PAGE1-5．1.2數據的數字特征考點學習目標核心素養基本數字特征理解數據的基本數字特征：最值、平均數、中位數、百分位數、眾數、極差、方差與標準差等數據分析數字特征的應用會用數字特征解決相關問題數學運算問題導學預習教材P61－P67的內容，思索以下問題：1．數據的數字特征主要有哪些？2．實際問題是如何用數字特征刻畫的？3．方差與標準差有什么關系？1．最值一組數據的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反應的是這組數最極端的狀況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．2．平均數(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xi＝nt；其中符號“∑”表示求和，讀作“西格瑪”.(2)求和符號的性質：①eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,)xi＋eq\i\su(i＝1,n,)yi；②eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,)xi；③eq\i\su(i＝1,n,)t＝nt；④eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b)＝aeq\o(x,\s\up6(－))＋b．3．中位數、百分位數(1)假如一組數有奇數個數，且依據從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數的中位數；假如一組數有偶數個數，且依據從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數的中位數．(2)設一組數依據從小到大排列后為x1，x2，x3，…，xn，計算i＝np%的值，假如i不是整數，設i0為大于i的最小整數，取xi0為p%分位數；假如i是整數，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數．特殊地，規定：0分位數是x1(即最小值)，100%分位數是xn(即最大值)．4．眾數一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數．5．極差、方差與標準差(1)極差：一組數的極差指的是這組數的最大值減去最小值所得的差．(2)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2．(3)假如a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)方差的算術平方根為標準差．標準差描述了數據相對于平均數的離散程度．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)中位數是一組數據中間的數．()(2)眾數是一組數據中出現次數最多的數．()(3)一組數據的標準差越小，數據越穩定，且穩定在平均數旁邊．()答案：(1)×(2)√(3)√奧運會體操競賽的計分規則為：當評委亮分后，其成果先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分數的平均值，這是因為()A．削減計算量 B．避開故障C．剔除異樣值 D．活躍賽場氣氛解析：選C.因為在體操競賽的評分中運用的是平均分，記分過程中采納“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分數對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公允．已知一組數據4，6，5，8，7，6，那么這組數據的平均數為________，25%分位數為________．答案：65樣本中共有5個個體，其值分別為a，0，1，2，3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________．解析：由題意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以樣本方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2利用概念求平均數、中位數、眾數某電冰箱專賣店出售容積為182L、185L、228L、268L四種型號的同一品牌的冰箱，每出售一臺，售貨員就做一個記錄，月底得到一組由15個268，66個228，18個185和11個182組成的數據．(1)這組數據的平均數有實際意義嗎？(2)這組數據的中位數、眾數分別是多少？(3)專賣店總經理關切的是中位數還是眾數？【解】(1)這組數據的平均數沒有實際意義，對專賣店經營沒有任何參考價值．(2)這組數據共有110個，中位數為228，眾數為228.(3)專賣店總經理最關切的是眾數，眾數是228，說明容積為228L型號的冰箱銷售量最大，它能為專賣店帶來較多的利潤，所以這種型號的冰箱要多進些．eq\a\vs4\al()一組數據中出現次數最多的數據是眾數，它是我們關切的一種集中趨勢，通常選擇眾數進行決策．若數據3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位數是3.5，則其眾數是________，平均數是________．解析：由題意eq\f(x＋3.4,2)＝3.5，x＝3.6，所以眾數是3.2，平均數是eq\f(1,6)(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5.答案：3.23.5利用三數——平均數、眾數、中位數解決問題某校欲聘請一名數學老師，學校對甲、乙、丙三位候選人進行了三項實力測試，各項測試成果滿分均為100分，依據結果擇優錄用．三位候選人的各項測試成果如下表所示：測試項目測試成果甲乙丙教學實力857373科研實力707165組織實力647284(1)假如依據三項測試的平均成果，誰將被錄用，說明理由；(2)依據實際須要，學校將教學、科研和組織三項實力測試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成果，誰將被錄用，說明理由．【解】(1)甲的平均成果為：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成果為：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成果為：(73＋65＋84)÷3＝74，所以候選人丙將被錄用．(2)甲的測試成果為：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的測試成果為：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的測試成果為：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，所以候選人甲將被錄用．eq\a\vs4\al()5、3、2即各個數據的“權”，反映了各個數據在這組數據中的重要程度，按加權平均數來錄用．小王數學成果分別為：測驗一得89分，測驗二得78分，測驗三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，假如依據平常、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王該學期的總評成果應當為多少？解：小王平常測試的平均成果eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(89＋78＋85,3)＝84(分)．所以eq\f(84×10%＋90×30%＋87×60%,10%＋30%＋60%)＝87.6(分)．所以小王該學期的總評成果應當為87.6分．極差、方差與標準差某社區打算在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參與集訓，兩人各射了5箭，他們的總成果(單位：環)相同，小宇依據他們的成果繪制了尚不完整的統計圖表，并計算了甲成果的平均數和方差(見小宇的作業)．小宇的作業：解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(9＋4＋7＋4＋6)＝6，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]＝eq\f(1,5)(9＋4＋1＋4＋0)＝3.6.甲、乙兩人射箭成果統計表第1次第2次第3次第4次第5次甲成果94746乙成果757a7(1)a＝________；eq\o(x,\s\up6(－))乙＝________；(2)請完成圖中表示乙成果改變狀況的折線；(3)①視察圖，可看出________的成果比較穩定(填“甲”或“乙”)．參照小宇的計算方法，計算乙成果的方差，并驗證你的推斷．②請你從平均數和方差的角度分析，誰將被選中．【解】(1)由題意得：甲的總成果是：9＋4＋7＋4＋6＝30，則a＝30－7－7－5－7＝4，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝30÷5＝6，故答案為：4，6；(2)如圖所示：(3)①視察圖，可看出乙的成果比較穩定，故答案為：乙；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6，由于seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,甲)，所以上述推斷正確．②因為兩人成果的平均水平(平均數)相同，依據方差得出乙的成果比甲穩定，所以乙將被選中．eq\a\vs4\al()此題主要考查了方差的定義以及折線圖和平均數的意義，依據已知得出a的值進而利用方差的意義比較穩定性即可．某工廠甲、乙兩名工人參與操作技能培訓．現分別從他們在培訓期間參與的若干次測試成果中隨機抽取8次，數據如下(單位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你計算這兩組數據的平均數、中位數；(2)現要從中選派一人參與操作技能競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參與合適？請說明理由．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙兩組數據的中位數分別為83分、84分．(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85分，所以seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①從平均數看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數看，乙的中位數大于甲，乙的成果好于甲；③從方差來看，因為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成果較穩定；④從數據特點看，獲得85分以上(含85分)的次數，甲有3次，而乙有4次，故乙的成果好些；⑤從數據的改變趨勢看，乙后幾次的成果均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力．綜上分析可知，甲的成果雖然比乙穩定，但從中位數、獲得好成果的次數及發展勢頭等方面分析，乙具有明顯優勢，所以應派乙參賽更有望取得好成果．1．已知一組數據2，1，x，7，3，5，3，2的眾數是2，則這組數據的中位數是()A．2 B．2.5C．3 D．5解析：選B.由眾數的意義可知x＝2，然后依據從小到大的依次排列這組數據，則中位數應為eq\f(2＋3,2)＝2.5.2．已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是eq\f(1,3)，那么另一組數據3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均數和方差分別為()A．2，eq\f(1,3) B．2，1C．4，eq\f(2,3) D．4，3答案：D3．樣本101，98，102，100，99的標準差為()A.eq\r(2) B．0C．1 D．2解析：選A.樣本平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝100，方差為s2＝2，所以標準差s＝eq\r(2)，故選A.4.eq\i\su(i＝1,5,)（2i－1）＝.解析：eq\i\su(i＝1,5,)(2i－1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．甲、乙兩人競賽射飛鏢，兩人所得的平均環數相同，其中甲所得環數的方差為13，乙所得環數如下：2，5，6，9，8，則成果比較穩定的是________．解析：由題意知eq\o(x,\s\up6(－))乙＝6，seq\o\al(2,乙)＝6<seq\o\al(2,甲)，則乙的成果比較穩定．答案：乙[A基礎達標]1．已知一組數據3，a，4，5的眾數為4，則這組數據的平均數為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B.由數據3，a，4，5的眾數為4，可得a為4，再求這組數據3，4，4，5的平均數為4.2．小華所在的年級一班共有50名學生，一次體檢測量了全班學生的身高，由此求得該班學生的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，則下列說法錯誤的是()A．1.65米是該班學生身高的平均水平B．班上比小華高的學生人數不會超過25人C．這組身高數據的中位數不肯定是1.65米D．這組身高數據的眾數不肯定是1.65米解析：選B.本題考查了一組數據中中位數、平均數、眾數的概念及三者的取法，由平均數所反映的意義知A選項正確，由中位數與平均數的關系確定C選項正確，由眾數與平均數的關系確定D選項正確，由于平均數受一組數據中的極大、小值的影響，故B選項錯誤．3．某排球隊12名隊員的年齡如下表所示：年齡/歲1819202122人數/人14322則該隊隊員年齡的眾數與中位數分別是()A．19歲，19歲 B．19歲，20歲C．20歲，20歲 D．20歲，22歲解析：選B.由眾數的定義可知，數據19出現的次數最多達4次，12個數據中，由小到大排列后第6個與第7個位置上的數都是20，這兩個數的平均數也是20.所以該隊隊員年齡的眾數與中位數分別是19歲，20歲．4．已知一組數據：12，5，9，5，14，則下列說法不正確的是()A．平均數是9 B．中位數是9C．眾數是5 D．極差是5解析：選D.數據描述類的題目，主要考查了平均數、中位數、眾數、極差的計算，題目數據比較簡潔，先從簡潔的眾數入手，C是正確的，其次從小到大排列5，5，9，12，14，B是正確的，再算平均數，所以A也正確，故選擇D.5．現有10個數，其平均數為3，且這10個數的平方和是100，那么這組數據的標準差是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.由s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，即標準差s＝1.6．某校為了豐富校內文化，實行初中生書法大賽，決賽設置了6個獲獎名額，共有11名選手進入決賽，選手決賽得分均不相同．若知道某位選手的決賽的得分，要推斷他是否獲獎，只需知道這11名學生決賽得分的()A．中位數 B．平均數C．眾數 D．方差解析：選A.由中位數的概念，即最中間一個或兩個數據的平均數；可知11人成果的中位數是第6名的得分．依據題意可得：參賽選手要想知道自己是否能進入前6名，只須要了解自己的得分以及全部得分的中位數，比較即可．7．某高校有甲、乙兩個數學建模愛好班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則該校數學建模愛好班的平均成果是________分．解析：由題意得，該校數學建模愛好班的平均成果是eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分)．答案：858．某住宅小區6月份隨機抽查了該小區6天的用水量(單位：噸)，結果分別是30、34、32、37、28、31，那么，請你估計該小區6月份(30天)的總用水量約是________噸．解析：(30＋34＋…＋31)÷6＝32，所以估計該小區6月份(30天)的總用水量約是32×30＝960(噸)．答案：9609．某學校抽查了某班級某月5天的用電量，數據如下表(單位：度)：度數91011天數311(1)求這5天用電量的平均數；(2)求這5天用電量的眾數、中位數；(3)學校共有36個班級，若該月按22天計，試估計該校該月的總用電量．解：(1)因為(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6，所以這個班級5天用電量的平均數為9.6度．(2)眾數是9度，中位數是9度．(3)因為9.6×36×22＝7603.2，所以估計該校該月的總用電量為7603.2度．10．甲、乙兩名射擊運動員參與某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成果如下表(單位：環)．甲108999乙1010799假如甲、乙兩人只有1人入選，你認為應如何選擇？解：甲的平均數為：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(10＋8＋9＋9＋9)＝9.乙的平均數為：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(10＋10＋7＋9＋9)＝9.甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(8－9)2]＝eq\f(2,5).乙的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2]＝eq\f(6,5).甲、乙兩人平均數相同，但seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，說明乙的波動性大，故應讓甲入選．[B實力提升]11．(2024·湖南省張家界市期末聯考)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9，(x，y∈N)，已知這組數據的平均數為10，方差為2，則|x－y|的值為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選A.由這組數據的平均數為10，方差為2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因為不要干脆求出x、y，只要求出|x－y|，設x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.故選A.12．在發生某公共衛生事務期間，有專業機構認為該事務在一段時間沒有發生規模群體感染的標記為“連續10天，每天新增疑似病例不超過7人”．依據過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，肯定符合該標記的是()A．甲地：總體均值為3，中位數為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數為2，眾數為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為3解析：選D.依據信息可知，連續10天內，每天的新增疑似病例不能有超過7的數，選項A中，中位數為4，可能存在大于7的數；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，假如數目太大，也有可能存在大于7的數；選項D中，依據方差公式，假如有大于7的數存在，那么方差不會為3，故選D.13．一個樣本數據按從小到大的依次排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，中位數為22，則x＝________．解析：由題意知eq\f(x＋23,2)＝22，則x＝21.答案：2114．對劃艇運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度(m/s)的數據如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.依據以上數據，試推斷他們誰更優秀．解：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝eq\f(198,6)＝33，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈15.7；eq