第3章機器人的微分運動與速度3.1微分與雅克比矩陣3.2坐標系的微分運動3.3雅克比矩陣計算3.4

建立雅克比矩陣與微分算子之間的關聯3.5雅克比矩陣的逆

機器人的運動是機器人結構的動態(tài)變化;機器人的速度是一定時間內的運動變化。機器人在很短的時間段內的運動就是機器人的微分運動。微分運動是對機器人進行運動分析

和速度分析的重要手段。

3.1微分與雅克比矩陣

雅克比矩陣(Jacobian)是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。雅克比矩陣是機構在任何給定時間的幾何形狀和不同部件之間相互關系的表示,可表示機構部件隨時間變化的幾何關系。

1.微分與雅克比矩陣的關系

假設有兩自由度的機構,每個連桿都獨立旋轉,θ1為第1連桿相對于參考坐標系的旋轉角度,θ2為第2連桿相對于第1連桿的旋轉角度,根據該兩自由度平面機構建立的坐標系,如圖3-1所示。

圖3-1兩自由度平面機構的坐標系

由于機器人是串聯機器人,因此每個連桿的運動都是指該連桿相對于前一連桿上的當前坐標系的運動。通過對B點位置方程求微分有

對式(3-1)中兩個變量求微分可得

2.機器人關節(jié)與手的微分運動

式(3-5)的矩陣形式為

根據式(3-6)可建立機器人的關節(jié)微分運動和機器人手坐標系微分運動之間的關系為

例3-1假定已知在某一時刻的機器人雅克比矩陣,計算在給定關節(jié)微分運動的情況下,機器人手坐標系的線位移微分運動和角位移微分運動。

3.2坐標系的微分運動

1.坐標系的微分運動對于機器人來說,機器人手坐標系的微分運動是由機器人每個關節(jié)的微分運動所引起的。機器人關節(jié)的微量運動會導致機器人手坐標系產生微量運動,因此,必須將機器人的微分運動與坐標系的微分運動關聯起來。坐標系的微分運動包括微分平移、微分旋轉和微分變換。

1)微分平移

微分平移是坐標系相對于參考坐標系平移一個微分量,其含義是坐標系沿著x、y、z軸做了微小量的運動,可表示為

2)微分旋轉

微分旋轉是坐標系的微小旋轉。繞參考軸的微分旋轉是繞坐標系繞x、y、z軸的旋轉,其相應的微分轉動定義為δx、δy、δz,其微分旋轉可分別表示為Rot(x,δx)、Rot(y,δy)和Rot(z,δz),也可以是繞當前軸n、o、a旋轉。

繞軸大角度旋轉時變化矩陣是不能交換的,但繞軸微分旋轉時變換矩陣是滿足交換律的,即

證明:由于微分值很小,高階微分可忽略不計,設高階微分如δxδy為零,則有

3)微分變換

因此,微分算子Δ的求解如下

坐標系B運動后的位姿為

2.坐標系間的微分變化

式(3-16)可改寫為

則有

例3-3-對給定的坐標系B,繞y軸進行0.1rad的微分運動,再沿微分平移[0.1,0,0.2],求相對于當前坐標的微分變換的微分算子。

3.3-雅克比矩陣計算

機器人的雅克比矩陣就是將關節(jié)運動和手運動之間的建立起了聯系,即

以六自由度鏈式機器人為例,機器人基座坐標系和機器人手坐標系之間的總變換為

事實上,相對于最后一個坐標系T6的雅克比矩陣比相對于第一個坐標系的雅克比矩陣計算要簡單。Paul指出,可將相對于最后一個坐標系(即第6個坐標系)速度方程寫為

式(3-24)可寫為

3.4建立雅克比矩陣與微分算子之間的關聯

1.借助D建立關系假設機器人的關節(jié)移動一個微分量:

2.借助T6JD建立關系

例3-4假定一個五自由度機器人手的坐標系、瞬時的雅克比矩陣及一組微分運動,求經微分運動后機器人手的坐標系的新位置。

微分運動后,機器人手的坐標系的新位置為

3.5雅克比矩陣的逆

為了計算機器人關節(jié)上的微分運動,則需要獲得雅克比矩陣的逆,方程如下:上式同時左乘矩陣雅克比矩陣的J-1,則可得

雅克比矩陣逆的求解對機器人精確運動有著重要意義,常用的方法有三種:第一種是求出符號形式的雅克比矩陣的逆,把值代入其中并計算出速度;第二種是將數據代入雅克

比矩陣,再用高斯消去法或其他方法求解數值矩陣的逆;第三種是利用逆運動方程計算關節(jié)的速度。以六自由度鏈式機器人為例,其總變換矩陣為

將機器人的期望位姿表示為

1.dθ1的求解方法

通過機器人的期望位姿矩陣和式(3-30)構建等式關系,并將等式兩邊左乘A-11,即

2.dθ3-的求解方法

3.dθ2的求解方法

4.dθ4的求解方法

5.dθ5的求解方法

例3-5工業(yè)相機安裝在機器人手坐標系TH上,已知機器人在該位置的雅克比矩陣的逆:

機器人所做的微分運動為

(1)找出哪些關節(jié)必須做微分運動,并計算出這些關節(jié)需要做多大的微分運動量才能產生所指定的微分運動。

從而可得,關節(jié)1、2、4、6需要做微分運動,這些關節(jié)需要做的微分運動量為0.05、0.2、