2024-2025學年度綜合能力調研檢測數學本試卷總分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設集合，，則中元素個數為（）A.2 B.3 C.4 D.52.如圖所示的金燒藍嵌珠橢圓盒嵌表來自于世紀的英國，此盒表的盒內可放化妝品或首飾，美觀且實用，現收藏于故宮博物館.該盒的上底面為橢圓，盒長，寬，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.3.記數列的前項和為，，，則（）A0 B.12 C.15 D.204.如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列結論正確的是（）A.平面 B.C.平面 D.平面與平面不垂直5.“City不City”是一個今年在網絡上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達對中國城市深刻印象的一種新穎方式.現將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種6.已知圓與直線相交于不同的兩點，，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.7當，時，，則（）A. B.0 C. D.18.已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與的其中一條漸近線垂直，垂足為，延長分別交軸及另一條漸近線于點，，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，是復數，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則10.已知函數，則（）A.的定義域為B.圖象的對稱中心為C.的單調遞減區間為D.將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象11.已知函數滿足：①對，，且；②；③為偶函數，則（）A. B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.第33屆夏季奧運會在巴黎順利舉行，某校為此舉辦了一次以巴黎奧運會為主題的知識競賽，其中高一年級某班的8名參賽學生的成績（單位：分）分別為：88，92，91，91，94，95，89，96，則這8名學生成績的方差為________________.13.已知一個正六棱臺兩底面的面積分別為，，體積為，則該棱臺的側面積為______________.14.若關于的不等式組恰有50個不等的實數解，則的取值范圍為____________.（結果用區間表示）四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直.（1）求的值.（2）證明：在區間內恰有一個極大值點.16.近幾年，AI技術加持的智能手機（以下簡稱為AI手機）逐漸成為市場新寵.為了解顧客的購買意愿，某手機商城隨機調查了100位顧客購買AI手機的情況，得到數據如下表：購買AI手機購買不帶AI手機總計男性顧客4070110女性顧客603090總計100100200（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為購買AI手機與顧客的性別有關？（2）為提升AI手機的銷量，該手機商城針對購買AI手機的顧客設置了抽獎環節，抽獎規則如下：①共設一、二等獎兩種獎項，分別獎勵200元、100元手機話費，抽中一、二等獎的概率分別為、，其余情況不獲獎金；②每位顧客允許連續抽獎兩次，且兩次抽獎相互獨立，記某購買AI手機的顧客兩次所獲得獎金之和為元，求的分布列和數學期望.參考公式：，.0.0100.050.0100.0050.00127063.8416.6357.87910.82817.如圖，為圓錐的軸截面，，點為圓弧的中點，點為線段的中點，點在線段上，且，平面.（1）求的值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知拋物線的頂點為，焦點為，直線與相交于，兩點，當時，.（1）求的方程.（2）若，試問是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.（3）若經過點，直線與相切于點，且，求面積的最小值.19.若有窮數列滿足，則稱數列為“階天樞”數