的實部均小于-1。由穩定條件知：不論K取何值，都不能使原特征方程的根的實部小于-2。若要求實部小于-2，令u=s+2得如下新的特征方程勞思判據的特殊情況例3-4

設有特征方程為試判斷系統的穩定性。某行的第一列元素為零，而該行其余項不為零的情況此時，在計算下一行的各元素值時將出現無窮大而無法繼續進行計算。為克服這一困難，計算時可用無窮小正數

來代替零元素，然后繼續進行計算。由于第一列有的元素為負值，且第一列的元素符號有兩次變化，表明特征方程在［s］平面的右半平面內有兩個根，該閉環系統是不穩定系統。解：勞思陣列：此時第三行第一列元素為零，用一無限小

代替0，然后計算其余各項，得到勞斯陣列如上，觀察第一列各項數值，當

→0時，則某行全部元素值為零的情況存在兩個符號相異，絕對值相同的實根(系統自由響應發散，系統不穩定)；存在實部符號相異、虛部數值相同的兩對共軛復根(系統自由響應發散，系統不穩定)；存在一對共軛純虛根；(系統自由響應會維持某一頻率的等幅振蕩，系統臨界穩定)；以上幾種根的組合。說明系統的特征方程式的根中存在以下情況：在這種情況下，勞思陣列表將在全為零的一行處中斷，并且此行根的數目總是偶數，為了寫出下面各行，可將該行的上一行的各項組成一個“輔助方程式”。式中s的方次均為偶次降。方程式對s求導，用求導得到的各項系數來代替為零的一行系數，然后繼續按照勞斯陣列表的列寫方法，計算余下各行直至計算完（n+1）行為止。這些大小相等、符號相反的特征根，可由輔助方程得到。例3-5設某一系統的特征方程式為試判斷系統的穩定性。解：特征方程各項系數為正，列出勞思陣列表如下：（各元素除以2后的值）（各元素除以2后的值）取出全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程為將A(s)對s求導得到以上式的系數代替全部為零的一行，然后繼續作出勞思陣列表為（各元素除以4后的值）從勞思陣列表的第一列可以看出，各項并無符號變化，因此特征方程無正根。但因s3行出現全為零的情況，可見必有共軛虛根存在，這可通過求解輔助方程A(s)得到此式的兩對共軛虛根為這兩對根，同時也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統處于臨界狀態，等幅振蕩。解：由已知條件知，系統一定存在一對共軛純虛根s1,2=±j2。由方框圖得，系統的特征方程為例3-6：系統的傳遞函數方框圖如圖所示。試確定K和a取何值時，系統將維持以角頻率

=2s-1的持續振蕩。列出Routh表如下：令，而其輔助方程為顯然，只有Routh表中S行的元素全為0時，該特征方程才會有一對共軛純虛根。解得一對共軛純虛根聯立方程和，解得第三節控制系統的動態特性分析一、典型輸入信號控制系統的動態特性可以通過在輸入信號作用下，系統的瞬態響應來評價的。系統的瞬態響應不僅取決于系統本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關。選取輸入信號應當考慮以下幾個方面，輸入信號應當具有典型性，能夠反映系統工作的大部分實際情況，輸入信號的形式，應當盡可能簡單，便于分析處理，輸入信號能使系統在最惡劣的情況下工作。StepfunctionRampfunctionParabolicfunctionImpulsefunction階躍函數速度函數加速度函數脈沖函數正弦函數典型輸入信號選擇哪種函數作為典型輸入信號，應視不同系統的具體工作情況而定一階系統的時間響應

(3-4)能用一階微分方程描述的系統稱為一階系統。一階系統的典型環節是慣性環節，其傳遞函數為：這種系統可看作積分環節被反饋通道包圍而成。一.一階系統的數學模型Time-domainresponseoffirst-ordersystems圖

一階系統系統在單位階躍信號作用下的輸出稱為單位階躍響應。二.一階慣性環節的單位階躍響應則一階慣性環節在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為：

(3-5)將(3-5)式展開成部分分式，可得(3-6)單位階躍信號的拉氏變換為Unit-stepresponseoffirst-ordersystem對上式進行拉氏反變換得(3-7)上式中的第一項為穩態響應，第二項為瞬態響應。階躍響應曲線如圖所示。T稱為時間常數，它影響到響應的快慢，是一階系統的重要參數。圖

一階慣性環節的單位階躍響應A′1.在響應曲線上，找到穩態值的63.2%的A點，并向時間軸t作垂線，與其交點值，即為時間常數T。2.由t=0那一點O(即原點)作響應曲線的切線，與穩態值交于A′點。由A′點向時間軸t作垂線，與其交點值即為時間常數T。此種方法可由下式得到證明。(3-8)時間常數T可通過響應曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-8)式即為斜率值，由

OA′T即可知上述求時間常數的求法是正確的。特點：(1)穩定，無振蕩；(2)經過時間T曲線上升到0.632的高度；(3)當t=3T時間時，響應已達到穩態值的95%，當t=4T時，達到98.2%。在工程上可以認為其瞬態響應過程基本結束，系統進入穩態過程，可見，時間常數T反映了一階慣性環節的固有特性，其值越小，系統慣性越小，響應越快。(4)在t=0處，響應曲線的切線斜率為1/T；(5)據此鑒別系統是否為一階慣性環節。常數三．一階慣性環節的單位速度響應單位速度信號的拉氏變換為可得輸出信號拉氏變換為展開成部分分式(3-9)取(3-9)式的拉氏反變換，可得Unit-rampresponseoffirst-ordersystem系統在單位速度信號作用下的輸出稱為單位速度響應。其響應曲線如圖所示，是一條單調上升的指數曲線。一階慣性環節在單位速度輸入時的誤差為：當t→∞時，，因而e(∞)=T。說明：一階慣性環節在單位速度信號作用下的穩態誤差為時間常數T。顯然，時間常數T越小，其穩態誤差越小。圖

一階慣性環節的單位階躍響應四.一階慣性環節的單位脈沖響應單位脈沖函數的拉氏變換為輸出的拉式變換為(3-10)取其拉氏反變換得輸出響應為(3-11)時間響應曲線如圖所示，是一條單調下降的指數曲線。Unit-impulseresponseoffirst-ordersystem圖

一階慣性環節的單位脈沖響應兩點注意：當輸入信號不為單位值時，輸入信號的拉氏變換分別為：階躍輸入速度輸入脈沖輸入對應于不同輸入時的響應分別為階躍輸入速度輸入脈沖輸入當輸入信號為單位值時，但如果一階系統的傳遞函數的形式為此時，對應于單位輸入信號時，其輸出響應分別為：階躍輸入速度輸入脈沖輸入例3-7兩個系統的傳遞函數分別為試比較兩個系統響應的快慢。系統1系統2解：系統響應的快慢主要指標是調整時間的大小，一階系統的調整時間是由時間常數T決定的。系統1的時間常數系統2的時間常數由于T1<T2，因此系統1的響應速度快。達到穩態值的時間，如以±2％來算，系統1的調整時間t1s=4T1=8(s),而系統2的調整時間為t2s=4T2=24(s)，因此系統1比系統2快3倍。例3-8某一系統單位階躍響應曲線如下圖所示，試寫出其傳遞函數。解：在響應曲線上，找到穩態值（此值為10）的63.2％（即6.32）點，此點所對應的時間為0.1(s），即為時間常數，而傳遞函數的增益k值，可由輸出的穩態值10與輸入的階躍值１的比值得到，即(1/s)因此，系統的傳遞函數為線性定常系統時間響應的性質單位階躍響應是單位速度響應的導數單位脈沖響應是單位階躍響應的導數三種典型輸入信號及響應的關系三種響應關系輸出輸入三種輸入關系系統對輸入信號導數的響應，等于系統對該輸入信號響應的導數。系統對于輸入信號積分的響應，等于系統對該輸入信號響應的積分，積分時間常數(是指為不定積分的情況)則由零輸出的初始條件確定。線性定常系統的重要性質適用于任何線性定常系統，但不適用于線性時變系統和非線性系統。例3-9

已知控制系統的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統的單位脈沖響應g(t)和單位階躍響應h(t)，并討論二者的關系。解：由傳遞函數的定義和系統的微分方程，可得系統的傳遞函數為系統的單位脈沖響應為系統的單位階躍響應為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結論：系統對某種輸入（單位階躍）的導數（單位脈沖）的響應等于系統對該輸入的響應（h(t)）的導數（）；系統對某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應等于系統對該輸入的響應（g(t)）的積分（）。一個系統能用二階微分方程描述或是系統的傳遞函數分母多項式s的最高冪次為2的系統，稱為二階系統。無論哪一種物理形式的二階系統，最后傳遞函數都可以變為下述的標準形式二階系統的時間響應一、二階系統的數學模型(3-12)式中

為阻尼比、

n為無阻尼自然頻率(rad/s)，二階系統的時間響應的性能完全由

與

n確定，因此，

與

n為二階系統的重要參量。Time-domainresponseofsecond-ordersystems當輸入為單位階躍信號時，

代入到(3-12)式可得到二、二階系統的單位階躍響應(3-13)對上式進行拉氏反變換，可得二階系統的單位階躍響應。從式(3-12)可求得二階系統的特征方程(3-14)它的兩個根，即為二階系統的閉環極點：

(3-15)Unit-stepresponseofsecond-ordersystem對式(3-13)進行分解得

下面分別對二階系統在

=1，

>1，

=0，

<

0以及0<

<1五種情況下的瞬態響應進行討論，假設初始狀態為零。

重根時，

=1，s1,2=－

n臨界阻尼情況(3-16)式變為：（3-16）（3-17）criticallydamped

對上式進行分部分式，可得對(3-18)式拉氏反變換，得到(3-18)(3-19)響應曲線為一指數曲線形式。它單調上升、無超調、無振蕩、無穩態誤差。兩個不等的負實根時，

>1，過阻尼情況(3-16)式可以寫成部分分式為(3-20)over-damped求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統包含兩類瞬態衰減分量，響應為指數函數曲線形式。單調上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩態誤差。一對共軛復根時，0<

<1，欠阻尼情況

由于

<1，(3-12)式得s1,2=－

n±j

d

，式中，稱為阻尼自然頻率(rad/s)

這時，采用部分分式法，式（3-16）變為

(3-22)under-damped上式的拉氏反變換為(3-23)無穩態誤差；呈現衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率

d

；其振幅衰減的快慢由

和

n決定；振蕩幅值隨

減小而加大。頻率

n和

d的物理意義：

n是無阻尼(

=0)時二階系統等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼(0<

<1)時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/

d稱為阻尼振蕩周期。顯然

d<

n

,且隨著

的增大，

d的值相應地減小。y(t)=1-cos

nt(t≥0)(3-24)s1,2=±j

n，將

=0代入式(3-15)可得一對復根時，

=0，零阻尼情況

二階系統在無阻尼時瞬態響應是等幅振蕩，振蕩頻率為

n

。穩定邊界zero-damped一對正實部虛根時，

<0，負阻尼情況

極點實部大于零，響應發散，系統不穩定negative-damped二階系統的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應發散，系統不穩定；

=0時，出現等幅振蕩；

0<

<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快；

≥1時，無振蕩、無超調，過渡過程長。

一定時，

n越大，瞬態響應分量衰減越迅速，響應的快速性越好。工程中通常采用欠阻尼系統，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統的快速性同時又不至于產生過大的振蕩。幾點結論：三、二階系統的單位速度響應（3-25）按前面分析單位階躍響應的同樣方法，可以得到一個隨動系統，其輸入端以一個連續等速信號給定時，其響應就屬速度響應。當輸入單位速度信號時，0<

<1速度響應為

（3-26）Unit-rampresponseofsecond-ordersystem

>1速度響應為

(3-28)

=1速度響應為

(3-27)四.二階系統的單位脈沖響應當輸入單位脈沖信號時，X(s)=1(3-29)0<

<1，脈沖響應為

(3-30)

=1，脈沖響應為

(3-31)Unit-impulseresponseofsecond-ordersystems

>1脈沖響應為

(3-32)表3-1阻尼比與極點的關系阻尼比

極點

極點特征

兩個不同的實數極點

兩個相同的實數極點

兩個共軛的復數極點

位于虛軸上的共軛極點

兩個共軛的復數極點

五.二階系統階躍響應與極點的關系表3-2極點與階躍響應的關系阻尼比

極

點

極點在s平面的位置

階躍響應形式

>1

=10<

<1

=0

<0第四節

二階系統的性能指標時域分析性能指標是以系統對單位階躍輸入的瞬態響應形式給出的。一.控制系統的時域性能指標上升時間tr

RiseTime響應曲線從零時刻首次到達穩態值的時間，或從穩態值的10%上升到穩態值的90％所需的時間。峰值時間tp響應曲線從零時刻上升到第一個峰值點所需要的時間。PeakTime最大百分比超調量Mp%響應曲線的最大峰值與穩態值的差與穩態值之比；單位階躍輸入時，即是響應曲線的最大峰值與穩態值的差。通常用百分數表示。MaximumOvershoot調整時間ts響應曲線達到并一直保持在允許誤差范圍內的最短時間。Settlingtime振蕩次數N在調整時間ts內響應曲線振蕩的次數。OscillationNumber二階系統的特征參量阻尼比

和無阻尼自然頻率

n對其瞬態響應具有重要的影響。下面進一步分析

和

n與瞬態響應指標的關系，以便指出設計和調整二階系統的方向，除了那些不允許產生振蕩的控制系統外，通常允許控制系統具有適度的振動特性，以求能有較短的調整時間。因此，系統經常工作在欠阻尼狀態。二階系統，當0<

<1時，推導瞬態響應各項特征指標的計算公式。二.二階系統的時域性能指標計算1.上升時間tr

根據式(3-23)，令y(t)=1，即可得上升時間tr，即(3-33)由于≠0，為使式(3-33)成立，必須即(3-34)一定時，越大，越小一定時，越大，越大有上式可見：令上式為零，整理可得即

d

tp=n

(n=0，1

，2，.......k)因為峰值時間對應于第一次峰值超調量，所以（3-35）因阻尼振蕩周期Td=2

/

d,故峰值時間tp等于阻尼振蕩頻率周期的一半。從式(3-35)可以看出，當

一定時，

n越大，tp越小，反應越快，當

n一定時，

越小，tp也越小。2.峰值時間tp

根據(3-23)式，將y(t)對時間求導，并令其等于零，可求得峰值時間tp即3.最大百分比超調量Mp%最大百分比超調量發生在峰值時間tp處，所以按定義由圖3-13可知上式表明，最大百分比超調量Mp%只是阻尼比

的函數，而與無阻尼自然頻率

n無關，

越小，Mp%越大，當

=0時，Mp%=100%，而當增大到

=1時，Mp%=0。所以因此(3-36)

僅與阻尼比有關，最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。越大，

越小，系統的平穩性越好當時，可以求得相應的Mp%與

的關系常以曲線形式給出二階系統Mp%與

的關系4.調整時間ts為確定調整時間ts簡單起見，常用二階系統單位階躍響應的包絡線代替響應曲線。二階系統單位階躍響應的包絡線當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。因此利用：可以求得：有上式求得的ts通常偏保守由此可見，當

一定時，

n越大，ts就小，即系統的響應速度就越大。當

n一定時，以

為自變量，對ts求極值，可得當

=0.707時，ts為極小值，即系統的響應速度最快；當

<0.707時，越小，ts越大；當

>0.707時，越大，ts越大。5.振蕩周期Td及振蕩次數N或而振蕩次數為當時當時將二階系統的特征參量

、

n與瞬態響應各項指標間的關系歸納如下：(1)二階系統的瞬態響應特性由系統的阻尼比

和無阻尼自然頻率

n共同決定，欲使二階系統具有滿意的瞬態響應性能指標，必須綜合考慮

和

n的影響，選取合適的

和

n

。影響單位階躍響應各項性能指標的是二階系統的阻尼比

和無阻尼自然頻率

n這兩個重要參數。(2)若保持

不變而增大

n，對超調量Mp無影響，可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調整時間ts，既可以提高系統的快速性。所以增大系統的無阻尼自然頻率

n對提高系統性能是有利的。(3)若保持

n不變而增大

值，則會使最大百分比超調量Mp%減小，增加相對穩定性，減弱系統的振蕩性能。在

<0.7時，隨著

的增大，Mp%減小；而在

>0.7時，隨著

的增大，tr、ts均增大。系統的快速性變差。(4)綜合考慮系統的相對穩定性和快速性，通常取

=0.4~0.8，這時系統的最大百分比超調量Mp%在25%到2.5%之間。若

<0.4，系統超調嚴重，相對穩定性差；若

>0.8，則系統反應遲鈍，靈敏性差。當

=0.707時，超調量Mp%和調整時間均ts較小，故稱

=0.707為最佳阻尼比。例3-10某一位置隨動系統的方塊圖如下圖所示，當輸入為單位階躍信號時，試計算k=200時的性能指標，當k減小到13.5或增大到1500時,對系統有什么影響。解：系統的閉環傳遞函數為由上式當k=1500時,k=13.5時，按上面同樣的方法計算，其性能指標如表3-4所示。表3-3

k值改變時，二階位置隨動系統性能指標K

ntrtpMp%ts13.52.18.22---0.1742000.54531.60.0820.1213%0.17415000.286.20.0200.03752.7%0.174不同k值時的單位階躍響應曲線例3-11

設單位反饋閉環二階系統的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定其開環傳遞函數。二階系統的單位階躍響應曲線查閱圖3-14Mp%與

關系曲線，可得解：由圖可知由（3-35）式因為，系統的閉環傳遞函數為單位反饋時的開環傳遞函數為例3-12

如圖所示為一個機械振動系統。當有2N的階躍輸入力作用于系統時，系統中的質量塊m按圖(b)的規律運動，試根據這個響應曲線，確定質量m、粘性阻尼系數B與彈性剛度k值。機械振動系統解：此系統的傳遞函數前面已經推導過，即為由于所以由此響應曲線可得到穩態響應為：因此由圖(b)的響應曲線得到由峰值時間得所以又因為所以由得到系統的誤差又可分為穩態誤差和動態誤差兩部分。瞬態響應的性能指標可以評價系統的快速性和穩定性，系統的準確性指標要用誤差來衡量。評價一個系統的性能包括瞬態性能和穩態性能兩大部分。第五節穩態誤差分析與計算這里研究的穩態誤差基于系統的元件都是理想化的，即不考慮元件精度對整個系統精度的影響。穩態誤差的大小與系統所用的元件精度、系統的結構參數和輸入信號的形式都有密切的關系。一.偏差、誤差、穩態誤差的定義偏差信號ε(s)是指輸入信號Xi(s)與主反饋信號B(s)之差，即(3-39)Xo(s)為實際輸出信號，H(s)為主反饋通道的傳遞函數。誤差信號E(s)是指被控量的期望值Xor(s)和被控量的實際值Xo(s)之差，即(3-40)當偏差ε(s)等于零時，被控量的實際值與期望值相等，即，由公式(3-39)得被控量的期望值Xor(s)為(3-41)將式(3-41)帶入式(3-40)求得誤差E(s)為:(3-42)對于單位反饋系統，因為H(s)=1，所以Xor(s)=Xi(s)。對于單位反饋系統，因為H(s)=1，所以E(s)=ε(s)。穩態誤差ess考慮到偏差和誤差之間存在確定性關系，同時，在單位反饋系統中，偏差和誤差相等，故這里將誤差信號e(t)視為穩態誤差進行討論。根據終值定理，系統的穩態誤差為:(3-43)二.穩態誤差的計算控制系統誤差信號e(t)的拉式變換E(s)與控制系統輸入信號xi(t)的拉式變換Xi(s)之比定義為控制系統的誤差傳遞函數，記為。則穩態誤差為：(3-44)(3-45)以下圖為例則反饋系統的穩態誤差為：穩態誤差ess取決于系統的結構參數G(s)和H(s)以及輸入信號Xi(s)的性質。(3-46)穩態位置誤差系數Kp(3-47)穩態位置誤差系數Kp定義為(3-48)穩態誤差系數的定義三.穩態誤差系數(3-49)系統在單位階躍輸入信號Xi(s)=1/s作用下的穩態誤差為(3-50)穩態速度誤差系數Kv定義為：(3-51)穩態速度誤差系數Kv系統在單位速度輸入信號Xi(s)=1/s2作用下的穩態誤差為(3-52)(3-53)穩態加速度誤差系數Ka定義為：(3-54)系統在單位加速度輸入信號Xi(s)=1/s3作用下的穩態誤差為：穩態加速度誤差系數Ka

(3-55)(3-56)系統按開環傳遞函數所包含的積分環節的數目不同，即N=0、N=1、N=2......分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統，其對應的開環增益分別為K0、K1和K2。Ⅱ型以上的系統則很少，因為此時系統穩定性將變差。系統的類型如右圖所示的系統，其開環傳遞函數一般寫成如下形式：不同類型反饋控制系統的穩態誤差系數0型系統I型系統II型系統不同類型反饋控制系統在三種典型輸入信號作用下的穩態誤差(只考察單位反饋控制系統)0型系統單位階躍輸入則I型系統則則II型系統從上述可知，0型系統對于階躍輸入具有穩態誤差，只要開環放大系數足夠大，該穩態誤差可以足夠小。但是過高的開環放大系數會使系統變得不穩定，所以，如果要求控制系統對階躍輸入沒有穩定誤差，則系統必須是Ｉ型或高于Ｉ型。

0型系統單位速度輸入則I型系統則則II型系統0型系統不能跟蹤速度信號輸入；Ⅰ型系統能跟蹤斜坡輸入，但有一定的穩態誤差，在穩態工作時，輸入速度與輸出速度相等，但有一個位置上的誤差，開環放大系數K1越大，穩態誤差越小；Ⅱ型或高于Ⅱ型的系統能夠準確地跟蹤斜坡輸入，穩態誤差為零。0型系統單位加速度輸入則I型系統則則II型系統由以上討論可知，0型和Ⅰ型系統都不能跟蹤加速度輸入信號；Ⅱ型系統能夠跟蹤加速度輸入信號，但有一定的穩態