1第七章扭轉2第七章扭轉§7–1扭轉的概念和工程實際中的扭轉問題§7–2扭轉時的內力§7–3切應力互等定理與剪切胡克定律§7–4圓軸扭轉時的應力§7–5圓軸扭轉時的變形3軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿、車床的光桿、攪拌機軸、汽車傳動軸等。§7–1扭轉的概念和工程實際中的扭轉問題FFMAB4扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發生的變形為扭轉變形。ABOmm

OBA

機床傳動軸、電動機主軸、水輪機主軸除扭轉變形外還有彎曲變形，屬于組合變形。5工程實例6外力偶矩如何施加？如果想獲得再大的力矩怎么辦？7一、傳動軸的外力偶矩§7–2扭轉時的內力1分鐘輸入功：1分鐘m作功：8感興趣的同學到電商網站去了解：不同型號的電機參數是否如公式所示？到車展去了解：不同型號汽車的動力配置參數如何給出？9其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉速，轉/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉速，轉/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS傳動軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系：10二、扭矩及扭矩圖

1.扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。

2.截面法求扭矩mmmTx3.扭矩的符號規定：右手螺旋規則為正，反之為負。指向截面離開截面取右側如何？114扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。

目的①扭矩變化規律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT

12[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4請同學們獨立思考，自行完成！13解：①計算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4xT4.789.566.37

––14§7–3切應力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、薄壁圓筒扭轉時的切應力1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。152.實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。16

（1）橫截面上無正應力（2）包含軸線的縱向截面上無正應力（3）橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的切應力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。表明：薄壁圓筒切應力

大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。

m17二、切應力互等定理

上式稱為切應力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

左右兩橫截面的切應力是直觀的，形成了力偶，為使單元體平衡，上下面必須有切應力。18三、剪切虎克定律：

單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。

與的關系：19

T=m

剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。20

式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，例如：鋼材的G值約為80GPa。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下列關系（推導詳見后面章節）：

可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。21等直圓桿橫截面應力①變形幾何方面②物理關系方面③靜力學方面一、圓軸扭轉實驗觀察：§7–4圓軸扭轉時的應力22①各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③變形前表面的方格變形后錯動成菱形。根據觀察到的現象，可以假設：①變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小均不改變，半徑仍為直線；②變形后，相鄰兩截面間的距離不變，僅剛性的轉過了一個角度。此假設稱為圓軸扭轉的平面假設。實驗后：23二、圓軸扭轉時橫截面上的應力：1.變形幾何關系：24距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比。——扭轉角沿長度方向變化率。

同一截面為常數！25Ttmaxtmax2.物理關系：虎克定律：代入上式得：263.靜力學關系：TOdA

令代入物理關系式得：27橫截面上某點切應力該點到圓心的距離該截面扭矩該截面極慣性矩代入，可得橫截面上距圓心為

處任一點剪應力計算公式：284.公式討論：僅適用于等直圓桿，但對橫截面沿軸線變化緩慢（小錐度圓形桿）可近似用該公式；僅適用于的情況。②式中：

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。29對于實心圓截面：D

d

O思考一下，對于空心圓截面有什么變化？30對于空心圓截面：dDO

d

31④應力分布tmaxtmaxT（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。Ttmaxtmax（實心截面）32⑤確定最大剪應力：由知：當Wt—抗扭截面系數（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：33例2圖示空心圓軸外徑D=100mm，內徑d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切彈性模量G=80GPa.(1)畫軸的扭矩圖；(2)求軸的最大切應力，并指出其位置.M1M2ABCll解：(1)軸的扭矩圖4kN·m2kN·m+_Tx34T（2）求軸的最大切應力，并指出其位置

max最大切應力發生在截面的周邊上，且垂直于半徑.M1M2ABCll

max35三、圓軸扭轉時的斜截面的應力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。361.點M的應力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應力；取分離體如圖(d)：(d)

t′t

tasax37(d)

t′t

tasaxnt轉角規定：軸正向轉至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：38分析：當

=0°時，當

=45°時，當

=–45°時，當

=90°時，tt′smaxsmin45°

由此可見：圓軸扭轉時，在橫截面和縱截面上的剪應力為最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據這一結論，就可解釋前述的破壞現象。39低碳鋼試件沿橫截面斷開。鑄鐵試件沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。40四、圓軸扭轉時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([

]

稱為許用剪應力。)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：41解：作軸的扭矩圖ABCMAMBMC分別校核兩段軸的強度例3圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑

d2=100mm.扭轉力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的許用切應力[

]=80MPa，試校核該軸的強度.因此，該軸滿足強度要求.22kN·m14kN·m+_T42例4功率為150kW，轉速為15.4轉/秒的電動機轉子軸如圖，許用剪應力[

]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應力強度③此軸滿足強度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx43§7–5圓軸扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉角

為GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。44

對于變剛度的階梯軸，且在不同段扭矩為常數的情況下，兩端截面的相對扭轉角：

對于傳動軸，有時即使滿足了強度條件，還不一定能保證它正常工作。例如：機器的傳動軸如有過大的扭轉角，將會使機器在運轉中產生較大的振動；精密機床上的軸若變形過大，則將影響機器的加工精度等。因此對傳動軸的扭轉變形要加以限制。45三、剛度條件或[]稱為許用單位扭轉角。或二、單位扭轉角

：

在軸長l的范圍內T為常量，且圓軸的橫截面不變，則：46剛度計算的三方面：①校核剛度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據此條件進行選材。47例5某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應力

[

]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DdtMM48解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉矩軸的內，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM強度足夠！49例6

某傳動軸設計要求轉速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m

，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？解：①圖示狀態下,扭矩如圖，由強度條件得：

500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kNm)50由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)51

綜上：②全軸選同一直徑時52

③軸上的絕對值最大的扭矩