活頁作業(yè)(六)組合的綜合應(yīng)用一、選擇題1．9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要從中抽出4件產(chǎn)品，抽出產(chǎn)品中至少有2件一等品的抽法種數(shù)為()A．81 B．60C．6 D．11解析：分三類．恰有2件一等品，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝60種取法；恰有3件一等品，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20種取法；恰有4件一等品，有Ceq\o\al(4,4)＝1種取法．∴抽法種數(shù)為60＋20＋1＝81．答案：A2．以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A．70個(gè) B．64個(gè)C．58個(gè) D．52個(gè)解析：∵四個(gè)頂點(diǎn)共面的情況有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面共12個(gè)，∴共有四面體Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．故選C．答案：C3．某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人發(fā)言，那么不同的選派方法有()A．30種 B．50種C．60種 D．120種解析：若甲、乙兩人中只有一人參加發(fā)言，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)＝20種方法；若甲、乙均參加發(fā)言，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)＝10種方法．所以共有20＋10＝30種方法．答案：A4．直角坐標(biāo)系xOy平面上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有()A．25個(gè) B．36個(gè)C．100個(gè) D．225個(gè)解析：在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225個(gè)．答案：D二、填空題5．甲、乙、丙三名同學(xué)選修課程，在4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．解析：甲選修2門，有Ceq\o\al(2,4)＝6種選法，乙、丙各選修3門，各有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×4×4＝96種選法．答案：966．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團(tuán)外出參觀學(xué)習(xí)，如果按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則此考察團(tuán)的組成方法種數(shù)是________．解析：按性別分層，并在各層按比例隨機(jī)抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100種抽法．答案：2100三、解答題7．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)共面(除此之外再無4點(diǎn)共面)，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，問一共可作多少個(gè)四面體？解：不考慮任何限制，10個(gè)點(diǎn)可得Ceq\o\al(4,10)個(gè)四面體．由于有5個(gè)點(diǎn)共面，這5個(gè)點(diǎn)中的任意4個(gè)點(diǎn)都不能構(gòu)成四面體，共有Ceq\o\al(4,5)種情形．所以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205．8．12件產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品，從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件．(1)共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？解：(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220種抽法．(2)分兩步：先從2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)種方法；再從10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)種方法．所以共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＝90種抽法．(3)方法一(直接法)分兩類，即包括恰有1件次品和恰有2件次品兩種情況，與(2)小題類似共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10)＝100種抽法．方法二(間接法)從12件產(chǎn)品中任意抽出3件有Ceq\o\al(3,12)種方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Ceq\o\al(3,10)種，所以共有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,10)＝100種抽法．一、選擇題1．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為()A．10 B．11C．12 D．15解析：與信息0110至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同的信息包括三類．第一類：與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(2,4)＝6個(gè)；第二類：與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(1,4)＝4個(gè)；第三類：與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(0,4)＝1個(gè)．∴與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11個(gè)．答案：B2．將標(biāo)號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．720解析：先選出3個(gè)球有Ceq\o\al(3,10)＝120種方法，不妨設(shè)為1,2,3號(hào)球，則1,2,3號(hào)盒中能放的球?yàn)?,3,1或3,1,2兩種．這3個(gè)號(hào)碼放入標(biāo)號(hào)不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有120×2＝240種方法．答案：B二、填空題3．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有________種．解析：對(duì)于4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類．第一類：4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，有Ceq\o\al(4,4)種取法；第二類：2個(gè)數(shù)為偶數(shù)，2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)種取法；第三類：4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，有Ceq\o\al(4,5)種取法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的取法共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66種．答案：664．已知直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b是非零常數(shù))與圓x2＋y2＝100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有________條．解析：如圖所示，在圓x2＋y2＝100上，整點(diǎn)坐標(biāo)有(±10,0)，(6,8)，(－6，－8)，(－6,8)，(6，－8)，(8,6)，(－8，－6)，(－8,6)，(8，－6)，(0，±10)共12個(gè)點(diǎn)．這12點(diǎn)確定的直線數(shù)為Ceq\o\al(2,12)條；過這12點(diǎn)的切線數(shù)有12條；由于a，b不為零，應(yīng)去掉過原點(diǎn)的直線6條；又其中平行于坐標(biāo)軸的直線有12條，故符合題意的直線共有Ceq\o\al(2,12)＋12－(6＋12)＝60條．答案：60三、解答題5．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果：(1)4只鞋子沒有成雙的；(2)4只鞋子恰成兩雙；(3)4只鞋中有2只成雙，另2只不成雙．解：(1)從10雙鞋子中選取4雙，有Ceq\o\al(4,10)種不同選法，每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選取種數(shù)為N＝Ceq\o\al(4,10)·24＝3360．即4只鞋子沒有成雙有3360種不同取法．(2)從10雙鞋子中選取2雙有Ceq\o\al(2,10)種取法，所以選取種數(shù)為N＝Ceq\o\al(2,10)＝45，即4只鞋子恰成兩雙有45種不同取法．(3)先選取一雙有Ceq\o\al(1,10)種選法，再從9雙鞋中選取2雙有Ceq\o\al(2,9)種選法，每雙鞋只取一只各有2種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法有N＝Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(2,9)·22＝1440種．6．已知一組曲線y＝eq\f(1,3)ax3＋bx＋1，其中a為2,4,6,8中的任意一個(gè)，b為1,3,5,7中的任意一個(gè)．現(xiàn)從這些曲線中任取兩條．求它們?cè)趚＝1處的切線相互平行的組數(shù)．解：y′＝ax2＋b，曲線在x＝1處切線的斜率k＝a＋b.切線相互平行，則需它們的斜率相等，因此按照在x＝1處切線的斜率的可能取值可分為五類完成．第一類：a＋b＝5，則a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可構(gòu)成2條曲線，有Ceq\o\al(2,2)組．第二類：a＋b＝7，則a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可構(gòu)成三條曲線，有Ceq\o\al(2,3)組．第三類：a＋b＝9，則a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可構(gòu)成四條曲線，有Ceq\o\al(2,4)組．第四