理論力學教程-第三版.周衍柏.課后習題答案.總匯一一理論力學課后習題答案

理

論

力

董

后

習

題

答

案

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第一章質點力學

1J沿水平方向前進的槍彈，通過某一距離s的時間為八，

而通過下一等距離5的時間為小試證明槍彈的減速度（假定是常

數）為

2.、（12一2I）

zjaS+打）

證由題可知示意圖如題1.1J圖:

設開始計時的時刻速度為孫，由II

題可知槍彈作勻減速運動，設減速度；丁"一

大小為"-+T

則有；題1L1圖

1->

s丁j-丁必①

2.L：T7力3U（八+。2）2②

IA

由式①我們可知

11/

把③代人②得

2<S（上2I）

"￡士"十/2）

證明完畢.

L2某船向東航行，速率為15km/h,在止午經過某一燈塔.

另一船以同樣速度向北航行，在下午1時3（）分經過此燈塔.問在

什么時候，兩船的距離最近？最近的距離是多少？

解由題可知，以燈塔為坐標原點建五直角坐標如題1.2.I

I

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圖.設A船經過S小時向東經過燈塔，則向北行駛的以船

經過卜小時經過燈塔.

任意時刻A船的坐標一L一~-------

Au

孫=--（⑸0一舊），.=0

B船坐標6=0,如=-[15（S+1寺）史

一⑸題121圖

則AB艙間距高的平方

12

d-（/人一￡e）2+（yA-yB）

即

2

d-（15r0-15/y+-15e

=450—-（go。、+675）z+2254+225（為+1

笳對時間t求導

&^^=900r-（900"+675）

AB船相距最近，即久卻=0,所以

d/

3u

L￡產4-h

即午后45分鐘時兩船相距最近.

最近距離V」（15x年『+（15*:15X打km

=15.9km

1.3曲柄函=廠，以勻角速儂繞定點O轉動，如題1.3.1

圖.此曲柄借連桿A8使滑塊H沿直線Or運動.求連桿上。點的

軌道方程及速度.設前=（為=a,N八08=w，/ABO=沙

解（1）如題L3.2圖，由題分析可知，點C的坐標為

2

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題1.3.1圖題L3.2圖

1=rcosy)+acos”①

y=asin"②

又由于在AAOB中，有一7二2幺(正弦定理)，

sin@s】n華

所以sine=2嚶=勺③

聯立①②③運用sin?中+cos2<p-1

由①可得"^^==4^④

①？+③2h1,得

4,2/+.2一了2_21J/_y2_

十"~-2=!

22

得31y2+產+a?--=2JCa~y

化簡整理可得

4、/(。2-丫2)一(、?、2<3?2+/_廠2)2

此即為c點的軌道方程.

(2)要求。點的速度，即先對①②式分別求導

?.scosw.,

r=-r3smg--2cos<pSin^

?，If.ra)co$<▲p

J2

其中(D-(p

又因為rsin(p=2〃sinW

對兩邊分別求導

3

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：_-3cosw

故有

甲2acos@

所以V=vCr2+y2

,rcucosa).,r232cos2W

-rrosinp—2cosvOsin^~1~

=*/cos2（f>[4singgs敢sin（卯十巾）

1.4細桿OL繞O點以勻角速⑷轉動，并推動小環C在同

定的鋼絲AB上滑動.圖中的“為一已知常數，試求小環的速度及

加速度的量值.

解如題1.4.1圖所示，OL繞。點以勻角速度轉動，C在

八6上滑動，因此C點有一個垂直桿的速度分量

VI=3XOC=3J.2+、].2

題1.4.1圖

C點速度=~=vseed=codsec26=a>--7

cost?a

乂因為8=3

所以C點加速度a=華=（欣?2sece，suc外tan。，3

ar

=2d"sec，8ran8=-------------

a

L5礦山升降機作加速度運動時，其變加速度可用下式表示:

.Tit

1t-sin.yryr

乙X

式中c及丁為常數,試求運動開軀干后升降機的速度及其所走

4公◎

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過的路程.已知升降機的初速度為零.

解由題可知，變加速度表示為

.nt

ac1-sin①

由加速度的微分形式我們可知

dv

a=②

dt

把②代人①即得

d7;=cI1-sin券;dt

對等式兩邊同時積分

-nZ

dv=c1—sinde

JoJolJ

可得:

=ct+2^ce（）x+D（D為常數）

兀11

代人初始條件：r=0時，Q=0

資n2丁

故1）=----c

JTI

即vM(./+----1cosl

JtI2T~

_(h

又因為

-dr

n1

所以ds=c/+dt

ncos21^—1

對等式兩邊同時積分，可得:

IL、27'/2T.m

Lc—sin

12冗K2/

1.6一質點沿位矢及垂直于位矢的速度分別為Ar及"巴式

中A及〃是常數.試證其沿位矢及垂直于位矢的加速度為

入W，〃卜+：

r（r^\

5

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解由題可知質點沿位矢速度

,u//=Ar①

沿垂直于位矢速度

vj=/②

又因為77/=rAr,BP

r=Ar③

^'_L-Or-}iO即i④

?喑=,（，）4￡（血）（取位矢方向i,垂在位矢方向j）

所以,（2=-+號="+用

?血）=料+/第+「端

-+rOj—rd2i

故a=Cr-r92）i+（常+2評jj

即沿位矢方向加速度U“=L廠*⑤

垂在位矢方向加速度a?=冷+2沁’⑥

對⑶求導r=Ar-A2r⑦

對④求導6=4+5

廠廠

="8（'+入）

把③④⑦⑧代人⑤⑥式中可得

—了

a4=Kl1七-2-

r

〃_L=（義+,

1.7試自

n=rcas5,y一廠sin。

出發，計算上及§.并由此推出徑向加速度3及橫向加速度價.

6

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、“一/I上'二廠cosJ①

解由題可知:

!y=/sind②

對①求導上=；cos6-i?sin6?8③

對③求導a=Jcosd-2r9sind-r?sin6?尸。2cos夕④

對②求導y-：sin8+rdmsO⑤

對⑤求導y=:sind+2r8cos6+rOco^d-r”sin8

對于加速度a,我們有如下關系見題1,7.1圖.

[上,=a.cosd-ansind⑦

即《t1

[y丁a,sinO+a&co&8⑧

對⑦⑧兩式分別作如下處理：⑦x

800,⑧xsin。,

艮/導JaccsJ=%cos2d-agsin8cos夕⑨

[ysind=QySidj1a()s\ndcosd?

⑨+⑩得ar=TCGSO+ysh\O?

把①⑥代人?

得

2

ax=r-rd

同理可得

a產2+2r6

1.8直線FM在一給定的橢圓平面內以勻角速s繞其焦點

F轉動.求此直線與橢圓的交點M的速度.已知以焦點為坐標原

點的橢圓的極坐標方程為

_a(1-J)

1+ecosO

式中a為橢圓的半長軸，f為偏

心率，都是常數.

解以焦點F為坐標原

點，運動如題1.8.1圖所示，則

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」,一（上=rcosd

M點坐標j

!y=廠sin。

對、jy兩式分別求導

Ji=rcos0-廠8sinJ

\y=rsin04rdcosd

故v2=i'2+j?2=(rcostf-r0sin^)2+(rsin0+r0cos>9)2

**).2o

二廠+r3、

如圖所示的橢圓的極坐標表示法為

a(1--e2)

1+ecosd

對，求導可得（利用^=3）

esin?2

a(1-e2)f

1_I_,ecosb_

又因為2

廠a(1e)a(l-e')

即cosJ二也一''上'

re

所以si，8=］，2(L^+j；2”(L/)

故有一一笥包的加「2/

Q~(l-/)，

24

_e"a>r「〔a'(l—p2)'十廠2-2a廠(1一e2)12

r

一_am(1-c^-\)2Lr2~e2JI+

2

_rf_2.2一-2+2ar(l-.2),

a2(l-e2)tJ-e2.

2,

=*工⑵

o\乙a-fr)/rf

b-

即u=f（2〃一廠）

b

（其中/=（］一/）/,b為橢圓的半短軸）

L9質點作平面運動，其速率保持為常數.試證其速度矢量

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V與加速度矢量。正交.

證質點作平面運動，設速度表達式為

廠如i+Vyj

令。為位矢與Z軸正向的夾角，所以

dv_d%di,d%d/

dt&?AtdtJ5dt

-—%小+(警+”/?

所以a?口=[(^^-)i++%。)j?(vxi+vyj)

dvr片dvv*

=%一%?為"十4'/十

da上dv

二%下：％77

又因為速率保持為常數，即

/+*=c,c為常數.

對等式兩邊求仔2%,暮十2%?招「0

所以a■v0

即速度矢量v與加速度矢量。正交.

L10一質點沿著拋物線丁=2”運動.其切向加速度的量

值為法向加速度量值的2A倍.如此質點從正焦弦的一端

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dvr乙i

①

又因為_L=」'L②

PJ1+/2代

y1=2pj?,

?上

所以③

)'=V

〃p2

y=~3④

y

聯立①②③④

d

2

-2歸

dV

A2⑤

+-

V2

、

?

又dp_d_p_dv

d，dydr"dy

把32-2m兩邊對時間求導得

又因為

所以⑥

把⑥代入⑤

即可化為

對等式兩邊積分

10

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所以“=〃/立

K11質點沿著半徑為r的圓周運動，其加速度矢量與速度

矢量間的夾角Q保持不變.求質點的速度隨時間而變化的規律,

已知初速度為斯.

由題可知速度和加速度有關系如題L1L1圖

，if

j（an---asina

dv二

at==acosa

df題i.1LI圖

兩式相比可得

，二一L?包

rsinavosadt

即1cctadz=與

「XT

對等式兩邊分別積分

「1尸才V

一cota?at=「

Jo曠兒v4I

□n1IX

即?一二---'—cota

vr

此即質點的速度隨時間而變化的規律.

1.12在上題中，試證其速度可表為

v=為任……

式中8為速度矢量與工軸間的夾角，且當t=0時，6=M.

證由題1,11可知質點運動有關系式

?—=asina

r①

<

dv②

孑：=acosa

所以迎=也.政、如聯立①②有

'"以山dodt日鏟），林工

11

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T77,(COSa.

at/V'—rsi;-n--a

又因為v-<jt>r3

所以--cotad^

v

對兩邊分別積分，利用初始條件，=0時，8=跖,

1.13假定一飛機從A處向東飛到B處，而后又向西U回原

處.飛機相對于空氣的速度為了，而空氣相對于地面的速度則為

v0.A與6之間的距離為/.飛機相對于空氣的速度J保持不變.

(a)假定%=0,即空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行

的總時間為

_21

(b)假定空氣速度為向東(或向西)，試證來回飛行的總時間為

子..—I,一]

1-vi/v2

(c)假定空氣的速度為向北(或向南)，試證來回飛行的總時

間為

17H%。_-

“不"產

證(a)當卬=0,即空氣相對地面是靜止的，有y絕=〃根+

限

式中u絕指質點相對靜止參考系的絕對速度，v相指質點相對運動

參考系的速度，，牽指運動參考系相對靜止參考系的速度.

可知飛機相對地面參考系速度“絕二/,即飛機在AB間作

勻速直線運動.所以飛機來回飛行的總時間口=2匕

v

(b)假定空氣速度向東，則當飛機向東飛行時速度

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8行時間

/

i=-T--

}七十%

當飛機向西K行時速度

力=y相+了市=J-@0

飛行時間之」-一

Z「-Vt）

故來回飛行時間

即

同理可證，當空氣速度向西時，來回飛行時間r=----

1---O

（C）假定空氣速度向北.有速度矢量關系如題1.13」圖

y維=%+y

/7

g=?7，--VQ

所以來回、行總時間

21

J/2一/

2/

/

V

1—VQ/V2\j1—謚//2

同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為

13

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1,14一飛機在靜止空氣中速率為100km/h.如果飛機沿每

邊為6km的正方形飛行，11風速為28km/h,方向與正方形的某

兩邊平行,則飛機繞此正方形飛行一周，需時多少？

解正方形如題1.14」圖.由題可知跳=%=28km/h設

風速A-b,￥相=100km/h

當飛機AfR,5=(100+28)km/h二

128km/h.

BfD,打一，10(產-28?km/h-

96km/h.

Cf。：0一(100—28)km/h廣

72km/h.

DfA：%=而2=2中km/h=

96km/h.

故￡機沿此邊K6km正方形飛行一周所需總時間

66.6\.

十面十72+96h

5.

7176min

題1.14.2圖

1.15當一輪船在雨中航行時,它的雨篷遮著篷的垂直投影

后2m的甲板，篷高41n,但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的

分界線卻在篷前3m.如果雨點的速率為8m/s,求輪船的速率.

解船停止時，干濕分界線在篷前3m,由題畫出速度示意圖

如題L.15.1圖.

14

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故一切一=____上隨______

sin（0+。）sin（7t-a-0一y）

乂因為84，=苧,所以

與地絕sin（a+3）

=-----------

cosa

由圖可知cosa=.—_z=—題1.15.1圖

VWPJ5

1

costz=—

.3,4

sing=—,c(后p

5

笠南絕=8m/s

#廠iw"而絕(sinacos/J+sin^cosa)

用「以受船=------------------------------

cosa

=8m/s

1.16寬度為4的河流，其流速與到河岸的距離成正比,在

河岸處，水流速度為零，在河流中心處,其值為j一小船以相對速

度〃沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的

地點.

解以一岸邊為1軸，垂直岸的方向為3,軸.建立如題

1.16.1圖所示坐標系./____________

所以水流速度「二

尚卜《苧）d=*味

k{dy）傳ox

又因為河流中心處水流速度為c題1J6.I圖

所以

15

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當苧時、水=：”即

帝令①

1⑦

:y工ut2

得山=2號/dr,兩邊積分

d

「2cui

Cx—j/d/

Juod

「耕③

聯立②③，得

X=■■尹2④

IU

同理，當心功》?今時,力水=宗（4-Y）

即

d.r2c

[d-y）=~（c/-ut）

二J今（d-）dt

dx-

W+D（D為―常數）⑤

2c-c

T-y-

=u，td

山④知，當y=?時,」代入⑤得

cd

"一一五

七2c、口小,

有i二尸一

r_c2（?！镀r）

Ir=菠y

所以船的軌跡彳;

2cc?cd

1x廠一y片觀（廣…）

1U'l

16

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船在對岸的靠攏地點，即y=d時有、r=歲.

'Zu

K17小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度

C2朝岸上A點劃回,假定河流速度g沿河寬不變，且小船可以

看成一個質點，求船的軌跡.

解以A為極點，岸為極軸建立極坐標如題1.17.1圖.船沿

〃/〃〃〃/〃〃〃〃///.

垂且.于r的方1可的速度為5sm中，［片,

船沿徑向r方向的速度為（%和（工

沿徑向的分量的合成，即

AA^

r=-Gsinq①/〃〃"力〃"〃/〃，/.X

■=C]CQSW-G②題1.17.1圖

②dr_/Q\

①r"iGsin^c。叼迎A

對兩邊積分:

Inr=^Intan氣-Insin^+C

設乳=A,￡=Q,C為常數

-b1

即Inr-In詈V十C

2cosa

代人初始條件r=r（）時，平=設與）=~行C=lnr（）

品普r*得

2cosa。

sin*1acos*+1

r=r（）—「+廠.1k~一

cosasin

1.18一質點自傾角為。的斜面的上方。點，沿一光滑斜槽

OA下降.如欲使此質點到達斜面上所需的時間為最短，問斜槽

OA與豎直線所成之角）應為何值？

17

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解如題1.18,1圖質點沿以下滑，由受力分析我們可知質

點下滑的加速度為a=gcosd.設豎直線06=心斜槽OA=s,易

知NO四人二三

正弦定理

sin二—a

2

/icosa

即‘cos(0-a)①

又因為質點沿OA光滑面下滑，即質點作勻加速直線運動.

所以s=y1at2=y1gcos0nr2②

12

由①②5gcgO?cos(8-a)l-hcosa=0

J

欲使質點到達A點時間最短，由尸=-—當冷-F可知,

geos力cos(i/ja)

只需求出co5d?cos(。-a)的極大值即可.

令

y=cos8"cos(6~a)=cos0(cos^cosa卜sinOsina)

y-COSQ*cos20+—sin20sina

/2

把v對8求導聯=2cos￡?(-sin&)?cosa+gcos28,25ina

'at/Z

極大值時需=0

故有tana=sin2d

由于都是斜面的夾角，即O<a<y,O<0<y

所以0=T

1.19將質量為m的質點豎直拋上于有阻力的媒質中.設阻

力與速度平方成正比，即R一滋法一如匕擲時的速度為孫，試

0%

18

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證此質點又落至投擲點時的速度為

解質點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向E

為正各方示意圖如題L19.1圖，則兩個過R

o

程的運動方程為：

V

上升：?ny七-mg-mk2gy2①

mg

卜降：-my=?mg卜mk1gy1②

卜.升時卜降時

對上升階段:普=r(i+//)

。

vl題1.19.1圖

dvdyv(Xv..o2\

---f=-\--r(z]+"d)

dAyd/dy

力du

即

1?k2v2

°vdvh

對兩邊積分gdy

,1+Jo

所以TH-ln(l+序痣)③

24g

即質點到達的高度.

對下降階段：

dvdy_vdv

g_k2gp2

dyd/dy

=fgd.y

即22

okv1Jh

h---3-ln(I-k2v^)

2Kg

由③=④可得

V]-L一—

JT-k2v1

1.20一槍彈以仰角。、初速為自傾角為3的斜面的下端發

射.試證了彈擊中斜面的地方和發射點的距離d（沿斜面曷取）及

吟19

-/

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此距離的最大值分別為

2

,2^(icosasin(a8)

“一gcos)/C

2-

,。02/凡世_\

dgx=坂s?(4.2)

解作子彈運動示意圖如題1.20.1圖所示.

水平方向不受外力，作勻速直線運動有

dcos/?=00cosa,t①

豎直方向作上拋運動,有

dsin8=?osina?r-1?、?/p>

由①得上=①必③題1.20.1圖

"0cosa

代人②化簡可得

,2痣cosasin(aB)

a~--------;—匚

gcos0

因為子彈的運動軌跡與發射時仰角a有關.即d是a的函數，所

以要求d的最大值.把d對a求導，求出極值點.

dd

-a

d—sinasin(Q-/3)+cosacos(a-S)J=0

即sinasin(&/?)七cosacos(。一/?)

cos(2a-3)=0

所以a=:代人”的表達式中可得,

42)

20

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此即為子彈擊中斜面的地方和發射點的距離d的最大值.

1.21將一質點以初速見拋出，如與水平線所成之角為

此質點所受到的空氣阻力為其速度的mk倍為質點的質量》

為比例常數.試求當此質點的速度與水平線所成之角又為a時所

需的時何，

題1.21.1圖

解由于阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻

在變化，但都在軌道上每點切線所在的直線方向上.故用自然坐標

比用直角坐標好.

軌道的切線方向上有：川拿二-〃z"-"igsinJ①

L

2

軌道的法線方向L：仃：〃?彳="CCS0②

由于3角是在減小的，故r=-若③

QU

由于初末狀態由速度與水平方向夾帶0來確定，故我們要想

法使①②變成關于。的等式.

dvdvd.sdv

由①—--3—=niv-r~

dfasdZds

即票~7nhp-"/gsinJ④

，（10R

把③代人②可得7,工廠-<⑤

_1_d/L'_H12；總E。

用①:-⑤可得

rd"gcobO

21

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11k1八?sint91八

-^dv=----7da+----^dO

vgcosuvcosu

dvkdO.sing1Z1

T--、-*°v

bCOS(7geos'tfVCOS-u

cosbd”一vsin6d6kdO

god￡

d(〃cos0)_kdO

即，兩邊積分可得

dcos%gcos*2(?

1

--tanJ+C⑥

vcosdg

代人初始條件Z=0時U=a,V=VQ,即可得

1

+—tana

VQCOSQg

代回⑥式，得

gv^cosa

⑦

cos^[kv^CQsa(tana-tant?)+g]

2

又.因為v-(±)r,tn-="igcos。

一d6-一gcosB

所以3「-----j二

-atV

把⑦代人⑧

g^ocosa

。=一gcosddt

cos0(kv()cosa(tana-tan8)+g]d

積分后即可得

￡=\"(1+2九00sina

1.22如向互相垂直的勻強電磁場￡、B中發射一電子，并

設電子的初速度V與E及B垂直.試求電子的運動規律.已知此

電子所受的力為《(E+yx8),式中E為電場強度,B為磁感應

強度，，為電子所帶的電荷，u為任?瞬時電子運動的速度.

解各量方向如題I.22J圖,電子所受力

22

理論力學教程-第三版.周衍柏.課后習題答案.總匯一一理論力學課后習題答案

I+vXB)

ijA：

--eEj+e%%;

I

00BI

=evylii+(eE-FUjB)j

則電子的運動微分方程為

"［、T=eVyLi=eBy

'fny~eE~eVjB~eE-eHr③

niz=0④

山廳''"j?dveB5.

由②》i-?；-JeB二■，即dv.—…dv

(it(itJv"iJ()'

_eB,,

Vy=—v+V⑤

m-

代人③整理可得

2o2

y+~~~~y~—(E-BV)⑥

“廣相

對于齊次方程q+嗎?=0的通解

rn

vAeB.eB

Yi=Aicos%~E+tA2sin—t

非齊次方程⑥的特解匕=券（一村）

所以非齊次方程⑥的通解

v—Y?+Yo=-4cos—L+Az^inJt(EBV)

12

.~TH?neB-

代人初始條件:￡=0時,、y=0得=

ELJ\nj

/-o時，入丁0得A2=O

7〃八「E\eBmVniE

故⑦

eB\B/hieB小~

同理，把⑦代人⑤川以解出

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E,eli

=￡斗生(vsin—t

BeB\r)\

（把⑦代人⑤

d.reB[mivE\elimVtnE"

山，」石(1一瓦4菽"4r，衣]

」上

才E\eBEn

-77cos—t*dt+7rde

±>/ni±>

V--sin——t+77f+C

BlmB

代人初條件￡=0時"=o,得c=o.所以

1.23在上題中，如

（a）8=0,則電子的軌道為在豎直平面（wy平面）的拋物線；

（b）如E=0,則電子的軌道為半徑等于綜1的圓,試證明之.

en

證（a）在1.22題中，當時，則電子運動受力F=eEj

電子的運動微分方程

(nix=0①

<myeE②

i7摸7)③

時②積分,V=—/+Ci①

m

對①再積分廠片戶g+Q

乂

（「一（jc2為?常數）

此即為摘物線方程.

（10當E-0時.

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則電廣受力上二"X6-CX