PAGE1-課時作業16合情推理學問點一歸納推理1.視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此規律，第五個不等式為()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(9,5)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(11,6)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(9,5)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)答案D解析視察每行不等式的特點，知第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).2．如圖所示，圖1是棱長為1的小正方體，圖2、圖3是由這樣的小正方體擺放而成．依據這樣的方法接著擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，…，第n層，第n層的小正方體的個數記為Sn.解答下列問題：(1)依據要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________.答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推想S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.學問點二類比推理3.在公比為4的等比數列{bn}中，若Tn是數列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數列，且公比為4100；類比上述結論，相應地，在公差為3的等差數列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．可類比得到的結論是______________________．答案數列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數列，且公差為300解析因為等差數列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數列，且公差為300.即結論為：數列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數列，且公差為300.4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．解如圖①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BC·BC·BD·DC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).類比猜想：四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如圖②，連接BE交CD于F，連接AF，因為AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF?平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，猜想正確.學問點三歸納和類比推理的應用5.魯班獨創鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形態上也應當類似，“鋸子”應當是齒形的．該過程體現了()A．歸納推理B．類比推理C．胡亂推理D．沒有推理答案B解析推理是依據一個或幾個已知的推斷來確定一個新的推斷的思維過程，上述過程是推理，由性質類比可知是類比推理．6．可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：假如與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡潔圖形①、②中體會這個原理．現在圖③中的兩個曲線的方程分別是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x2＋y2＝a2，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為________．答案πab解析由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b,a)，∴橢圓面積S＝πa2·eq\f(b,a)＝πab.一、選擇題1．歸納推理和類比推理的相像之處為()A．都是從一般到一般B．都是從一般到特別C．都是從特別到特別D．所得結論都不肯定正確答案D解析歸納推理是由特別到一般的推理，其結論不肯定正確．類比推理是從特別到特別的推理，結論具有推想性，不肯定牢靠，故選D.2．下列平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象比較合適的是()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形答案C解析由類比推理的定義和特點推斷，易知選C.3．視察下列事實|x|＋|y|＝1的不同整數解(x，y)的個數為4，|x|＋|y|＝2的不同整數解(x，y)的個數為8，|x|＋|y|＝3的不同整數解(x，y)的個數為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數解(x，y)的個數為()A．76B．80C．86D．92答案B解析由已知條件得，|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整數解(x，y)個數為4n，故|x|＋|y|＝20的整數解(x，y)的個數為80.4．如圖，在所給的四個選項中，最適合填入問號處，使之呈現肯定的規律性的為()答案A解析視察第一組中的三個圖，可知每一個黑色方塊都從右向左循環移動，每次移動一格，由其次組圖的前兩個圖，可知選A.5．把下列在平面內成立的結論類比到空間，結論不成立的是()A．假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交B．假如一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直C．假如兩條直線與第三條直線都不相交，則這兩條直線不相交D．假如兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案D解析類比A的結論為：假如一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．成立．類比B的結論為：假如一個平面與兩個平行平面中的一個垂直，則必與另一個垂直．成立．類比C的結論為：假如兩個平面與第三個平面都不相交，則這兩個平面不相交．成立．類比D的結論為：假如兩個平面同時與第三個平面垂直，則這兩個平面平行．不成立．二、填空題6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b∈R)，則a＋b＝________.答案41解析依據題意，由于eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，那么可知eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.7．如圖，直角坐標系中每個單元格的邊長為1，由下往上的6個點1,2,3,4,5,6的橫縱坐標(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分別對應數列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規律下去，則a2013＋a2014＋a2015的值為______．答案1007解析由題圖知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，則a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，則a2014＝1007，所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.8．已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數y＝ax(a＞1)的圖象上隨意不同的兩點．依據圖象可知線段AB總是位于A，B兩點之間函數圖象的上方，因此有結論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\f(x1＋x2,2)成立．運用類比思想方法，可知若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點，則類似地有________________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)解析運用類比推理與數形結合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點的縱坐標eq\f(sinx1＋sinx2,2)總是小于函數y＝sinx(x∈(0，π))圖象上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的縱坐標，即有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立．三、解答題9．視察給出的下列各式：(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°·tan15°＋tan15°·tan70°＋tan70°·tan5°＝1.由以上兩式成立，你能得到一個什么樣的推廣？證明你的結論．解視察易知10°＋20°＋60°＝90°，5°＋15°＋70°＝90°，故可以猜想此推廣式為：若α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，且α，β，γ都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則有tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.證明如下：∵α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，∴α＋β＝eq\f(π,2)－γ，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ，∴tanα＋tanβ＝cotγ(1－tanαtanβ)，∴tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.10.如圖，在△ABC中，O為其內切圓圓心，過O的直線將三角形面積分為相等的兩部分，且該直線與AC，BC分別相交于點F，E，則四邊形ABEF與△CEF的周長相等．試將此結論類比到空間，寫出一個與其相關的命題，并證明該命題的正確性．解如圖，截面AEF經過四面體ABC