PAGE1-第十章概率[A基礎達標]1．老師為探討男女同學數學學習的差異狀況，對某班50名同學(其中男同學30名，女同學20名)實行分層隨機抽樣的方法，抽取一個容量為10的樣本進行探討，則女同學甲被抽到的概率為()A.eq\f(1,50) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,4)解析：選C.因為在分層隨機抽樣中，任何個體被抽到的概率均相等，所以女同學甲被抽到的概率P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故應選C.2．由閱歷得知，在人民商場付款處排隊等候付款的人數及其概率如下：排隊人數012345人及以上概率0.110.160.30.290.10.04則至多有2人排隊的概率為()A．0.3 B．0.43C．0.57 D．0.27解析：選C.記“沒有人排隊”為事務A，“1人排隊”為事務B，“2人排隊”為事務C，A、B、C彼此互斥．記“至多有2人排隊”為事務E，則P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.3．一個三位數的百位，十位，個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當a>b，b<c時稱為“凹數”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數為“凹數”的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,24)C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,24)解析：選C.由1，2，3組成的三位數有123，132，213，231，312，321，共6個；由1，2，4組成的三位數有124，142，214，241，412，421，共6個；由1，3，4組成的三位數有134，143，314，341，413，431，共6個；由2，3，4組成的三位數有234，243，324，342，432，423，共6個．所以共有6＋6＋6＋6＝24個三位數．當b＝1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數”；當b＝2時，有324，423，共2個“凹數”．所以這個三位數為“凹數”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).4．四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的一枚硬幣，全部人同時拋出自己的硬幣．若落在圓桌上時硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人接著坐著．那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(7,16)C.eq\f(1,2) D.eq\f(9,16)解析：選B.拋四枚硬幣，總的結果有16種，“沒有相鄰的兩個人站起來”記為事務A，可分為三類：一是沒有人站起來，只有1種結果：二是1人站起來，有4種結果；三是有2人站起來，可以是AC或BD，有2種結果．所以滿意題意的結果共有1＋4＋2＝7種結果，P(A)＝eq\f(7,16).故選B.5．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產狀況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是甲級品的概率為________．解析：記抽檢的產品是甲級品為事務A，是乙級品為事務B，是丙級品為事務C，這三個事務彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.答案：0.926．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．解析：甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍、白紅、白白、白藍、藍紅、藍白、藍藍9種，其中顏色相同的有3種，所以所求概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．加工某一零件需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．解析：依題意得，加工出來的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出來的零件的次品率是1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)8．設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27，9，18.現采納分層隨機抽樣的方法從三個協會中抽取6名運動員組隊參與競賽．(1)求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數；(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現從這6名運動員中隨機抽取2人參與雙打競賽．(ⅰ)用所給編號列出全部可能的結果；(ⅱ)設A為事務“編號A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事務A發生的概率．解：(1)應從甲、乙、丙三個協會中抽取的運動員人數分別為3，1，2.(2)(ⅰ)從6名運動員中隨機抽取2人參與雙打競賽的全部可能結果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．(ⅱ)編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的全部可能結果為(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共9種．因此，事務A發生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).9．(2024·江西省臨川第一中學期末考試)某學校為了解其下屬后勤處的服務狀況，隨機訪問了50名教職工，依據這50名教職工對后勤處的評分狀況，繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數據分組區間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)估計該學校的教職工對后勤處評分的中位數(結果保留到小數點后一位)；(2)從評分在[40，60)的受訪教職工中，隨機抽取2人，求此2人中至少有1人對后勤處評分在[50，60)內的概率．解：(1)由頻率分布直方圖，可知(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.設該學校的教職工對后勤處評分的中位數為x0，有(0.004＋0.006＋0.022)×10＋0.028·(x0－70)＝0.5，解得x0≈76.4(分)，故該學校的教職工對后勤處評分的中位數約為76.4.(2)由頻率分布直方圖可知，受訪教職工評分在[40，50)內的人數為0.004×10×50＝2(人)，受訪教職工評分在[50，60)內的人數為0.006×10×50＝3(人)．設受訪教職工評分在[40，50)內的兩人分別為a1，a2，在[50，60)內的三人分別為b1，b2，b3，則從評分在[40，60)內的受訪教職工中隨機抽取2人，其樣本點有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10個，其中2人評分至少有一人在[50，60)內的樣本點有9個，故2人評分至少有1人在[50，60)內的概率為eq\f(9,10).[B實力提升]10．(2024·汕頭模擬)甲、乙兩人參與“社會主義價值觀”學問競賽，甲、乙兩人獲得一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,12)解析：選D.依據題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).故選D.11．若某公司從五位高校畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：選D.記事務A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，樣本點有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10個，而事務A的對立事務eq\o(A,\s\up6(－))僅有(丙，丁，戊)一種可能，所以事務A的對立事務eq\o(A,\s\up6(－))的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10)，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(9,10).故選D.12．甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條，則這2條棱相互垂直的概率為()A.eq\f(22,81) B.eq\f(37,81)C.eq\f(44,81) D.eq\f(59,81)解析：選C.由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的事務是甲從這9條棱中任選一條，乙從這9條棱中任選一條，共有9×9＝81(種)結果，滿意條件的事務是這2條棱相互垂直，全部可能狀況是當甲選底面上的一條直角邊時，乙有5種選法，共有4條直角邊，則共有20種結果；當甲選底面上的一條斜邊時，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊，則共有6種狀況；當甲選一條側棱時，乙有6種選法，共有3條側棱，則共有18種結果．綜上所述，共有20＋6＋18＝44(種)結果，故這2條棱相互垂直的概率是eq\f(44,81).13．(2024·廣東省東莞市調研測試)某電商在雙十一搞促銷活動，顧客購滿5件獲得積分30分(不足5件不積分)，每多買2件再積20分(不足2件不積分)，比如某顧客購買了12件，則可積90分．為了解顧客積分狀況，該電商在某天隨機抽取了1000名顧客，統計了當天他們的購物數額，并將樣本數據分為[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九組，整理得到如圖頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)從當天購物數額在[13，15)，[15，17)的顧客中按分層隨機抽樣的方法抽取6人．那么，從這6人中隨機抽取2人，求這2人積分之和不少于240分的概率．解：(1)各組的頻率分別為0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，所以0.04＋0.06＋2a＋2a＋6a＋0.2＋2a＋0.08＋0.02＝1，化簡得12a＝0.6，解得a＝0.05.(2)按分層隨機抽樣的方法在[13，15)內應抽取4人，記為A，B，C，D，每人的積分是110分；在[15，17)內應抽取2人，記為a，b，每人的積分是130分；從6人中隨機抽取2人，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)共15個樣本點，其中這2人的積分之和不少于240分的有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)共9個樣本點；所以從6人中隨機抽取2人，這2人的積分之和不少于240分的概率為P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).[C拓展探究]14．某種植園在芒果接近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(單位：克)中，經統計的頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計這組數據平均數；(2)現按分層隨機抽樣從質量為[200，250)，[250，300)的芒果中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取2個，求這2個芒果都來自同一個質量區間的概率；(3)某經銷商來收購芒果，以各組數據的中間數代表這組數據的平均值，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經銷商提出以下兩種收購方案：方案①：全部芒果以9元/千克收購；方案②：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，對質量高于或等于250克的芒果以3元/個收購．通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多．解：(1)由頻率分布直方圖知，這組數據的平均數eq\o(x,\s\up6(－))≈0.07×125＋0.15×17