專題10數列小題解題秘籍解題秘籍等差數列通項公式：或等差中項：若，，三個數成等差數列，則，其中叫做，的等差中項若，為等差數列，則，仍為等差數列等差數列前n項和公式：或等差數列的前項和中，，（為奇數）等比數列通項公式：等比中項：若，，三個數成等比數列，則,其中叫做，的等比中項若，為等比數列，則，仍為等比數列等比數列前項和公式：已知與的關系分組求和若為等差數列，為等比數列，則可用分組求和裂項相消求和模擬訓練模擬訓練一、單選題1．（22·23·河北·一模）在各項均為正數的等比數列中，，，則（

）A．6 B．4 C．3 D．22．（22·23下·嘉興·二模）已知是公差不為0的等差數列，，若成等比數列，則（

）A．2023 B．2024 C．4046 D．40483．（22·23下·臺州·二模）已知公差不為零的等差數列滿足：，且成等比數列，則（

）A． B． C． D．4．（22·23·寧德·二模）已知是數列的前項和，，，，數列是公差為1的等差數列，則（

）A．366 B．367 C．368 D．3695．（23·24上·寧波·一模）已知數列為等比數列，且，則（

）A．的最小值為50 B．的最大值為50C．的最小值為10 D．的最大值為106．（22·23下·鎮江·三模）已知，，，，成等比數列，且和為其中的兩項，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（22·23下·黃岡·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．138．（22·23·深圳·二模）宋代制酒業很發達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數為，容易發現：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．309．（22·23·廣州·三模）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數（單位：千元）為（

）．A． B．C． D．10．（22·23·福州·三模）數列中，，點在雙曲線上.若恒成立，則實數λ的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（22·23·廈門·一模）已知數列滿足：，，則數列的前項的和為（

）A． B． C． D．貨，如此繼續，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（

）元（參考數據：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．3200016．（22·23下·武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數列，對任意，如果，那么稱數對構成數列的一個逆序對.若，則恰有2個逆序對的數列的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．717．（23·24上·郴州·一模）設數列滿足且是前項和，且，則（

）A．2024 B．2023 C．1012 D．101118．（22·23·廣州·三模）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數列．若是公差不為零的等差數列，則稱數列為二階等差數列．現有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數構成一個二階等差數列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．78019．（22·23下·青島·二模）設表示不超過的最大整數（例如：，），則（

）A． B． C． D．20．（22·23上·肇慶·二模）設數列的前項和為，且.若對任意的正整數，都有成立，則滿足等式的所有正整數為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4二、多選題21．（22·23下·鹽城·三模）已知數列對任意的整數，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數列可以是等差數列D．數列可以是等比數列22．（22·23下·武漢·三模）已知實數數列的前n項和為，下列說法正確的是（

）．A．若數列為等差數列，則恒成立B．若數列為等差數列，則，，，…為等差數列C．若數列為等比數列，且，，則D．若數列為等比數列，則，，，…為等比數列23．（22·23下·岳陽·三模）設數列的前n項和為，且，若，則下列結論正確的有（

）A． B．數列單調遞減C．當時，取得最小值 D．時，n的最小值為724．（22·23下·遼寧·三模）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，，則是等比數列C．若是等差數列，則，，成等差數列D．若是等比數列，則，，成等比數列25．（22·23·三明·三模）設等比數列的前項和為，前項積為，若滿足，，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數列 B．C．當時，最小 D．當時，的最小值為404726．（22·23下·威海·二模）已知數列的首項，前n項和為．設與k是常數，若對任意，均有成立，則稱此數列為“”數列．若數列是“”數列，且，則（

）A． B．為等比數列C．的前n項和為 D．為等差數列27．（22·23·山東·二模）平面螺旋是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第三個正方形，以此方法一直循環下去，就可得到陰影部分圖案，設正方形ABCD邊長為，后續各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為，后續各直角三角形面積依次為，，…，，…．則（

）

A．數列是以4為首項，為公比的等比數列B．從正方形開始，連續個正方形的面積之和為32C．使得不等式成立的的最大值為3D．數列的前項和28．（22·23·茂名·二模）已知數列和滿足：，，，，，則下列結論錯誤的是（

）A．數列是公比為的等比數列 B．僅有有限項使得C．數列是遞增數列 D．數列是遞減數列29．（22·23下·蘇州·三模）若數列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數列”.則下列數列是“數列”的有（

）A． B．C． D．30．（22·23·漳州·三模）已知數列，，且滿足，，則（

）A． B．的最大值為C． D．三、填空題31．（2023下·淄博·二模）記為等比數列的前項和.若，則.32．（22·23下·永州·三模）已知等比數列，其前項和為，若，，則.33．（22·23下·長沙·三模）若數列中，，，且（），記數列的前n項積為，則的值為．34．（22·23下·無錫·三模）已約是一組平面向量，記，若，則滿足的的值為.35．（22·23·煙臺·二模）歐拉是瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一，在許多數學的分支中經常可以見到以他的名字命名的重要函數、公式和定理．如著名的歐拉函數：對于正整數n，表示小于或等于n的正整數中與n互質的數的個數，如，．那么，數列的前n項和為．36．（22·23·聊城·三模）意大利數學家斐波那契以兔子繁殖數量為例，引入數列1，1，2，3，5，8，，該數列從第三項起，每一項都等于前兩項的和，即遞推關系式為，，故此數列稱為斐波那契數列，又稱“兔子數列”．已知滿足上述遞推關系式的數列的通項公式為，其中，的值可由和得到，比如兔子數列中，代入解得，．若，利用以上信息可得整數的值為．37．（22·23下·浙江·三模）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為為的前項和，則.（結果保留成整數）（參考數據：）38．（22·23下·黃岡·三模）已知數列滿足：，若，且數列為遞增數列，則實數的取值范圍為．39．（22·23下·銅川·一模）已知正項數列中，，且為其前項和，若存在正整數，使得成立，則的取值范圍是．40．（22·23下·岳陽·二模）定義是與實數的距離最近的整數（當為兩相鄰整數的算術平均值時，取較大整數），如，令函數，數列的通項公式為，其前項和為，則；.專題10數列小題解題秘籍解題秘籍等差數列通項公式：或等差中項：若，，三個數成等差數列，則，其中叫做，的等差中項若，為等差數列，則，仍為等差數列等差數列前n項和公式：或等差數列的前項和中，，（為奇數）等比數列通項公式：等比中項：若，，三個數成等比數列，則,其中叫做，的等比中項若，為等比數列，則，仍為等比數列等比數列前項和公式：已知與的關系分組求和若為等差數列，為等比數列，則可用分組求和裂項相消求和模擬訓練模擬訓練一、單選題1．（22·23·河北·一模）在各項均為正數的等比數列中，，，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據給定條件，利用等比數列性質計算作答.【詳解】等比數列中，，由，得，由，得，所以.故選：C2．（22·23下·嘉興·二模）已知是公差不為0的等差數列，，若成等比數列，則（

）A．2023 B．2024 C．4046 D．4048【答案】B【分析】根據成等比數列列方程，得到，再計算即可.【詳解】設數列的公差為d，且，若成等比數列，則，又，所以，化簡，，又，所以，所以.故選：B.3．（22·23下·臺州·二模）已知公差不為零的等差數列滿足：，且成等比數列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件列出關于等差數列基本量的方程組，即可求解.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，，因為成等比數列，所以，即，因為，所以，所以.故選：A4．（22·23·寧德·二模）已知是數列的前項和，，，，數列是公差為1的等差數列，則（

）A．366 B．367 C．368 D．369【答案】A【分析】把前項拆開成第項，后項，根據數列是等差數列，可將后面的項每項一個分組進行分組求和.【詳解】設，由題意是公差為的等差數列，則，故，則，故于是.故選：A5．（23·24上·寧波·一模）已知數列為等比數列，且，則（

）A．的最小值為50 B．的最大值為50C．的最小值為10 D．的最大值為10【答案】C【分析】寫出的表達式，利用基本不等式即可得出結論.【詳解】由題意，在等比數列中，，設公比為，則，∴，當且僅當即時等號成立，∴的最小值為10，故選：C.6．（22·23下·鎮江·三模）已知，，，，成等比數列，且和為其中的兩項，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合題意，取最小值時為負數，且，利用等比數列的基本量運算即可求解.【詳解】由題意，要使最小，則，，都是負數，則和選擇和，設等比數列的公比為，當時，，所以，所以，所以；當時，，所以，所以，所以；綜上，的最小值為.故選：B7．（22·23下·黃岡·二模）已知等差數列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】利用等差數列的性質得出即可求解.【詳解】等差數列，，，，，則取最大值時，.故選：A.8．（22·23·深圳·二模）宋代制酒業很發達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數，古代稱之為堆垛術.有這么一道關于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數為，容易發現：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．30【答案】B【分析】根據題意，歸納推理，第層的圓球總數個數表達式，再將，，代入求解即可．【詳解】當時，第1層的圓球總數為，當時，第2層的圓球總數為，當時，第3層的圓球總數為，．所以第層的圓球總數為，當時，，當時，，故．故選：B．9．（22·23·廣州·三模）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數（單位：千元）為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件確定每年的存款的本息和，再利用錯位相減法求六年的本息和即可.【詳解】設第年的存款到取出時的本息和為（千元），，則，，，，，，所以小明高中畢業的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數為：所以，所以，所以，所以，故選：D.10．（22·23·福州·三模）數列中，，點在雙曲線上.若恒成立，則實數λ的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意分析可得，利用斜率結合雙曲線的性質分析運算.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，因為點在雙曲線上，則，且，可得，可知為遞減數列，且，則為遞減數列，可得，且，可得，記點，則為直線的斜率，記，由雙曲線的性質可知：因為為遞減數列，直線的斜率為遞減數列，即，且隨著增大，直線越接近漸近線，故接近于，所以，則.故選：C.11．（22·23·廈門·一模）已知數列滿足：，，則數列的前項的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據對的分類討論，令可得，，進行歸納可得規律，，再進行求和即可得解.【詳解】由，，令、、、，，可得，，兩式相加可得，，，兩式相加，進行推論歸納可得，，所以，對任意的,，所以，數列的前項的和為.故選：C.12．（22·23下·溫州·三模）已知數列各項為正數，滿足，，則（

）A．是等差數列 B．是等比數列C．是等差數列 D．是等比數列【答案】C【分析】分析可知數列的每一項都是正數，由已知條件可得出，結合等差中項法判斷可得出結論.【詳解】因為數列各項為正數，滿足，，故對任意的，，則，所以，數列的每一項都是正數，所以，，可得，由等差中項法可知，數列是等差數列，故選：C.13．（22·23·張家口·一模）寬和長的比為的矩形稱為黃金矩形，它在公元前六世紀就被古希臘學者發現并研究．下圖為一個黃金矩形，即．對黃金矩形依次舍去以矩形的寬為邊長的正方形，可得到不斷縮小的黃金矩形序列，在下面圖形的每個正方形中畫上四分之一圓弧，得到一條接近于對數螺線的曲線，該曲線與每一個正方形的邊圍成下圖中的陰影部分．若設，當無限增大時，，已知圓周率為，此時陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得，則，在根據題意可得是等比數列，再根據等比數列前項和公式即可的解.【詳解】由，得，得，因為，則，同理每一個小正方形的邊長均為前一個正方形邊長的倍，設曲線與第一個正方形的邊圍成的陰影部分的面積為，，從第二個正方形開始曲線與正方形的邊圍成的陰影部分的面積依次為，，．．．，，設第個正方形的邊長為，則第個正方形的邊長，所以曲線與第個正方形的邊圍成的陰影部分的面積為，曲線與第個正方形的邊圍成的陰影部分的面積為，故，所以是以為首項，為公比的等比數列，設陰影部分的面積為，則，又當無限增大時，，所以時，，又，所以陰影部分的面積為．故選：A．14．（22·23·汕頭·三模）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數為（

）A．464 B．465 C．466 D．467【答案】B【分析】根據已知可得出遞推公式，進而根據累加法可求得，代入30即可得出答案.【詳解】設三角垛第層小球的個數為.由題意可知，，，，，所以，當時，有.所以，，，，，，兩邊同時相加可得，，所以，.當時，，滿足題意.所以，.所以，.故選：B.15．（22·23下·襄陽·三模）為響應國家號召，某地出臺了相關的優惠政策鼓勵“個體經濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求.據測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（

）元（參考數據：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【分析】根據題意，由條件可得數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，再由等比數列的通項公式即可得到結果.【詳解】設2022年6月底小王手中有現款為元，設2022年6月底為第一個月，以此類推，設第個月底小王手中有現款為，第個月月底小王手中有現款為，則，即，所以數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，∴，即，年所得收入為元.故選：D.16．（22·23下·武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數列，對任意，如果，那么稱數對構成數列的一個逆序對.若，則恰有2個逆序對的數列的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據逆序對的定義，分數列的第一個數為，數列的第二個數為，數列的第三個數為，數列的第四個數為，四種情況討論即可.【詳解】若，則，由構成的逆序對有，若數列的第一個數為，則至少有個逆序對，若數列的第二個數為，則恰有2個逆序對的數列為，若數列的第三個數為，則恰有2個逆序對的數列為或，若數列的第四個數為，則恰有2個逆序對的數列為，綜上恰有2個逆序對的數列的個數為個.故選：B.17．（23·24上·郴州·一模）設數列滿足且是前項和，且，則（

）A．2024 B．2023 C．1012 D．1011【答案】C【分析】根據題意和等差數列的定義和前n項求和公式,，可得出也為等差數列,從而得出答案.【詳解】由題意，，，則數列為等差數列，設公差為，，即，則，則，則所以，（常數），則也為等差數列.則數列的公差為.所以所以.故選：C18．（22·23·廣州·三模）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數列．若是公差不為零的等差數列，則稱數列為二階等差數列．現有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數構成一個二階等差數列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．780【答案】C【分析】首先由二階等差數列的定義，得到，再求和得到數列的通項公式，即可求.【詳解】設第層放小球的個數為，由題意，，……，數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以．故，故．故選：C．19．（22·23下·青島·二模）設表示不超過的最大整數（例如：，），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當時，，即，共有個.又，故，令，利用錯位相減法即可求解.【詳解】當時，，即，共有個.因為，故，設，①則，②①-②,得，所以.所以.故選:B.20．（22·23上·肇慶·二模）設數列的前項和為，且.若對任意的正整數，都有成立，則滿足等式的所有正整數為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【分析】根據與的關系，求出，則①，又②，②－①×3得，得，進而求出，由題意得，記，研究的單調性，求出的解即可．【詳解】，時，，相減可得：，即又時，，解得，滿足，數列是首項為1，公比為3的等比數列，所以．對任意正整數n，都有成立，得①，又②，②－①×3得：，又，所以，得，進而，由，得，即，記，則，以下證明時，，因為，即時，單調遞減，，綜上可得，滿足等式的所有正整數的取值為1或3．故選：A．【點睛】關鍵點睛：涉及數列的單調性以及數列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度較大，解答時要結合幾何知識，能熟練的應用數列的相關知識作答，關鍵是要注意構造新數列解決問題.二、多選題21．（22·23下·鹽城·三模）已知數列對任意的整數，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數列可以是等差數列D．數列可以是等比數列【答案】BC【分析】利用賦值，遞推式以及假設法，即可逐一選項進行判斷.【詳解】若，當時，，解得，故A錯；若，，當時，，解得，當時，，解得，，根據遞推關系可知，當為奇數，即時，，故B正確；若，則成立，故數列可以是等差數列，即C正確；若數列是等比數列，假設公比為，則由，得，兩式相除得，，即，解得，不符合題意，則假設不成立，故D錯.故選：BC22．（22·23下·武漢·三模）已知實數數列的前n項和為，下列說法正確的是（

）．A．若數列為等差數列，則恒成立B．若數列為等差數列，則，，，…為等差數列C．若數列為等比數列，且，，則D．若數列為等比數列，則，，，…為等比數列【答案】BD【分析】根據等差數列的性質判定AB選項，根據等比數列的性質判定CD選項.【詳解】若數列為等差數列，不妨設其公差為d,則,顯然當才相等，故A錯誤，而，作差可得成立，故B正確；若數列為等比數列，且，，設其公比為q，則，作商可得或所以或，故C錯誤；由題意得各項均不為0，而實數范圍內，，即且，結合選項B的計算可得，故D正確.故選：BD.23．（22·23下·岳陽·三模）設數列的前n項和為，且，若，則下列結論正確的有（

）A． B．數列單調遞減C．當時，取得最小值 D．時，n的最小值為7【答案】AC【分析】根據已知條件及累加法求數列的前n項和為，利用與的關系求出數列的通項公式，再結合已知條件逐項判斷即可求解．【詳解】由，得，，解得，當時，滿足上式，所以當時，所以，故A正確；當時，單調遞增，又所以數列單調遞增，且，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，且，所以當時，取得最小值，故B錯誤，C正確；又故D錯誤．故選：AC．24．（22·23下·遼寧·三模）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，，則是等比數列C．若是等差數列，則，，成等差數列D．若是等比數列，則，，成等比數列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數列前n項和的意義、結合等差數列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數列，B正確；對于C，設等差數列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數列，C正確；對于D，若等比數列的公比，則不成等比數列，D錯誤.故選：ABC25．（22·23·三明·三模）設等比數列的前項和為，前項積為，若滿足，，，則下列選項正確的是（

）A．為遞減數列 B．C．當時，最小 D．當時，的最小值為4047【答案】BC【分析】首先討論數列的單調性，判斷A；根據單調性，確定，判斷B；根據的意義，結合AB選項的判斷，再判斷C；結合等比數列的性質，以及AB選項的判斷，即可判斷D.【詳解】A.由條件可知，，與同號，所以，則，而，則公比，若，數列單調遞減，則，那么，與已知矛盾，若，則，則那么，與已知矛盾，只有當，才存在，使，所以等比數列單調遞增，故A錯誤；B.因為，單調遞增，所以，則，即，故B正確；C.因為，且，所以當時，最小，故C正確；D.根據等比數列的性質可知，，，所以當時，的最小值為4046，故D錯誤.故選：BC26．（22·23下·威海·二模）已知數列的首項，前n項和為．設與k是常數，若對任意，均有成立，則稱此數列為“”數列．若數列是“”數列，且，則（

）A． B．為等比數列C．的前n項和為 D．為等差數列【答案】AC【分析】首先理解題意得，再變形得到數列和的通項公式，即可判斷ABCD.【詳解】由條件可知，，，則，兩邊平方后，整理為，即，得或,若，則，則，這與矛盾，所以不成立，若，則，，所以數列是首項為1，公比為9的等比數列，即，故A正確；由可得（），兩式相減得，，并且時，，即，得，那么，所以不是等比數列，故B錯誤；，當時，，當時，設數列的前項和為，則,當時，成立，故，故C正確；，，，，所以數列不是等差數列，故D錯誤.故選：AC27．（22·23·山東·二模）平面螺旋是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第三個正方形，以此方法一直循環下去，就可得到陰影部分圖案，設正方形ABCD邊長為，后續各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為，后續各直角三角形面積依次為，，…，，…．則（

）

A．數列是以4為首項，為公比的等比數列B．從正方形開始，連續個正方形的面積之和為32C．使得不等式成立的的最大值為3D．數列的前項和【答案】ACD【分析】根據題意，，都是等比數列，從而可求，的通項公式，再對選項逐個判斷即可得到答案．【詳解】對于A選項，由題意知，且，所以，又因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，故A正確；對于B選項，由上知，，，，，所以，故B錯誤；對于C選項，，易知是單調遞減數列，且，，故使得不等式成立的的最大值為，故C正確；對于D選項，因為，且，所以，所以，故D正確；故選：ACD．28．（22·23·茂名·二模）已知數列和滿足：，，，，，則下列結論錯誤的是（

）A．數列是公比為的等比數列 B．僅有有限項使得C．數列是遞增數列 D．數列是遞減數列【答案】ABD【分析】由題意，，將第二個式子乘以后與第一和式子相加可得，令，解得，取，利用等比數列的定義和通項公式對各選項依次判斷即可.【詳解】由題意可知，第二個式子乘以后與第一和式子相加可得，令，解得，取可得，因為，，所以，所以，所以數列是公比為的等比數列，選項A說法錯誤；因為，，所以，所以當為正奇數時，，即，當為正偶數時，，即，選項B說法錯誤；由，，，，可知，，且數列和均為遞增數列，而，所以數列是遞增數列，選項C說法正確；因為，所以數列是遞增數列，選項D說法錯誤；故選：ABD29．（22·23下·蘇州·三模）若數列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數列”.則下列數列是“數列”的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據“數列”定義判斷A、D；利用特殊值判斷B是否滿足要求；由的個位數上奇偶性判斷C.【詳解】A：由，要且，所以，只需，顯然對任意的，總存在，滿足“數列”.B：由，顯然，不滿足“數列”.C：對于任意，，個位數為均為奇數，所以必為偶數，顯然不成立，不滿足.D：由，，故對任意的，總存在，滿足“數列”.故選：AD30．（22·23·漳州·三模）已知數列，，且滿足，，則（

）A． B．的最大值為C． D．【答案】BCD【分析】根據遞推關系式可求得，知A錯誤；由，采用作商法可證得數列為正項遞減數列，由此知B正確；由遞推關系式可求得，采用累加法，結合可推導得C正確；結合C中，采用放縮法得，裂項相消可求得D正確.【詳解】對于A，當時，，即，解得：；當時，，即，解得：；當時，，即，解得：；，A錯誤；對于B，由得：，又，，，，，數列為正項遞減數列，，B正確；對于C，由得：，，，數列為正項遞減數列，，（當且僅當時取等號），，即，，C正確；對于D，由C知：，，，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用數列遞推關系式研究數列的有關性質、數列求和與數列放縮的知識；本題判斷CD選項的關鍵是能夠對于數列的通項進行準確的放縮，從而根據不等關系，結合數列求和方法來得到結論.三、填空題31．（2023下·淄博·二模）記為等比數列的前項和.若，則.【答案】【分析】由可得，再由求和公式求比值即可.【詳解】設等比數列的公比為，由，可得，即，所以.故答案為：17.32．（22·23下·永州·三模）已知等比數列，其前項和為，若，，則.【答案】4或16【分析】根據條件，列出關于首項和公比的方程組，即可求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，由題意可知，，解得：或，所以或故答案為：4或1633．（22·23下·長沙·三模）若數列中，，，且（），記數列的前n項積為，則的值為