2024-2025學(xué)年度綜合能力調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則中元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.52.如圖所示的金燒藍(lán)嵌珠橢圓盒嵌表來自于世紀(jì)的英國(guó)，此盒表的盒內(nèi)可放化妝品或首飾，美觀且實(shí)用，現(xiàn)收藏于故宮博物館.該盒的上底面為橢圓，盒長(zhǎng)，寬，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.3.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A0 B.12 C.15 D.204.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.C.平面 D.平面與平面不垂直5.“City不City”是一個(gè)今年在網(wǎng)絡(luò)上迅速走紅的流行語(yǔ)，這句流行語(yǔ)也成為了外國(guó)游客表達(dá)對(duì)中國(guó)城市深刻印象的一種新穎方式.現(xiàn)將一對(duì)C，一對(duì)i，一對(duì)t，一對(duì)y重新組合排成一行，若至多有2對(duì)相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種6.已知圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.7當(dāng)，時(shí)，，則（）A. B.0 C. D.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與的其中一條漸近線垂直，垂足為，延長(zhǎng)分別交軸及另一條漸近線于點(diǎn)，，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)锽.圖象的對(duì)稱中心為C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象11.已知函數(shù)滿足：①對(duì)，，且；②；③為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在巴黎順利舉行，某校為此舉辦了一次以巴黎奧運(yùn)會(huì)為主題的知識(shí)競(jìng)賽，其中高一年級(jí)某班的8名參賽學(xué)生的成績(jī)（單位：分）分別為：88，92，91，91，94，95，89，96，則這8名學(xué)生成績(jī)的方差為________________.13.已知一個(gè)正六棱臺(tái)兩底面的面積分別為，，體積為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為______________.14.若關(guān)于的不等式組恰有50個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為____________.（結(jié)果用區(qū)間表示）四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求的值.（2）證明：在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn).16.近幾年，AI技術(shù)加持的智能手機(jī)（以下簡(jiǎn)稱為AI手機(jī)）逐漸成為市場(chǎng)新寵.為了解顧客的購(gòu)買意愿，某手機(jī)商城隨機(jī)調(diào)查了100位顧客購(gòu)買AI手機(jī)的情況，得到數(shù)據(jù)如下表：購(gòu)買AI手機(jī)購(gòu)買不帶AI手機(jī)總計(jì)男性顧客4070110女性顧客603090總計(jì)100100200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買AI手機(jī)與顧客的性別有關(guān)？（2）為提升AI手機(jī)的銷量，該手機(jī)商城針對(duì)購(gòu)買AI手機(jī)的顧客設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：①共設(shè)一、二等獎(jiǎng)兩種獎(jiǎng)項(xiàng)，分別獎(jiǎng)勵(lì)200元、100元手機(jī)話費(fèi)，抽中一、二等獎(jiǎng)的概率分別為、，其余情況不獲獎(jiǎng)金；②每位顧客允許連續(xù)抽獎(jiǎng)兩次，且兩次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，記某購(gòu)買AI手機(jī)的顧客兩次所獲得獎(jiǎng)金之和為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.0.0100.050.0100.0050.00127063.8416.6357.87910.82817.如圖，為圓錐的軸截面，，點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，平面.（1）求的值；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線與相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的方程.（2）若，試問是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.（3）若經(jīng)過點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，且，求面積的最小值.19.若有窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“階天樞”數(shù)