第第頁人教A版高一（下）數(shù)學(xué)必修第二冊6.2.4向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)課題6.2.4平面向量的數(shù)量積課型新課型課時(shí)2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義．2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算．3．體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力．發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣．學(xué)習(xí)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念、用平面向量數(shù)量積表示向量的模及夾角．掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式.學(xué)習(xí)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積定義的理解，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)．理解平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.學(xué)情分析在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算,但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便.如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用起來更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個亟待解決的問題.核心知識1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會計(jì)算平面向量的數(shù)量積．教學(xué)內(nèi)容及教師活動設(shè)計(jì)（含情景設(shè)計(jì)、問題設(shè)計(jì)、學(xué)生活動設(shè)計(jì)等內(nèi)容）教師個人復(fù)備導(dǎo)入新知我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可以用一對有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))來表示．那么，如何用坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個向量呢？前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？【實(shí)際情境】觀察小車的運(yùn)動，討論功的計(jì)算公式．提問：（1）力對小車有沒有做功？能不能用初中所學(xué)的W=FS，為什么？（2）如何解決力不在位移方向時(shí)功的計(jì)算？分別考慮力F的兩個分力做功的情況？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的計(jì)算公式是什么？在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移（圖6.2-18），那么力所做的功，其中是與的夾角．預(yù)設(shè)互動回答：力有做功，但是不能用W=FS，因?yàn)榱不在位移S的方向上；對力F進(jìn)行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；在位移方向的分力F1大小為，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小．【設(shè)計(jì)意圖】向量數(shù)量積概念不是憑空產(chǎn)生的，用人拉小車這一實(shí)例，讓學(xué)生感受“向量乘以向量”這樣的問題是客觀存在的，是源于實(shí)際生活的.功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定．這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念．因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念．已知兩個非零向量，（圖6.2-19），是平面上的任意一點(diǎn)，作，．則叫做向量與的夾角．顯然，當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積（innerproduct）），記作，即．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．對比向量的線性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個向量，而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)．應(yīng)用新知例9已知，，與的夾角，求．解：．【變式】已知平面向量，滿足，且與的夾角為.求的值；【答案】3；【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義代入計(jì)算即可得出結(jié)果；【詳解】由可得；即可得.例10設(shè)，，，求與的夾角．解：由，得．因?yàn)椋裕咀兪健恳阎?ABCD中，∠DAB＝60°，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的定義及辨析、相等向量【分析】利用向量的夾角定義直接得解.【詳解】如圖，與的夾角為，故選：C如圖6.2-20(1)，設(shè)，是兩個非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量．如圖6.2-20(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．2.向量的投影◆探究如圖6.2-20(2)，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與，，之間有怎樣的關(guān)系？顯然，與共線，于是．下面我們探究與，的關(guān)系，進(jìn)而給出的明確表達(dá)式．我們分為銳角、直角、鈍角以及，等情況進(jìn)行討論．當(dāng)為銳角(圖6.2-21(1))時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角(圖6.2-21(2))時(shí)，，所以；當(dāng)θ為鈍角(圖6.2-21(3))時(shí)，與方向相反，所以即．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以．從上面的討論可知，對于任意的，都有．【設(shè)計(jì)意圖】1.引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的投影以及數(shù)量積的符號，進(jìn)一步從細(xì)節(jié)上理解向量數(shù)量積的定義．2.通過課前嘗試練習(xí)，使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，鞏固對定義的理解，課堂上師生展開互動分析，并進(jìn)行歸納總結(jié)，為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆．向量數(shù)量積的性質(zhì)◆探究從上面的探究我們看到，兩個非零向量與相互平行或垂直時(shí)，向量在向量上的投影向量具有特殊性．這時(shí)，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？由向量數(shù)量積的定義，可以得到向量數(shù)量積的如下重要性質(zhì)．設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1)．(2)．eq\o\ac(○,?)如果是否有，或?(3)當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或。◆常記作．此外，由還可以得到．【設(shè)計(jì)意圖】將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識．探究：類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積的哪些運(yùn)算律？【活動預(yù)設(shè)】展示數(shù)學(xué)乘法運(yùn)算的運(yùn)算律，及前兩節(jié)所學(xué)的向量的線性運(yùn)算律，學(xué)生類比出數(shù)量積的一些運(yùn)算律.【預(yù)設(shè)的答案】運(yùn)算律實(shí)數(shù)乘法向量數(shù)量積判斷正誤交換律ab＝baa·b＝b·a正確結(jié)合律(ab)c＝a(bc)(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)a(b·c)＝(a·b)c正確錯誤分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正確【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)內(nèi)容，做出猜想，為引入本節(jié)的數(shù)量積運(yùn)算律做鋪墊.2.分析聯(lián)想，尋求方法活動：嘗試說明上述猜想正確與否，并給出證明：由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：對于向量，，和實(shí)數(shù)，有（1）；（2）；（3）．【活動預(yù)設(shè)】教師帶領(lǐng)學(xué)生討論，學(xué)生嘗試說明以上猜想正確與否.【預(yù)設(shè)的答案】（1）交換律顯然成立.（2）數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)(λa)·b=|λa||b|cosθ1λ(a·b)=λ|a||b|cosθ2a·(λb)=|a||λb|cosθ3對λ分類討論可以說明數(shù)乘結(jié)合律是成立的.數(shù)量積結(jié)合律：思考：a(b·c)＝(a·b)c成立嗎？由于a(b·c)表示與a共線的向量，(a·b)c表示與c共線的向量，所以這個式子不成立.（3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c教師講授：利用a＋b的投影向量等于a與b的投影向量之和可以證明.3.猜想驗(yàn)證，得出結(jié)論向量數(shù)量積的運(yùn)算律：a·b＝b·a；（交換律）（2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（數(shù)乘結(jié)合律）（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律）下面我們利用向量投影證明分配律(3).證明：如圖6.2-22，任取一點(diǎn)，作，，，．設(shè)向量，，與的夾角分別為，，，它們在向量上的投影向量分別為，，，與方向相同的單位向量為，則，，．因?yàn)椋裕谑牵矗恚茫裕矗裕虼耍驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力；鼓勵學(xué)生大膽猜想，小心求證；緊扣向量的數(shù)量積定義進(jìn)行運(yùn)算律的驗(yàn)證，便于理解向量數(shù)量積的運(yùn)算律.eq\o\ac(○,?)思考設(shè)，，是向量，一定成立嗎？為什么？應(yīng)用新知例11我們知道，對任意，恒有，．對任意向量，，是否也有下面類似的結(jié)論？(1)；(2)．解：(1)；(2)．因此，上述結(jié)論是成立的．【活動預(yù)設(shè)】學(xué)生可利用分配律和交換律自行推導(dǎo)，加深對數(shù)量積運(yùn)算律的理解.【設(shè)計(jì)意圖】通過數(shù)量積運(yùn)算律的探索過程，學(xué)生已感受到類比推理的魅力.進(jìn)一步類比實(shí)數(shù)范圍內(nèi)常用的結(jié)論，可以得到向量范圍內(nèi)的常用結(jié)論.【變式】已知，與的夾角求：(1)；(2)的值；(3).【答案】(1)(2)21(3)【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模【分析】（1）直接代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)向量的運(yùn)算律計(jì)算即可；（3）根據(jù)向量模的公式計(jì)算即可.【詳解】（1）===；（2）；（3），所以，.例12已知，，與的夾角為，求．解：【活動預(yù)設(shè)】學(xué)生動手操作，嘗試初步運(yùn)用.【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用向量運(yùn)算律解決計(jì)算問題，對初學(xué)者來說是有些難度的，教師根據(jù)運(yùn)算律詳細(xì)展示計(jì)算過程，加深鞏固學(xué)生對新知識的把握.【變式】已知向量，滿足，，．(1)求的值；(2)求向量與的夾角．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、向量夾角的計(jì)算【分析】（1）由條件推理求得利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得；（2）利用計(jì)算向量夾角的公式，先求和，再代入公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因，,由可得，，即于是，；（2）設(shè)向量與的夾角為，則，因，，，即與的夾角為．例13已知，，且與不共線．當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，即．因?yàn)椋裕獾茫簿褪钦f，當(dāng)時(shí)，與互相垂直．【活動預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生開動腦筋，考慮將幾何問題與向量聯(lián)系起來.【設(shè)計(jì)意圖】通過此題讓學(xué)生感受向量處理問題的優(yōu)勢.通過向量運(yùn)算將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這為解決幾何問題提供了新的思路.課堂總結(jié)1．知識清單：(1)向量的夾角．(2)向量數(shù)量積的定義．(3)投影向量．(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法．3．常見誤區(qū)：向量夾角共起點(diǎn)；a·b>0?兩向量夾角為銳角，a·b<0?兩向量夾角為鈍角．向量數(shù)量積的概念1.已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.關(guān)于數(shù)量積的結(jié)果(1)非零向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)量，當(dāng)0°≤θ<90°時(shí)，a·b>0；當(dāng)90°<θ≤180°時(shí)，a·b<0；當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝0.(2)特別地，如若a或b等于零，則a·b＝0.向量的投影關(guān)于投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).向量數(shù)量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a|·|b|.(5)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b