2025高考數學二輪復習-專題04導數及其應用(解答題)-專項訓練考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1利用導數求函數單調性，求參數2024全國甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷含參的函數利用導數求參數問題是高考中的一個高頻考點，也是必考點，通過函數單調性轉化成為恒成立問題或者存在使成立問題以及其他問題，可直接求導或者是利用分離參數去轉化。考點2恒成立問題2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點3與三角函數相關導數問題2023Ⅱ卷甲卷2022天津卷2021Ⅰ卷2020Ⅱ卷甲卷與三角函數相關問題隨著新高考新結構的出現，這類題目一壓軸題出現的頻率會變大。考點04導數綜合類問題2024北京天津2023乙卷北京Ⅰ卷天津2022甲卷ⅠⅡ卷2021乙卷Ⅰ卷2020ⅡⅢ卷導數綜合類問題一直是高考數學的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問題，極值點偏移問題，拐點偏移問題，隱零點問題，函數放縮問題。未來也是高考重難點考點05新定義問題2024上海卷隨著高考數學新結構的形式出現。導數新定義問題將成為高頻考點考點01利用導數求函數單調性，求參數解答題1．（2024·全國·高考Ⅰ卷）已知函數(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．3．（2024·全國·高考甲卷理）已知函數．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．4．（2023·年全國新高考Ⅰ卷數學試題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．5．（2023年全國高考乙卷數學（文）試題）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．6．（2022年全國高考乙卷數學（文）試題）已知函數．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．7．（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）已知函數，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．8．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.9．（2020年全國高考Ⅰ卷（文）數學試題）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.10．（2020年全國新高考Ⅰ卷數學試題）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．11．（2023·全國乙卷）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.12．（2022·全國乙卷）已知函數(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．13．（2021·全國甲卷）已知且，函數．（1）當時，求的單調區間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．14．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．15．（2020年全國高考Ⅰ卷）已知函數.（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.考點02恒成立問題解答題1．（2024·全國·高考甲卷文）已知函數．(1)求的單調區間；(2)當時，證明：當時，恒成立．2．（2023全國新高考Ⅰ卷）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．3．（2022·北京·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．4．（2021·全國乙卷）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．5．（2021·北京·統考高考真題）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．6．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．7．（2020年全國新高考Ⅰ卷）設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．（2023年全國新高考Ⅱ卷（文））（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．9．（2020年全國高考Ⅱ卷（文）數學試題）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．考點03三角函數相關導數問題一、解答題1．（2023年全國高考Ⅱ卷）（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．2．（2023·全國甲卷）已知函數(1)當時，討論的單調性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．3．（2022·天津·統考高考真題）已知，函數(1)求函數在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．4．（2020年全國高考Ⅱ卷）已知函數f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調性；（2）證明：；（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.5．（2021年全國高考Ⅰ卷數學試題）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．考點04導數類綜合問題1（2024·北京·高考真題）設函數，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調區間.(2)求證：不經過點.(3)當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數據：，，）2．（2024·天津·高考真題）設函數．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．3．（2023·全國乙卷）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.4．（2022·全國甲卷）已知函數．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．5．（2022年全國新高考Ⅰ卷）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．6．（2022年全國高考Ⅱ卷）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．7．（2021·全國乙卷）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．8．（2022年全國新高考Ⅰ卷）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.9．（2022年全國新高考Ⅱ卷）已知函數．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．10．（2020年全國高考Ⅲ卷）設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．11．（2023·北京·統考高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數，求的單調區間；(3)求的極值點個數．12．（2023·天津·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當時，證明：；(3)證明：．13．（2021·全國乙卷）已知函數．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．14．（2021年全國高考Ⅱ卷（文））已知函數．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．15．（2020·全國高考Ⅱ卷）已知函數f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數g（x）=的單調性．16．（2020·全國高考Ⅲ卷(文)）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．17（2021·年全國新高考Ⅰ卷數學試題）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.考點05函數導數新定義1（2024·上海·高考真題）對于一個函數和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導函數，且函數在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調性參考答案與詳細解析考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1利用導數求函數單調性，求參數2024全國甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷含參的函數利用導數求參數問題是高考中的一個高頻考點，也是必考點，通過函數單調性轉化成為恒成立問題或者存在使成立問題以及其他問題，可直接求導或者是利用分離參數去轉化。考點2恒成立問題2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點3與三角函數相關導數問題2023Ⅱ卷甲卷2022天津卷2021Ⅰ卷2020Ⅱ卷甲卷與三角函數相關問題隨著新高考新結構的出現，這類題目一壓軸題出現的頻率會變大。考點04導數綜合類問題2024北京天津2023乙卷北京Ⅰ卷天津2022甲卷ⅠⅡ卷2021乙卷Ⅰ卷2020ⅡⅢ卷導數綜合類問題一直是高考數學的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問題，極值點偏移問題，拐點偏移問題，隱零點問題，函數放縮問題。未來也是高考重難點考點05新定義問題2024上海卷隨著高考數學新結構的形式出現。導數新定義問題將成為高頻考點考點01利用導數求函數單調性，求參數解答題1．（2024·全國·高考Ⅰ卷）已知函數(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）時，，其中，則，因為，當且僅當時等號成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域為，設為圖象上任意一點，關于的對稱點為，因為在圖象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因為當且僅當，故為的一個解，所以即，先考慮時，恒成立.此時即為在上恒成立，設，則在上恒成立，設，則，當，，故恒成立，故在上為增函數，故即在上恒成立.當時，，故恒成立，故在上為增函數，故即在上恒成立.當，則當時，故在上為減函數，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時.而當時，而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因為的定義域為，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構建，則，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因為的定義域為，且，若有極小值，則有零點，令，可得，可知與有交點，則，若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構建，因為則在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.3．（2024·全國·高考甲卷理）已知函數．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)【詳解】（1）當時，，故，因為在上為增函數，故在上為增函數，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設，則，當時，，故在上為增函數，故，即，所以在上為增函數，故.當時，當時，，故在上為減函數，故在上，即在上即為減函數，故在上，不合題意，舍.當，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.4．（2023·年全國新高考Ⅰ卷數學試題）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數，利用導數證得即可.方法二：構造函數，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.5．（2023年全國高考乙卷數學（文）試題）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當時，，則，據此可得，所以函數在處的切線方程為，即.（2）由函數的解析式可得，滿足題意時在區間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區間上恒成立，則，當時，由于，故，在區間上單調遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區間上單調遞增，即在區間上單調遞增，所以，在區間上單調遞增，，滿足題意.當時，由可得，當時，在區間上單調遞減，即單調遞減，注意到，故當時，，單調遞減，由于，故當時，，不合題意.綜上可知：實數得取值范圍是.6．（2022年全國高考乙卷數學（文）試題）已知函數．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.7．（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）已知函數，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.8．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區間為，增區間為；（2）.【詳解】（1）函數的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區間為，增區間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數的單調性可得，故即.9．（2020年全國高考Ⅰ卷（文）數學試題）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）的減區間為，增區間為；（2）.【詳解】（1）當時，，，令，解得，令，解得，所以的減區間為，增區間為；（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，而時，，當時，，所以當有兩個解時，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.10．（2020年全國新高考Ⅰ卷數學試題）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數，故，即，分離參數后有．令，所以．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區間內單調遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區間內單調遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．11．（2023·全國乙卷）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【詳解】（1）當時，，則，據此可得，函數在處的切線方程為，即.（2）由函數的解析式可得，函數的定義域滿足，即函數的定義域為，定義域關于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數的解析式可得，由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;令，則，令，在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，當時，，在區間上單調遞減，此時，在區間上無零點，不合題意;當，時，由于，所以在區間上單調遞增，所以，在區間上單調遞增，，所以在區間上無零點，不符合題意；當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的最小值為，令，則，函數在定義域內單調遞增，，據此可得恒成立，則，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.當時，，單調減，當時，，單調遞增，所以.令，則，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以，所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數得取值范圍是.12．（2022·全國乙卷）已知函數(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的定義域為當時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當,令則所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當設所以在單調遞增所以存在,使得當單調遞減當單調遞增,又所以存在,使得,即當單調遞增,當單調遞減，當，，又，而,所以當所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區間各恰有一個零點,求的取值范圍為13．（2021·全國甲卷）已知且，函數．（1）當時，求的單調區間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優解】：分離參數,設函數,則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數由與直線有且僅有兩個交點知，即在區間內有兩個解，取對數得方程在區間內有兩個解．構造函數，求導數得．當時，在區間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數的遞增區間為，遞減區間為．由于，當時，有，即，由函數在內有兩個零點知，所以，即．構造函數，則，所以的遞減區間為，遞增區間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區間內單調遞增；在區間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區間內單調遞增，由得在區間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數，得，即．令，則，令，則，所以在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數a的范圍為．]14．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導數，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數求出的變化情況，數形結合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調遞增，當時，，則，單調遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，所以實數b的取值范圍.15．（2020年全國高考Ⅰ卷）已知函數.（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）【詳解】(1)當時，，，由于，故單調遞增，注意到，故：當時，單調遞減，當時，單調遞增.(2)[方法一]【最優解】：分離參數由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數a得，，記，，令，則，，故單調遞增，，故函數單調遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；因此，,綜上可得，實數a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當時，恒成立．只需證當時，恒成立．當時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當時，單調遞減；當單調遞增；當單調遞減．從而，即，⑤式成立．所以當時，恒成立．綜上．[方法三]：指數集中當時，恒成立，記，，①.當即時，，則當時，，單調遞增，又，所以當時，，不合題意；②.若即時，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.考點02恒成立問題解答題1．（2024·全國·高考甲卷文）已知函數．(1)求的單調區間；(2)當時，證明：當時，恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）定義域為，當時，，故在上單調遞減；當時，時，，單調遞增，當時，，單調遞減.綜上所述，當時，的單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調遞增，故，問題得證2．（2023全國新高考Ⅰ卷）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.3．（2022·北京·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調遞增.(3)證明見解析【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調遞增，∴，∴∴在上單調遞增，又因為，∴，所以命題得證.4．（2021·全國乙卷）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數為0即可求解出參數；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區間內為增函數，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區間內為減函數，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優解】：轉化為無分母函數由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（ⅰ）當時，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即．5．（2021·北京·統考高考真題）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數的增區間為、，單調遞減區間為，最大值為，最小值為.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.當時，；當時，.所以，，.6．（2021·天津·統考高考真題）已知，函數．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調遞增，當時，，則，單調遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，故，所以實數b的取值范圍.7．（2020年全國新高考Ⅰ卷）設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用導數的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因為，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.［方法二］【最優解】：設是的一個零點，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區間上有一根為，在區間上有一根為（當時，），進而有，所以的所有零點的絕對值均不大于1．［方法三］：設是函數的一個絕對值不大于1的零點，且．設，則，顯然在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．又，于是的值域為．設為函數的零點，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點的絕對值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區間內遞增，在區間內遞減，在區間內遞增，所以的極大值為的極小值為．（ⅰ）若，即或，有唯一一個零點，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個零點，不妨設一個零點為，顯然有，此時，，則，另一個零點為1，滿足題意；同理，若一個零點為，則另一個零點為．（ⅲ）若，即，有三個零點，易知在區間內有一個零點，不妨設為，顯然有，又，，所以在內有一個零點m，顯然，同理，在內有一個零點n，有．綜上，所有零點的絕對值都不大于1．［方法五］：設是的一個零點且，則是的另一個零點．．則，設，由判別式，所以方程有解．假設實數滿足．由，得．與矛盾，假設不成立．所以，所有零點的絕對值都不大于1．（2023年全國新高考Ⅱ卷（文））（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【詳解】（1）構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；構建，則，構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，即對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數的定義域為，若，則，因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數在定義域內為偶函數，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當時，，則在上單調遞增，結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構建，則，且，則對恒成立，可知在上單調遞增，且，所以在內存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調遞減，結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.9．（2020年全國高考Ⅱ卷（文）數學試題）已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數，故，即，分離參數后有．令，所以．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區間內單調遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區間內單調遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．考點03三角函數相關導數問題一、解答題1．（2023年全國高考Ⅱ卷）（1）證明：當時，；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【詳解】（1）構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；構建，則，構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，即對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數的定義域為，若，則，因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數在定義域內為偶函數，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當時，，則在上單調遞增，結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構建，則，且，則對恒成立，可知在上單調遞增，且，所以在內存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調遞減，結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.2．（2023·全國甲卷）已知函數(1)當時，討論的單調性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導,然后令,討論導數的符號即可;（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當當,即.當,即.所以在上單調遞增,在上單調遞減（2）設設所以.若,即在上單調遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.3．（2022·天津·統考高考真題）已知，函數(1)求函數在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當時，因為曲線和有公共點，故有解，設，故，故在上有解，設，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數，而，，故在上無零點，故，設，則，故在上為增函數，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數，在上為增函數，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設，則，故在上為增函數，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當時，有，故成立.當時，即證，設，則（不恒為零），故在上為減函數，故即成立.綜上，成立.下證：當時，恒成立，，則，故在上為增函數，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.4．（2020年全國高考Ⅱ卷）已知函數f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調性；（2）證明：；（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.(3)[方法一]將所給的式子進行恒等變形，構造出(2)的形式，利用(2)的結論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數的解析式可得：，則：，在上的根為：，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.(2)[方法一]【最優解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當且僅當，即或時等號成立．所以．[方法二]：構造新函數+齊次化方法因為，令，則問題轉化為求的最大值．求導得，令，得．當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．所以函數的最大值為，故．[方法三]：結合函數的周期性進行證明注意到，故函數是周期為的函數，結合(1)的結論，計算可得：，，，據此可得：，，即.(3)利用(2)的結論由于，所以．5．（2021年全國高考Ⅰ卷數學試題）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調遞增；在上單調遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點

，使得又在上單調遞減

為，即在上的唯一零點綜上所述：在區間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調遞增，在上單調遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調遞減，在上單調遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調遞減

可知不恒成立綜上所述：考點04導數類綜合問題1（2024·北京·高考真題）設函數，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調區間.(2)求證：不經過點.(3)當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數據：，，）【答案】(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為.(2)證明見解析(3)2【詳解】（1），當時，；當，；在上單調遞減，在上單調遞增.則的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設過，則在存在零點.，在上單調遞增，，在無零點，與假設矛盾，故直線不過.（3）時，.，設與軸交點為，時，若，則此時與必有交點，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個即有幾個零點.，當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減；因為，，所以由零點存在性定理及的單調性，在上必有一個零點，在上必有一個零點，綜上所述，有兩個零點，即滿足的有兩個.2．（2024·天津·高考真題）設函數．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．【答案】(1)(2)2(3)證明過程見解析【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經過，且斜率為，故其方程為.（2）設，則，從而當時，當時.所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號成立當且僅當.設，則.當時，的取值范圍是，所以命題等價于對任意，都有.一方面，若對任意，都有，則對有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.綜合以上兩個方面，知的值是2.（3）先證明一個結論：對，有.證明：前面已經證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當時，當時.所以在上遞減，在上遞增.不妨設，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結論.情況一：當時，有，結論成立；情況二：當時，有.對任意的，設，則.由于單調遞增，且有，且當，時，由可知.所以在上存在零點，再結合單調遞增，即知時，時.故在上遞減，在上遞增.①當時，有；②當時，由于，故我們可以取.從而當時，由，可得.再根據在上遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即.根據和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當時，根據情況一和情況二的討論，可得，.而根據的單調性，知或.故一定有成立.綜上，結論成立.3．（2023·全國乙卷）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【詳解】（1）當時，，則，據此可得，函數在處的切線方程為，即.（2）由函數的解析式可得，函數的定義域滿足，即函數的定義域為，定義域關于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數的解析式可得，由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;令，則，令，在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，當時，，在區間上單調遞減，此時，在區間上無零點，不合題意;當，時，由于，所以在區間上單調遞增，所以，在區間上單調遞增，，所以在區間上無零點，不符合題意；當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的最小值為，令，則，函數在定義域內單調遞增，，據此可得恒成立，則，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.當時，，單調減，當時，，單調遞增，所以.令，則，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以，所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數得取值范圍是.4．（2022·全國甲卷）已知函數．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【詳解】（1）[方法一]：常規求導的定義域為，則令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構處理由得：令，則即令，則故在區間上是增函數故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構造函數由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增即,所以令所以在單調遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數得：，即又因為，故，即下證因為不妨設，則只需證構造，則故在上單調遞減故，即得證5．（2022年全國新高考Ⅰ卷）已知函數和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數，當時，，故在上為增函數，故.當時，，故在上為減函數，當時，，故在上為增函數，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數、的解的個數.設，，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數，故即，所以，所以在上為增函數，而，，故上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列，因為所以，又因為在上單調遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.6．（2022年全國高考Ⅱ卷）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區間為，增區間為.(2)(3)見解析【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區間為，增區間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續不間斷函數，故存在，使得，總有，故在為增函數，故，故在為增函數，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數，所以.當時，有，

所以在上為減函數，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.7．（2021·全國乙卷）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數為0即可求解出參數；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區間內為增函數，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區間內為減函數，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優解】：轉化為無分母函數由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（ⅰ）當時，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即．8．（2022年全國新高考Ⅰ卷）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.【答案】（1）的遞增區間為，遞減區間為；（2）證明見解析.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區間內為增函數，在區間內為減函數，(2)[方法一]：等價轉化由得，即．由，得．由（1）不妨設，則，從而，得，①令，則，當時，，在區間內為減函數，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區間內為增函數，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優解】：變形為，所以．令．則上式變為，于是命題轉換為證明：．令，則有，不妨設．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區間內單調遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區間內單調遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區間內單調遞減．，則，所以在區間內單調遞減．由得，所以，即．[方法四]：構造函數法由已知得，令，不妨設，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區間內單調遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結論得證．9．（2022年全國新高考Ⅱ卷）已知函數．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】(1)由函數的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.，由于，，故，結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.當時，構造函數，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.，由于，，故，結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.10．（2020年全國高考Ⅲ卷）設函數，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【詳解】（1）因為，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；當時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.［方法二］【最優解】：設是的一個零點，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區間上有一根為，在區間上有一根為（當時，），進而有，所以的所有零點的絕對值均不大于1．［方法三］：設是函數的一個絕對值不大于1的零點，且．設，則，顯然在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．又，于是的值域為．設為函數的零點，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點的絕對值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區間內遞增，在區間內遞減，在區間內遞增，所以的極大值為的極小值為．（ⅰ）若，即或，有唯一一個零點，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個零點，不妨設一個零點為，顯然有，此時，，則，另一個零點為1，滿足題意；同理，若一個零點為，則另一個零點為．（ⅲ）若，即，有三個零點，易知在區間內有一個零點，不妨設為，顯然有，又，，所以在內有一個零點m，顯然，同理，在內有一個零點n，有．綜上，所有零點的絕對值都不大于1．［方法五］：設是的一個零點且，則是的另一個零點．．則，設，由判別式，所以方程有解．假設實數滿足．由，得．與矛盾，假設不成立．所以，所有零點的絕對值都不大于1．11．（2023·北京·統考高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數，求的單調區間；(3)求的極值點個數．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.12．（2023·天津·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當時，證明：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時.（3）設，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞