A級基礎鞏固1.某人向正東走了xkm后向左轉了150°,然后沿新方向走了3km,結果離出發點恰好3km,那么x的值是()A.3 B.23 C.3 D.23或3解析:根據題意畫出示意圖如圖所示,由正弦定理,得sin∠CAB=BCsinBAC=3sin30因為BC>AC,所以∠CAB>B,B=30°,所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.當∠CAB=60°時,∠ACB=90°,x=23;當∠CAB=120°時,∠ACB=30°,x=3.故選D.答案:D2.如圖所示,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20nmile的B處,有一艘漁船遇險等待營救,甲船立即前往營救,同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10nmileC處的乙船,乙船立即朝北偏東θ+30°角的方向沿直線前往B處營救,則sinθ的值為()A.22 B.32 C.217解析:如圖所示,連接BC.在△ABC中,AC=10nmile,AB=20nmile,∠CAB=120°,根據余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+400+200=700,所以BC=107nmile.根據正弦定理,得BCsin∠CAB=即10732所以sin∠ACB=217,所以sinθ=21答案:C3.學校里有一棵樹,甲同學在A地測得樹尖的仰角為45°,乙同學在B地測得樹尖的仰角為30°,量得AB=AC=10m,樹根部為C(A,B,C在同一水平面上),則∠ACB=30°.解析:如圖所示,AC=10m,∠DAC=45°,所以DC=10m.因為∠DBC=30°,所以BC=103m,cos∠ACB=102+(103)4.如圖所示,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從點A測得點M的仰角∠MAN=60°,點C的仰角∠CAB=45°以及∠CAM=75°;從點C測得∠ACM=60°.已知山高BC=100m,求山高MN.解:如圖所示,在Rt△ABC中,BC=100m,∠CAB=45°,所以AC=1002m.在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,所以∠AMC=45°.已知AC=1002m,所以由正弦定理,知AMsin60°=所以AM=1003m.在Rt△AMN中,∠MAN=60°,所以MN=AM·sin60°=1003×32=150(m)B級能力提升5.在某個位置測得某山峰仰角為θ,對著山峰在地面上前進600m后測得仰角為2θ,繼續在地面上前進2003m以后測得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為300m.解析:如圖所示,△BED,△BDC為等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=2003m.在△BCD中,由余弦定理可得cos2θ=6002+所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=2003×32=300(m)6.一只蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲,然后向右轉105°,爬行10cm捕捉到另一只小蟲,這時它向右轉135°爬行可回到它的出發點,那么x=1063解析:如圖所示,在△ABC中,AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°=45°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理,得xsin45°=10sin60°,所以7.某海島周圍42nmile有暗礁,一輪船由西向東航行,初測此島在北偏東60°方向,航行30nmile后測得此島在東北方向,若不改變航向,則此輪船有觸礁危險(填“有”或“無”).解析:如圖所示,由題意可知,在△ABC中,AB=30nmile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°.由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=30sin30°sin15°=15在Rt△BDC中,CD=22BC=15(3+1)<所以此船有觸礁的危險.8.據氣象臺預報,在S島正東距S島300km的A處有一臺風中心形成,并以每小時30km的速度向北偏西30°的方向移動,在距臺風中心270km以內的地區將受到臺風的影響.問:S島是否受其影響?若受到影響,從現在起經過多少小時S島開始受到臺風的影響?持續時間多久?說明理由.解:如圖所示,設臺風中心從A處經過th到達點B,由題意得∠SAB=90°-30°=60°.在△SAB中,SA=300,AB=30t,由余弦定理,得SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos60°.若S島受到臺風影響,則應滿足條件|SB|≤270,即SB2≤2702,化簡整理得t2-10t+19≤0,解得5-6≤t≤5+6,所以從現在起,經過(5-6)hS島開始受到影響,(5+6)h后影響結束,持續時間:(5+6)-(5-6)=26(h),即S島受到影響,從現在起經過(5-6)hS島開始受到臺風影響,且持續時間為26h.C級挑戰創新9.多空題如圖所示,在離地面高400m的熱氣球上,觀測到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°.已知∠BAC=60°,則∠MCA=45°.山的高度BC=600m.解析:如圖所示,過點M作MD⊥AB,垂足為D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=MDsin45°=4002在△MAC中,∠AMC=45°+15°