第35講圓錐曲線基礎過關小題【知識點總結】一．橢圓的定義平面內與兩個定點的距離之和等于常數（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注明：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在.二．橢圓的方程、圖形與性質橢圓的方程、圖形與性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統一方程參數方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長短軸長長軸長短軸長對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱焦點、、焦距離心率點和橢圓的關系通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設直線與橢圓的兩個交點為，,,則弦長（其中是消后關于的一元二次方程的的系數，是判別式）三、雙曲線的定義平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為.注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.（2）當時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當時，點的軌跡是線段的垂直平分線.（3）時，點的軌跡不存在.在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應用.四、雙曲線的方程、圖形及性質雙曲線的方程、圖形及性質.標準方程圖形yxyxB1B2F2A2AA1FF1B1F1B1F1xyA1F2B2A2焦點坐標，，對稱性關于，軸成軸對稱，關于原點成中心對稱頂點坐標，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關系共漸近線的雙曲線方程弦長公式設直線與雙曲線兩交點為，，.則弦長，，其中“”是消“”后關于“”的一元二次方程的“”系數.通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為五、拋物線的定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線.注若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.六、拋物線的方程、圖形及性質拋物線的標準方程有4種形式：，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標準方程yxyxOFlyxyxOFlFyFyxOl圖形yyxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標準線方程三、拋物線中常用的結論1.點與拋物線的關系（1）在拋物線內（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2.焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3.的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大.4.焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結論不正確的是（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線例3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三期末（文））等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與拋物線的準線交于A、B兩點，，則的實軸長為（）A． B． C．4 D．8（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若，則有（）A．漸近線方程為 B．C． D．漸近線方程為（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習）以下說法正確的是（）A．橢圓的長軸長為4，短軸長為B．離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁C．橢圓的焦點在軸上且焦距為2D．橢圓的離心率為（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習）若橢圓：的一個焦點坐標為，則下列結論中正確的是（）A． B．的長軸長為 C．的短軸長為 D．的離心率為（多選題）例7．（2022·全國·高三專題練習）已知F1，F2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經過點P，則（）A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1C．點P的橫坐標為±1D．△PF1F2的面積為（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習）已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（）A． B． C． D．例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三期末（文））過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，若兩點的橫坐標之和為5，則___________.例10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________．【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知為橢圓上一點，若到一個焦點的距離為1，則到另一個焦點的距離為（）A．3 B．5 C．8 D．122．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左右焦點分別是，，橢圓上任意一點到，的距離之和為4，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若線段的長為3，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（）A． B．6 C．4 D．4．（2022·全國·高三專題練習（文））已知橢圓，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）設是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于A．4 B．5 C．8 D．106．（2022·浙江·高三專題練習）若動點始終滿足關系式，則動點M的軌跡方程為（）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）設圓的圓心為，點是圓內一定點，點為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為（）A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓C交于A，B兩點．若的周長為8，則橢圓方程為（）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A．6 B． C．8 D．10．（2022·浙江·高三專題練習）已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習）已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．12．（2022·全國·高三專題練習）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是（）A． B． C．， D．13．（2022·全國·高三專題練習）下列四個橢圓中，形狀最扁的是（）A． B． C． D．14．（2022·重慶·模擬預測）已知橢圓的一個焦點坐標為，則（）A．1 B．2 C．5 D．915．（2022·全國·高三專題練習）若直線x－2y＋2＝0經過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為（）A．＋y2＝1 B．＋y2＝1C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正確16．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．17．（2022·全國·高三專題練習）過點(－3，2)且與有相同焦點的橢圓方程是（）A． B．C． D．18．（2022·浙江·高三專題練習）已知橢圓過點和點，則此橢圓的標準方程是（）A． B．或C． D．以上都不對19．（2022·浙江·高三專題練習）已知點是橢圓上的一點，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．20．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：經過點，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．21．（2022·上海·高三專題練習）若橢圓的焦點在軸上，焦距為，且經過點，則該橢圓的標準方程為A． B． C． D．22．（2022·全國·高三專題練習）一個橢圓中心在原點，焦點，在軸上，是橢圓上一點，且、、成等差數列，則橢圓方程為A． B． C． D．23．（2022·全國·高三專題練習）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程是（）A． B． C． D．24．（2022·全國·高三專題練習（文））橢圓與關系為（）A．有相等的長軸長 B．有相等的離心率C．有相同的焦點 D．有相等的焦距25．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．26．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．27．（2022·全國·高三專題練習）已知F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．28．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，則實數m的值是（）A． B．C． D．29．（2022·全國·高三專題練習（文））已知是橢圓的左右焦點，橢圓上一點M滿足：，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．30．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別是，，直線與橢圓交于，兩點，，且，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．31．（2022·全國·高三專題練習（理））雙曲線上一點P到一個焦點的距離為4，則P到另一個焦點的距離為（）A．20 B．16 C．12 D．832．（2022·全國·高三專題練習）已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．433．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左右焦點為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．34．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B．C． D．35．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的方程為，則下列關于雙曲線說法正確的是（）A．虛軸長為4 B．焦距為C．離心率為 D．漸近線方程為36．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．37．（2022·全國·高三專題練習）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A． B． C． D．38．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線：的右焦點，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于.兩點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的標準方程為（）A． B． C． D．39．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C的離心率，虛軸長為，則其標準方程為（）A． B．或C． D．或40．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．41．（2022·全國·高三專題練習（文））雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為（）A． B． C．2 D．442．（2022·上海·高三專題練習）若拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，則n的值為（）A． B．1 C．2 D．1343．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線：的漸近線方程為，則的焦距等于（）A． B．2 C． D．444．（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線與雙曲線有相同的焦點.則的漸近線方程為（）A． B．C． D．45．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．46．（2022·全國·高三專題練習）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個焦點與虛軸的一個端點構成的三角形的面積為（）A． B． C．6 D．847．（2022·浙江·高三專題練習）若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為（）A． B． C． D．48．（2022·全國·高三專題練習）直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為（）A．4 B．8 C． D．49．（2022·上海·高三專題練習）設雙曲線的頂點坐標為，焦點坐標為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．和 B．和C．和 D．和50．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．51．（2022·全國·高三專題練習）漸近線方程為的雙曲線的離心率是A． B．1C． D．252．（2022·全國·高三專題練習）若雙曲線C：的一條漸近線與直線平行，則m的值為（）A．4 B． C．2 D．53．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B． C． D．54．（2022·全國·高三專題練習（文））設，為雙曲線：的兩個焦點，若雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．55．（2022·全國·高三專題練習（理））雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．56．（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點，是的焦點，，則（）A．2 B．3 C．6 D．957．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三期末（文））在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，點在拋物線上，則的長為（）A．2 B．3 C．4 D．558．（2022·全國·高三專題練習）拋物線上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標為（）A． B． C． D．59．（2022·江蘇·高三專題練習）已知拋物線：（）的焦點為，點是上的一點，到直線的距離是到的準線距離的2倍，且，則（）A．4 B．6 C．8 D．1060．（2022·全國·高三專題練習）已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．61．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線C：y2＝2px（p>0）上一點M（6，y）到焦點F的距離為8，則p＝（）A．1 B．2 C．3 D．462．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為是C上一點，，則（）A．1 B．2 C．4 D．863．（2022·全國·高三專題練習（理））若拋物線（）上一點到其焦點的距離為2，則（）A． B． C． D．64．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點的拋物線的標準方程為（）A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x65．（2022·全國·高三專題練習（理））已知拋物線，過焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，則弦的中點到準線的距離為（）A． B． C． D．66．（2022·江蘇·高三專題練習）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．67．（2022·全國·高三專題練習）已知F是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝（）A．16 B．4C． D．68．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點為（4，2），則該雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．269．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點坐標為(1，2)，則直線l的方程（）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0二、多選題70．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別是橢圓的左，右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結論正確的是（）A．的周長為10B．面積的最大值為C．當時，的面積為D．存在點P使得71．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線C的方程為（且），則下列結論正確的是（）A．當時，曲線C是焦距為4的雙曲線B．當時，曲線C是離心率為的橢圓C．曲線C可能是一個圓D．當時，曲線C是漸近線方程為的雙曲線72．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線的方程為，則下列結論正確的是（）A．當，曲線為橢圓B．當時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件D．不存在實數使得曲線為離心率為的雙曲線73．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，點)在拋物線上，若，則（）A． B．C． D．的坐標為74．（2022·全國·高三專題練習）[多