PAGE3-第4課時弦切角的性質素養訓練1．(2015年衡水期末)如圖所示，四邊形ABCD是圓內接四邊形，AB是直徑，MN是切圓于C點的切線，若∠BCM＝38°，則∠B＝()A．32° B．42°C．52° D．48°【答案】C【解析】連接AC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.又MN是切線，∴∠BCM＝∠BAC＝38°.∴∠B＝90°－∠BAC＝52°.故應選C．2．如圖所示，已知⊙O的直徑與弦AC的夾角為30°，過C點的切線PC與AB的延長線交于P，PC＝5，則⊙O的半徑為()A．eq\f(5\r(3),3) B．eq\f(5\r(3),6)C．10 D．5【答案】A【解析】連接OC，∴∠COB＝60°.∵PC為切線，∴∠PCO＝90°.∴OC＝eq\f(\r(3),3)PC＝eq\f(5\r(3),3).故應選A．3．如圖所示，四邊形ABCD是圓內接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝120°，過D點的切線PD與BA的延長線交于P點，則∠ADP的度數是()A．15° B．30°C．45° D．60°【答案】B【解析】連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°.又PD是切線，∴∠ADP＝∠ABD．又∠BCD＝∠ADB＋∠ABD，∴∠ADP＝∠BCD－∠ADB＝30°.故應選B．4．如圖所示，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________.【答案】eq\r(35)【解析】由已知∠BAC＝∠APB，又∠BCA＝∠BAP(同弧所對圓周角與弦切角相等)，∴△PBA∽△ABC．∴eq\f(AB,PB)＝eq\f(BC,AB)，即AB2＝PB·BC＝35.故AB＝eq\r(35).5．如圖所示，△ABC內接于⊙O，P點在⊙O外，PA，PB為⊙O兩切線，A，B為切點，∠P＝60°，則∠C＝________.【答案】60°【解析】PA，PB為⊙O兩切線，∴∠PAB＝∠C，∠PBA＝∠C．∴∠PAB＝∠PBA．又∠P＝60°，∴∠PAB＝∠PBA＝60°，即∠C＝60°.6．(2024年石家莊模擬)如圖所示，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，過點D作⊙O的切線，切點為C，若∠A＝25°，則∠D＝______.【答案】40°【解析】連接BC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵DC是⊙O的切線，∴∠DCB＝∠A＝25°(弦切角定理)．∴∠D＝180°－∠DCA－∠A＝40°.7．如圖所示，圓O的直徑AB為6，C為圓周上一點．BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l，圓O交于點D，E.(1)求∠DAC；(2)求線段AE的長．【解析】(1)∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3＝eq\f(1,2)AB，∴∠ABC＝60°.∴∠DCA＝∠CBA＝60°.(弦切角定理)又AD⊥DC，∴∠DAC＝30°.(2)連接EB，則∠EAB＝∠DAC＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，又∠AEB＝90°，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝3.8．(2024年忻州模擬)如圖，已知PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B，C，∠APC的平分線分別交AB，AC于點D，E.(1)求證：∠ADE＝∠AED；(2)若AC＝AP，求eq\f(PC,PA)的值．【解析】(1)證明：∵PA是切線，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.∵∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．(2)由(1)知∠BAP＝∠C，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C．∴∠APC＝∠C＝∠BAP.由三角形內角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°.∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC＝90°.∴∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°.∴∠C＝∠APC＝∠BAP＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABC中，eq\f(1,tanC)＝eq\f(CA,AB)，即eq\f(1,tan30°)＝eq\f(CA,AB)，∴eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).∵在△APC與△BPA中，∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB).∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).實力提升9．如圖所示，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，求AC的長．【解析】如圖所示，連接BC，