PAGE1-3.1隨機事務及其概率學習目標核心素養1.體會確定性現象與隨機現象的含義．2．了解必定事務、不行能事務及隨機事務．3．了解隨機事務發生的不確定性及頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及概率與頻率的區分．(難點)4．理解概率的統計定義，知道依據概率的統計定義計算概率的方法．(重點)1.通過對事務性質的推斷來熬煉學生的邏輯推理核心素養．2．通過對數據的分析、計算來培育學生的數據分析、數學運算核心素養.1．隨機事務(1)確定性現象、隨機現象在確定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果，這種現象就是確定性現象．在確定條件下，某種現象可能發生，也可能不發生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象．(2)試驗、事務一次試驗就是對于某個現象的條件實現一次，例如對“擲一枚硬幣，出現正面”這個現象來說，做一次試驗就是將硬幣拋擲一次．而試驗的每一種可能的結果，都是一個事務．(3)必定事務、不行能事務、隨機事務在確定條件下，必定會發生的事務叫做必定事務；在確定條件下，確定不會發生的事務叫做不行能事務；在確定條件下，可能發生也可能不發生的事務叫做隨機事務．我們用A，B，C等大寫英文字母表示隨機事務，如我們記“某人射擊一次，中靶”為事務A．2．隨機事務的概率(1)頻數與頻率在確定條件下，重復進行了n次試驗，假如某一事務A出現了m次，則事務A出現的頻數是m，稱事務A出現的次數與試驗總次數的比例eq\f(m,n)為事務A出現的頻率．(2)概率的統計定義一般地，假如隨機事務A在n次試驗中發生了m次，當試驗的次數n很大時，我們可以發覺事務A發生的頻率eq\f(m,n)趨近于一個常數，這個常數隨著試驗次數的增加越來越穩定，我們把這個常數作為事務A發生的概率的近似值，即P(A)≈eq\f(m,n).這里這個常數的意義就代表是隨機事務的概率，由于隨著試驗次數的增加，頻率越來越接近概率，也即概率是頻率的期望值，所以用頻率來定義概率是合理的，可行的．(3)必定事務和不行能事務的概率可以把必定事務和不行能事務當成隨機事務的兩種特別狀況來考慮，分別用Ω和?來表示，明顯P(Ω)＝1，P(?)＝0.所以對任何一個事務A，都有0≤P(A)≤1.思索：頻率與概率之間有什么關系？[提示](1)頻率是隨機的，是一個變量，在試驗前不能確定，且可能會隨著試驗次數的變更而變更，它反映的是某一隨機事務出現的頻繁程度，反映了隨機事務出現的可能性的大小，近似反映了概率的大?。热缛嗤瑢W都做了10次擲硬幣的試驗，但得到正面對上的頻率可以是不同的．(2)概率是一個確定的常數，是客觀存在的，它是頻率的科學抽象，與每次試驗無關，不隨試驗結果的變更而變更，從數量上反映隨機事務發生的可能性大?。?，假如一個硬幣質地勻稱，則擲該枚硬幣出現正面對上的概率是0.5，與做多少次試驗無關．(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近于概率．在實際問題中，隨機事務的概率未知，常用大量重復試驗中事務發生的頻率作為它的估計值．1．有下列現象：①連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現正面對上；②異性電荷相互吸引；③在標準大氣壓下，水在1℃結冰；④南通某天下雨．其中是隨機現象的是()A．①③ B．②③C．①④ D．③④C[隨機現象的典型特征是不能事先預料哪一種結果會出現，據此逐個分析，所以①④正確．]2．在10件同類商品中，有8件紅色的，2件白色的，從中隨意抽取3件．給出下列事務：①3件都是紅色；③3件都是白色；③至少有1件紅色；④至少有1件白色．其中是必定事務的序號為________．③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件為紅色的，故選③.]3．某英語試題中，共有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，則隨機選擇其中一個選項正確的概率是eq\f(1,4)，某家長說：“要是都不會做，每題都隨機選擇其中一個選項，則確定有3題答對．”這句話____________________________________．(填“正確”“錯誤”或“不確定”)錯誤[把解答一個選擇題作為一次試驗，答對的概率是eq\f(1,4)，說明白答對的可能性大小是eq\f(1,4)，由于每次試驗的結果都是隨機的，因而做12次試驗，結果都是隨機的，那么答對3道題的可能性較大，但是并不確定答對3道題，也可能都選錯，也可能有1,2,3,4，…甚至12道題選擇正確．]4．將一枚骰子擲300次，則擲出的點數大于2的次數大約是________．200[依據題意，得300×eq\f(2,3)＝200.]事務的有關概念【例1】推斷下列事務哪些是必定事務，哪些是不行能事務，哪些是隨機事務．(1)拋一石塊，下落；(2)在標準大氣壓下且溫度低于0℃(3)某人射擊一次，中靶；(4)假如a>b，那么a－b>0；(5)擲一枚硬幣，出現正面；(6)導體通電后，發熱；(7)從分別標有號數1,2,3,4,5的5張標簽中任取一張，得到4號簽；(8)某電話機在1分鐘內收到2次呼叫；(9)沒有水分，種子能發芽；(10)在常溫下，焊錫熔化．[解](1)是必定事務，該現象是大自然的客觀規律所致．(2)是不行能事務，在標準大氣壓下，只有溫度高于0℃時，冰才溶化．(3)是隨機事務，射擊一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必定事務，由不等式性質可得．(5)是隨機事務，因為將一枚硬幣拋擲一次，可能出現正面對上，也可能出現反面對上．(6)是必定事務，導體通電發熱是物理現象．(7)是隨機事務，從5張標簽中任取一張，每張都有被取到的可能．(8)是隨機事務，因為結果有不行預知性．(9)是不行能事務，因為種子只有在有水分的條件下，才能發芽．(10)是不行能事務，因為金屬錫只有在高溫下才能熔化．要判定某事務是何種事務，首先要看清條件，因為三種事務都是相對于確定條件而言的．其次再看它是確定發生，還是不確定發生，還是確定不發生．確定發生的是必定事務，不確定發生的是隨機事務，確定不發生的是不行能事務．1．有下列事務：①足球運動員罰點球命中；②在自然數集合中任取一個數為偶數；③在標準大氣壓下，水在100℃時沸騰；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，則B?A；⑤光線在勻稱介質中發生折射現象；⑥隨意兩個奇數之和為奇數．在上述事務中為隨機事務的有________，為必定事務的有________，為不行能事務的有________．①②③④⑤⑥[①足球運動員罰點球可能命中，也可能不命中；②在自然數集合中任取一個數可能為奇數，也可能為偶數；③在標準大氣壓下，水在100℃時確定沸騰；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，則B?A是不行能的；⑤光線在勻稱介質中是沿直線傳播的，不行能發生折射現象；⑥隨意兩個奇數之和為偶數．]2．分析下面給出的五個事務哪些是必定事務？哪些是不行能事務？哪些是隨機事務？(1)某地2月3日下雪；(2)函數y＝ax(a>0且a≠1)在定義域上是增函數；(3)實數的確定值不小于0；(4)在標準大氣壓下，水在1℃結冰；(5)a，b∈R，則ab＝bA．[解](1)隨機事務，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)隨機事務，函數y＝ax當a>1時在定義域上是增函數，當0<a<1時在定義域上是減函數．(3)必定事務，實數的確定值非負．(4)不行能事務，在標準大氣壓下，水在0℃(5)必定事務，若a，b∈R，則ab＝ba恒成立．對概率意義的理解【例2】某種病的治愈概率是0.3，那么前7個人沒有治愈，后3個人確定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?思路點撥：解答本題要理解概率的意義．[解]假如把治療一個病人作為一次試驗，治愈的概率是0.3，指隨著試驗次數的增加，即治療的病人數的增加，大約有30%的人能夠治愈．對于一次試驗來說，其結果是隨機的，因此前7個病人沒治愈是可能的，而對后3個病人來說，其結果仍舊是隨機的，即有可能治愈，也有可能沒治愈．治愈的概率是0.3，是指假如患病的有1000人，那么我們依據治愈的頻率應在治愈概率旁邊搖擺這一前提，就可以認為這1000人中，大約有300人能治愈，這個事先估計對于醫藥衛生部門是很有參考價值的．這也進一步說明白隨機事務的概率只是反映了大量重復試驗條件下，隨機試驗A發生的頻率的穩定性．隨機事務的發生具有隨機性，概率值僅說明事務發生的可能性的大小，因此，在說明隨機事務的概率時，凡是出現“必定”“確定”之類的確定性字眼，一般都是錯誤的．3．假如某種彩票中獎的概率為eq\f(1,1000)，那么買1000張彩票確定能中獎嗎？請用概率的意義說明．思路點撥：買1000張彩票，相當于做1000次試驗，因為每次試驗的結果都是隨機的，所以做1000次試驗的結果也是隨機的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有1張中獎．[解]不確定能中獎．因為買1000張彩票相當于做1000次試驗，而每次試驗的結果都是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有1張中獎，也可能有1張、2張或者多張中獎．4．試說明下列狀況中概率的意義．(1)某商場為促進銷售，實行有獎銷售活動，凡購買其商品的顧客中獎的概率為0.20；(2)一生產廠家稱：我們廠生產的產品合格的概率是0.98.思路點撥：有獎銷售活動中，凡購買其商品的顧客中獎的概率表示購買其商品的顧客中獎的可能性的大小；生產廠家所說的產品合格的概率表示其廠生產的產品合格的可能性的大?。甗解](1)指購買其商品的顧客中獎的可能性為20%.(2)指其廠生產的產品合格的可能性是98%.頻率與概率的關系及求法【例3】某公司在過去幾年內運用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運用壽命(單位：小時)進行了統計，統計結果如下表所示：分組[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據上述統計結果，估計燈管運用壽命不足1500小時的概率．思路點撥：eq\x(分析數據)→eq\x(計算頻率)→eq\x(估計概率)[解](1)頻率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中壽命不足1500小時的頻數是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中燈管運用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，所以燈管運用壽命不足1500小時的概率約為0.6.1．頻率是事務A發生的次數m與試驗總次數n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機變量，當n很大時，頻率總是在一個穩定值旁邊左右搖擺，這個穩定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．5．下列說法：①頻率反映事務發生的頻繁程度，概率反映事務發生的可能性大?。虎诎俜致适穷l率，不是概率；③頻率是不能脫離詳細的n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依靠于試驗次數的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值．其中正確的是________．①③④[由頻率與概率的定義及兩者之間的關系知①③④正確，②不正確．]6．某種菜籽在相同的條件下發芽試驗結果如下表：菜籽粒數251070130310700150020003000發芽粒數24960116282639133918062715發芽頻率(1)填寫表中的菜籽發芽的頻率；(2)求該種菜籽發芽的概率．思路點撥：事務A出現的頻數nA與試驗次數n的比值fn(A)＝eq\f(nA,n)即為事務A發生的頻率，當事務A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上時，這個常數即為事務A發生的概率．[解](1)依據表格計算不同狀況下種子發芽的頻率分別是：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893，0.903，0.905.(2)隨著菜籽粒數的增加，菜籽發芽的頻率越來越接近于0.9，且在它的旁邊搖擺．故該種菜籽發芽的概率約為0.9.1．本節課的重點是理解概率的含義，了解頻率與概率的區分與聯系．2．本節課的難點是求解事務發生的頻率和概率．3．本節課的易錯點是混淆頻率與概率的概念，列舉試驗結果時出現遺漏.1．下列現象中，不是隨機現象的是()A．在一條馬路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛B．若a為整數，則a＋1為整數C．放射一顆炮彈，命中目標D．檢查流水線上一件產品是合格品還是次品B[當a為整數時，a＋1確定為整數，是必定現象，其余3個均為隨機現象．]2．在200件產品中，有192件一級品、8件二級品，則下列事務：①“在這200件產品中隨意選出9件，全部是一級品”；②“在這200件產品中隨意選出9件，全部是二級品”；③“在這200件產品中隨意選出9件，不全是一級品”；④“在這200件產品中隨意選出9件，其中不是一級品的件數小于10”．其中________是必定事務；________是不行能事務；________是隨機事務．④②①③[事務①③，可能發生也可能不發生；對于事務②，由于200件產品中只有8件二級品，故不行能選出9件二級品，是不行能事務；對于事務④，選出的9件產品中不是一級品的件數必定小于10，是必定事務．]3．給出下列三個命題，其中正確的命題有________個．①有一大批產品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此正面出現的概率是eq\