以“折”為“轍”

——基于2021年寧波市中考數(shù)學(xué)第十六題說(shuō)題

說(shuō)

題

流

程原題呈現(xiàn)說(shuō)思維和思路說(shuō)拓展與變式說(shuō)價(jià)值說(shuō)分析與聯(lián)想說(shuō)知識(shí)內(nèi)容如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。一、原題呈現(xiàn)——2021年寧波市中考數(shù)學(xué)第十六題

本題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多。主要包含圖形翻折性質(zhì)、等腰三角形、平行線、菱形、相似三角形、全等三角形的判定和應(yīng)用、射影定理、三角函數(shù)的定義和轉(zhuǎn)化思想等。二、說(shuō)知識(shí)內(nèi)容——考點(diǎn)分析三、說(shuō)分析與聯(lián)想如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。1、找出相等的角：

除了矩形4個(gè)直角外，

由對(duì)稱可得：∠EFC=∠ABC=90°，一線三垂直可得∠AFE=∠DCF

由BM=BE，可得∠BME=∠BEM∟∟∟

2、找出特殊四邊形：

由對(duì)稱可得BE=EF，BM=MF

又BM＝BE，可得菱形BEFM三、說(shuō)分析與聯(lián)想如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。4、找出相似三角形或全等三角形：

由對(duì)稱可得△BEC≌△FEC，由一線三垂直可得△AEF∽△DFC

由AB∥CD且菱形中FM∥EB，可得△FMN∽△CGN，

∠AEF=∠ABG=∠BGC

△AEF∽△CGB，∠FNB=90°

射影定理3、找出相等線段：

除矩形對(duì)邊相等外

由對(duì)頂角和內(nèi)錯(cuò)角又知∠CMG=∠GCM，GM=GC，DC=2∟三、說(shuō)分析與聯(lián)想如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。5、逆向思維分析：

①求BN的長(zhǎng)，基本思路通過(guò)勾股定理，三角形相似得出比例式，三角形全等等于已知或易求得的線段。

②求sin∠AFE的值，基本思路利用定義或通過(guò)相等的角轉(zhuǎn)化。

第一小問(wèn)引用了翻折中“邊等”、“角等”的隱含條件，引導(dǎo)我們利用三角形全等的判定找出BN、AB和CD相等的關(guān)系。連接BF，F(xiàn)M，由翻折及BM＝ME可得四邊形BEFM為菱形，可證△ABF≌△NBF,可得BN＝BA。

CD＝AB＝2

四邊形BEFM為菱形∠ABF＝∠NBF

△ABF≌△NBF

BN＝AB＝2（1）思維點(diǎn)撥四、說(shuō)思維和思路

解法一評(píng)析：這種解法利用線段平行證明△FNM和△CNG相似，突出“X”型相似的運(yùn)用,再運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊列出比例式解方程。

第二小問(wèn)中結(jié)合了主題干和支題干所得出的結(jié)論，利用菱形四邊相等的關(guān)系和相似三角形各邊的關(guān)系列出比例式。（2）思維點(diǎn)撥四、說(shuō)思維和思路解法一：證明△FMN∽△CGN可得

＝

,進(jìn)而求解菱形BEFM△FMN∽△CGNx=2-∴sin∠AFE＝

﹣11-x2-x2-xxx12-x2-xx1-x1四、說(shuō)思維和思路解法二：證明△AEF∽△CGB可得

，由此出發(fā)進(jìn)行求解解：菱形BEFM

△AEF∽△CGBx＝2﹣∴sin∠AFE＝

﹣1

解法二評(píng)析：這種解法利用EF∥BG,證明△AEF和△CGB相似，用對(duì)應(yīng)邊列出比例式。著重培養(yǎng)了我們運(yùn)用菱形性質(zhì)和判定三角形相似的能力。本解法與解法一有異曲同工之妙，需要結(jié)合菱形的判定和相似三角形判定的相關(guān)知識(shí)。2-x12-x2-x1x四、說(shuō)思維和思路

解法三評(píng)析：此解法較于前兩種解法有所不同但更加簡(jiǎn)便。運(yùn)用三角形中的垂直關(guān)系，借助射影定理列出關(guān)于NG的方程。還需要運(yùn)用一線三垂直，將題中所要求的sin∠AFE轉(zhuǎn)化到求sin∠NCG上。此解法需要我們掌握并熟練運(yùn)用射影定理。解法三：由射影定理得出等式CG=MG=1NG=sin∠AFE=

變式1：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，CD=3CG，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。五、說(shuō)拓展與變式1、橫向拓展——變條件略解：易得CD=3菱形EBMF

∠ABF＝∠NBF△ABF≌△NBFBN=AB=CD=3

拓展反思：此拓展改變題中CG與CD的數(shù)量關(guān)系，實(shí)質(zhì)上考查內(nèi)容與原題考查內(nèi)容一致。此拓展運(yùn)用原題中的方法二解題,若用方法三則可以更加簡(jiǎn)潔明確地求出數(shù)值，但也顯而易見(jiàn)的是方法三更考驗(yàn)思維的跳躍和轉(zhuǎn)換。3-xx1△AEF∽△CGB變式1：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，CD=3CG，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，sin∠AFE的值為

。3-x3-x變式2：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，

的值為

。2、縱向延伸——變形狀

拓展反思：此拓展將原題中的矩形條件改為菱形，方法不變，只是改變圖形形狀。進(jìn)一步加大了探索各個(gè)角之間關(guān)系的難度，隱藏了菱形每條邊相等的條件。鍛煉提升了我們對(duì)題目圖形的理解能力和思維方式的靈活性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖形的巧妙設(shè)計(jì)和靈活變化。x2-x2-x2-x1△AEF∽△CNG變式2：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線EC對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AD上，G為CD中點(diǎn)，連接BG分別與CE、CF交于M,N兩點(diǎn)，若BM＝BE,MG＝1，則BN的長(zhǎng)為

，

的值為

。略解：△AFB≌△NFBAB=BN=2六、說(shuō)價(jià)值

這道題從多個(gè)角度考查了我們的解題思路。考查內(nèi)容多樣，我們通過(guò)以“折”為“轍”，挖掘翻折圖形中的隱含條件從而找到問(wèn)題的突破口。在拓展中我