PAGE1-課時作業19反證法學問點一反證法的概念1.應用反證法推出沖突的推導過程中要把下列哪些作為條件運用()①結論相反推斷，即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結論．A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案C解析原結論不能作為條件運用．2．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析①錯誤，應為a≤b；②正確；③錯誤，應為三角形的外心在三角形內或三角形的邊上；④錯誤，應為三角形可以有2個或2個以上的鈍角.學問點二反證法的步驟3.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么假設的內容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一個不能被5整除答案B解析“a，b中至少有一個能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．4．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°相沖突，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一個三角形中不能有兩個直角．③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確依次的排列為________．答案③①②解析反證法的步驟是：先假設命題不成立，然后通過推理得出沖突，最終否定假設，得到命題是正確的．故填③①②.學問點三用反證法證明命題5.若a，b，c均為實數，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求證：a，b，c中至少有一個大于0.證明假設a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0沖突，故a，b，c中至少有一個大于0.6．用反證法證明：若函數f(x)在區間[a，b]上是增函數，那么方程f(x)＝0在區間[a，b]上至多只有一個實數根．證明假設方程f(x)＝0在區間[a，b]上至少有兩個實根，設α，β為它的兩個實根，則f(α)＝f(β)＝0.因為α≠β，不妨設α＜β，又因為函數f(x)在[a，b]上是增函數，所以f(α)<f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0沖突．所以方程f(x)＝0在區間[a，b]上至多只有一個實根．一、選擇題1．用反證法證明結論為“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的命題時，應假設()A．a，b，c都是奇數B．a，b，c都是偶數C．a，b，c中至少有兩個偶數D．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數答案D解析假設結論不成立時應考慮全部狀況，故選D.2．有以下結論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的肯定值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的肯定值大于或等于1，即假設|x1|≥1.下列說法中正確的是()A．①與②的假設都錯誤B．①與②的假設都正確C．①的假設正確；②的假設錯誤D．①的假設錯誤；②的假設正確答案D解析用反證法證題時肯定要將對立面找準．在①中應假設p＋q＞2.故①的假設是錯誤的，而②的假設是正確的．3．設a，b，c∈(－∞，0)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個不大于－2D．至少有一個不小于－2答案C解析假設都大于－2，則a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＞－6，但eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，沖突．4．設a，b，c均為正實數，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時大于0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析首先，若P，Q，R同時大于0，則必有PQR＞0成立．其次，若PQR＞0，且P，Q，R不都大于0，則必有兩個為負，不妨設P＜0，Q＜0，即a＋b－c＜0，b＋c－a＜0，所以b＜0，與b＞0沖突．故P，Q，R都大于0.5．假如△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形答案D解析因為正弦值在(0°，180°)內是正值，所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設△A2B2C2也是銳角三角形，并設cosA1＝sinA2，則cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理設cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，所以(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.這與三角形內角和等于180°沖突，所以原假設不成立．故選D.二、填空題6．命題“a，b是實數，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，則a＝b＝－1”，用反證法證明該命題時應假設________．答案a≠－1或b≠－1解析a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1或b≠－1.7．下列命題適合用反證法證明的是________．①已知函數f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，證明：方程f(x)＝0沒有負實數根；②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求證：eq\f(1＋x,y)和eq\f(1＋y,x)中至少有一個小于2；③關于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；④同一平面內，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交．答案①②③④解析①是“否定性”命題；②是“至少”類命題；③是“唯一性”命題，且題中條件較少；④不易干脆證明，因此四個命題都適合用反證法證明．故填①②③④.8．有甲、乙、丙、丁四位歌手參與競賽，其中只有一位獲獎．有人采訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是真的，則獲獎的歌手是________．答案丙解析假設甲獲獎，則四人說的都是假話，與已知沖突；假設乙獲獎，則甲、乙、丁說的都是真話，與已知沖突；假設丙獲獎，則甲和丙說的都是真話，乙和丁說的都是假話，與已知相符；假設丁獲獎，則甲、丙、丁說的都是假話，與已知沖突；從而可得獲獎的歌手是丙．三、解答題9．設函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均為整數，且f(0)，f(1)均為奇數，求證：f(x)＝0無整數根．證明假設f(x)＝0有整數根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均為奇數，即c為奇數，a＋b為偶數，則a，b，c同時為奇數，或a，b同時為偶數，c為奇數，當n為奇數時，an2＋bn為偶數；當n為偶數時，an2＋bn也為偶數，即an2＋bn＋c為奇數，與an2＋bn＋c＝0沖突．所以f(x)＝0無整數根．10．給定實數a，a≠0且a≠1，設函數y＝eq\f(x－1,ax－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x∈R且x≠\f(1,a)))，證明：經過這個函數圖象上隨意兩個不同點的直線不平行于x軸．證明設M1(x1，y1