穩態

瞬態

x0(t)tA(t)齊次方程的解—瞬態項；B(t)非齊次部分的解—穩態項2.瞬態響應(又稱過渡過程，暫態過程)：從初始狀態到穩態開始的響應過程；3.穩態響應(又稱靜態過程)：時間趨于無窮大時的輸出狀態。（無窮大是相對的）對于穩定的系統，隨著時間的增長，瞬態分量將衰減到零，所以在穩態響應階段，系統的響應就只有穩態分量了。時域響應的基本概念3.1時域響應以及典型輸入信號1.響應特性：系統在給定輸入的作用下的輸出特性；k3.1時域響應以及典型輸入信號使用典型輸入信號的目的1.典型輸入信號的定義：對控制系統具有典型意義，預先規定的信號。2．選擇典型信號的目的及要求：1）處理簡單，且又能反映大部分實際輸入，便于分析設計系統；2）可作為復雜輸入時系統性能的依據（如可作為典型輸入組合來看）；3）便于進行實驗，從而有助于系統辯識和確定系統參數

(未知環節的傳遞函數)。3.1時域響應以及典型輸入信號常用的典型輸入信號1.用于時域分析的有：階躍函數、斜坡函數、脈沖函數、

加速度函數。2.用于頻域分析的有：三角函數（正弦或余弦函數）。xi(t)at

2．斜坡函數：

與實際輸入中，輸入隨時間線性變化對應，分析中常用三角波近似代替a=1為單位斜坡。xi(t)at1．階躍函數：與實際輸入中的突加恒值（如突加力、直流電源、位移等）對應，a=1為單位階躍3.1時域響應以及典型輸入信號典型輸入信號的數學模型、圖象？對應于實際中加速度輸入情況。

對應于實際中的往復運動情況，如強迫振動、交流電源等（常用于頻率分析中）。t0對應于實際中突加沖擊（如點動、打擊等），a=1為單位脈沖。

t04．脈沖函數：3．加速度函數：5．正弦函數：xi(t)atxi(t)txi(t)t3.1時域響應以及典型輸入信號典型輸入信號之間的關系例如：脈沖階躍斜坡加速度3.1時域響應以及典型輸入信號典型系統方框圖一階系統的傳遞函數Xi(s)X0(s)3.2一階系統的瞬態響應響應:

輸入:一階系統的單位階躍響應

x0(t)t2TT3T4T0.6320.950.9811/T3.2一階系統的瞬態響應

特點：

1）無振蕩，穩定；

2）時間常數T決定上升快慢，當t=T時，x0=0.632，這樣可用實驗方法確定T；

3）調整時間：（達到穩定值的時間）3T～4T，此時為穩定值的95%～98%；

4）原點的斜率是時間常數倒數；

5）對數坐標下響應曲線為直線（縱坐標為對數）：

好處是可用實驗方法判別環節lg(1-x0)t3.2一階系統的瞬態響應輸入:

2）時間常數T為穩態誤差。

響應:

瞬態部分為穩態部分為一階系統的單位斜坡響應特點：1）輸入與輸出有穩態誤差。x0(t)t3.2一階系統的瞬態響應一階系統的單位脈沖響應

特點：具有衰減特性，T越小，衰減越快。

x0(t)t1/T輸入:

響應:

3.2一階系統的瞬態響應輸入函數導數的響應與原輸入函數響應的導數一致。輸入函數的微積分與輸出微積分的關系輸入函數積分的響應與原輸入函數響應的積分一致，積分常數由初始條件定。3.2一階系統的瞬態響應閉環中的開環傳遞函數標準系統傳遞函數Xi(s)X0(s)E(s)3.3二階系統的瞬態響應典型系統方框圖根位置不同（

、

n不同）有不同的階躍響應

特征參數

、

n二階系統的單位階躍響應

不等負實根相等負實根共軛復根共軛虛根正（正實部）根3.3二階系統的瞬態響應一、不同參數(

、

n)下二階系統的階躍響應不同系統（就是不同參數、n

）下，二階系統的階躍響應有不同的形態，通過分析參數、n

與二階系統的階躍響應的關系可以很容易揭示其本質或其中：再用拉氏反變換求出x0(t)1．0

1

欠阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應根的特點：共軛復數響應特點1）階躍響應是振蕩的，由于根的實部為負，所以，振蕩的幅值隨時間的增加而衰減，最終趨于零；2）

越小，振蕩越大，第一次達到穩定值得時間越小。根分布x0(t)t1．0

1

欠阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應.11

.0

1

欠阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應根分布該式也可利用欠阻尼的xo(t)式，取

極限，然后用羅必塔法求出。

2．

=1臨界阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應2．

=1臨界阻尼系統特點：1.階躍響應是隨時間單調上升的，不產生振蕩；2.當t∞時，響應趨于穩態值3.3二階系統的瞬態響應3．

過阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應t→∞時,輸出等于輸入值（=1，暫態項等于零）。輸出也是由兩部分組成：

—穩態分量=1

—瞬態分量兩個形如脈沖響應部分，隨時間變化。響應隨t的增加逐漸單調衰減到零；后一個分量衰減更快。3.3二階系統的瞬態響應根分布x0(t)3．

過阻尼系統特點：1.階躍響應是隨時間單調上升的，不產生振蕩；2.當t∞時，響應趨于穩態值3.3二階系統的瞬態響應4．

=0無阻尼系統階躍響應與極點分布：3.3二階系統的瞬態響應根分布階躍響應瞬態分量指數項在

t∞時為無窮大，系統不穩定。5．

<0負阻尼系統3.3二階系統的瞬態響應二階系統的單位階躍響應3.3二階系統的瞬態響應二階系統的單位脈沖響應

2）當

n一定時，

越小，

d越大，振蕩越劇烈，衰減越慢。

特點：1）產生以

d為頻率的衰減正弦振蕩3）峰值時間：令峰值：可得：

ntx0(t)/

n1．0

1

欠阻尼系統03.3二階系統的瞬態響應3．

過阻尼系統特點：具有單調衰減特性，無超調二階系統的單位脈沖響應

ntx0(t)/

n02．

=1臨界阻尼系統特點：具有單調衰減特性，無超調

ntx0(t)/

n03.3二階系統的瞬態響應單位脈沖響應可由階躍響應求導數得到3.3二階系統的瞬態響應二階系統的單位斜坡響應

tx0(t)1．0

1

欠阻尼系統02．

=1臨界阻尼系統3．

過阻尼系統0<

<1

>1

=13.3二階系統的瞬態響應

減小阻尼比

和增加無阻尼自然頻率

n。可以減小這種誤差，但會影響響應系統的平穩性。

分析：二階系統的單位斜坡響應是由穩態分量(t-2

／

n)和瞬態分量兩部分組成；當0<<1，系統響應的瞬態分量具有振蕩特性，

越小，振蕩越劇烈。

=1和

>1時，瞬態分量則具有非振蕩特性；在穩態時，響應曲線的斜率和斜坡函數(輸入)的斜率相等；二階系統對單位斜坡輸入存在跟蹤位置誤差(偏差)，其大小為：說明：上述系統的單位斜坡響應，也可用對它們的單位階躍響應進行積分的方法求得。積分常數由零輸出初始條件來確定。3.3二階系統的瞬態響應性能指標的衡量：二階系統階躍響應的特征量（性能指標）有：1.上升時間tr

：響應從零到首次達到穩態值所需時間。

2.峰值時間tp

：響應從零到達到最大值的時間。3.最大超調量Mp：最大值與穩態值的差值與穩態值之比

4.調整時間ts

：響應曲線達到并永遠保持在允許誤差范圍

的時間。

5.延遲時間td

：響應曲線從0上升到穩定值的50%所需時間。6.振蕩次數N

：在調整時間內響應曲線的振蕩次數。3.4時域分析性能指標誤差帶：當（

>=1）時階躍響應沒有超調，此時，上升時間的定義修改如下：3.4時域分析性能指標x0(t)t0.91.00.50.10trtr！第一次到達上升時間

tr（反映系統的快速性）依定義有：二階系統階躍響應的特征量（性能指標）的計算：3.4時域分析性能指標峰值時間

tp（反映系統的快速性）3.4時域分析性能指標最大超調量Mp（反映系統的平穩性）百分比超調量

Mp%3.4時域分析性能指標調整時間ts（反映系統的快速性）符合上式答案有多個，如下圖3.4時域分析性能指標

用包絡線近似來簡化計算：包絡線方程：3.4時域分析性能指標0.20.40.50.60.70.8-0.02-0.087-0.144-0.223-0.337-0.51適用當其中當3.4時域分析性能指標延遲時間td（反映系統的快速性）振蕩次數，N

（反映系統的平穩性）振蕩一個循環所需時間為則3.4時域分析性能指標xi(t)x0(t)例1．要求圖示系統的最大超調量等于0.2，峰值時間等于1秒，確定增益K和Kh，并確定在此K、Kh下，上升和調整時間tr、ts。

分析：由Mp可求出

；tr、ts與

和

n有關；因此關鍵是求出

和

n并確定K、Kh與什么量有關系，這種關系由傳遞函數確定。

解：

由傳遞函數知：則：3.4時域分析性能指標例2．系統及施加8.9N階躍后的響應如圖所示，求M、k、f。解：

由得3.4時域分析性能指標x0(t)0.00290.03t2特解穩態分量零狀態響應強制分量

齊次解瞬態分量零輸入響應自由分量3.5高階系統的瞬態響應不同閉環極點位置與相應響應分量圖例極點離虛軸越遠，響應分量衰減越快（a-b） 則：該分量（極點）對系統階躍響應的影響就小根據系統對階躍響應瞬態分量的分析，閉環極點位置決定該分量階躍響應的形態d、e點：虛部不為零，過渡過程是振蕩的b、d、e點：實部相同，其衰減（或幅值衰減）速度相同d、e點：實部相同，虛部不同，虛部值越大，其振蕩頻率越大等ζ線d點：其虛部與c相同，響應分 量振蕩頻率與c相同e點：與c點、原點在同一直線,

有相同的ζ，響應分量 有相同的百分比超調量極點位置在虛軸上，其響應是等幅振蕩的，離實軸越遠，振蕩頻率越高極點位置上，如果恰好有閉環零點（偶極子），它們的作用將抵消3.5高階系統的瞬態響應

主導極點：高階系統中距離虛軸最近的極點，其附近沒有零點，它的實部比其它極點的實部的1/5還小，稱其為主導極點。此時認為系統的響應主要由該極點決定。在一定的條件下，高階環節可以降為低階環節分析，其關鍵之處在于對傳遞函數零極點的處理。處理原則如下。1．有負實部遠離虛軸的極點，且又有離虛軸較近的極點（主導極點），則可忽略遠離虛軸部分極點的影響。2．零極點的負實部相近時，可以去掉該零點和極點的影響（偶極子相消）。對于零點的求法可利用數值求解。3.5高階系統的瞬態響應

例1：估計閉環傳遞函數為系統的階躍響應特性。解：本系統為三階系統，它的三個閉環極點為：P1=-1.5、P2、3=-8

j11.7極點P2、P3離虛軸的距離比P1離虛軸的距離大5.3倍，故極點P2、P3對響應的影響可以忽略。極點Pl主導著系統的響應，則系統傳遞函數可簡化為一階系統。系統時間常數：T=0.67(s)．系統的階躍響應沒有超調，調整時間：ts=3T=3×