南通市2018屆高三第一次調研測試數學Ⅰ一、選擇題：本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.已知集合，.若，則實數的值為_________.【答案】1【解析】因為，所以2.已知復數，其中為虛數單位，則復數的實部為_________.【答案】【解析】，所以復數的實部為3.已知某校高一、高二、高三的學生人數分別為，，.為了解該校學生的身高情況，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高三年級抽取_________名學生.【答案】25【解析】由分層抽樣得應從高三年級抽取名學生4.根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果為_________.【答案】10【解析】執行循環得結束循環，輸出5.某同學欲從數學建模、航模制作、程序設計和機器人制作個社團中隨機選擇個，則數學建模社團被選中的概率為_________.【答案】【解析】從個社團中隨機選擇個，有6種選法，其中數學建模社團被選中的選法有3種選法，所以概率為6.若實數滿足則的最大值為________.【答案】5【解析】作可行域，如圖，則直線過點A(4,3)時z取最大值5點睛：線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.7.在平面直角坐標系中，已知點為拋物線的焦點，則點到雙曲線的漸近線的距離為________.【答案】【解析】,雙曲線的漸近線為，距離為8.在各項均為正數的等比數列中，若，，則的值為_________.【答案】【解析】由得9.在平面直角坐標系中，將函數的圖像向右平移個單位長度.若平移后得到的圖像經過坐標原點，則的值為_________.【答案】【解析】函數的圖像向右平移個單位得，因為過坐標原點，所以點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數是奇函數；函數是偶函數；函數是奇函數；函數是偶函數.10.若曲線在與處的切線互相垂直，則正數的值為_________.【答案】【解析】因為，所以.................................11.如圖，銅質六角螺帽毛胚是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知正六棱柱的底面邊長、高都為，圓柱的底面積為.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為_________.（不計損耗）【答案】【解析】設正三棱柱的底面邊長為，則12.如圖，已知矩形的邊長，.點，分別在邊，上，且，則的最小值為_________.【答案】【解析】以A坐標原點，AB,AD所在直線為x,y軸建立直角坐標系，設所以因為，所以因為，所以因此點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.13.在平面直角坐標系中，已知點，，從直線上一點向圓引兩條切線，，切點分別為，.設線段的中點為，則線段長的最大值為_________.【答案】【解析】由射影定理得設因為，所以所以因此線段長的最大值為點睛：求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．②定義法：根據圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓的幾何性質列方程．④代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．14.已知函數.若函數有個零點，則實數的取值范圍是________.【答案】【解析】令當時有兩個零點，需當時有三個零點，，所以函數有5個零點，舍；當時，由于所以，且，所以綜上實數的取值范圍是點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．三、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱錐中，，，是的中點.點在棱上，點是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據三角形中位線性質得，再根據線面平行判定定理得結論（2）由等腰三角形性質得，再由已知，以及線面垂直判定定理得平面.最后根據面面垂直判定定理得結論試題解析：（1）在中，是的中點，是的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）在中，，是的中點，所以，又因為，平面，平面，，所以平面.又因為平面，所以平面平面.16.在中，角，，所對的邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據余弦定理得.再根據正弦定理得（2）根據同角三角函數平方關系得，再根據三角形內角關系以及兩角差余弦公式得結果試題解析：（1）在中，根據余弦定理及得，.又因為，所以.在中，由正弦定理得，.（2）因為，所以，即得.又，所以.在中，，所以.17.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩條準線之間的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓的左頂點為，點在圓上，直線與橢圓相交于另一點，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】試題分析：（1）根據兩條準線之間的距離為，聯立離心率條件解得，，.（2）由面積關系得M為AB中點，由直線AB點斜式方程與橢圓方程聯立解得B坐標，由中點坐標公式得M坐標，代入圓方程解得直線AB斜率試題解析：（1）設橢圓的焦距為，由題意得，，解得，，所以.所以橢圓的方程為.（2）方法一：因為，所以，所以點為的中點.因為橢圓的方程為，所以.設，則.所以①，②，由①②得，解得，（舍去）.把代入①，得，所以，因此，直線的方程為即，.方法二：因為，所以，所以點為的中點.設直線的方程為.由得，所以，解得，所以，，代入得，化簡得，即，解得，所以，直線的方程為即，.18.如圖，某小區中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規劃修建的條直道，，將廣場分割為個區域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區域，其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）（1）若經過圓心，求點到的距離；（2）設，.①試用表示的長度；②當為何值時，綠化區域面積之和最大.【答案】（1）（2）①最小值為②當時，綠化區域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大【解析】試題分析：（1）先建立直角坐標系，聯立直線OB方程與圓方程解得P點縱坐標，即得點到的距離；（2）①先求點到的距離為，再根據三角形相似得的長度；②根據三角形面積公式求三個三角形面積，再用總面積相減得綠化區域面積，最后利用導數求函數最值試題解析：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.（1）直線的方程為，半圓的方程為，由得.所以，點到的距離為.（2）①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所以，的長度為，.②區域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區域Ⅱ的面積為，所以.設，則，..當且僅當，即時“”成立.所以，休閑區域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.答：當時，綠化區域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.19.已知函數有極值，且函數的極值點是的極值點，其中是自然對數的底數.（極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值）（1）求關于的函數關系式；（2）當時，若函數的最小值為，證明：.【答案】（1），（2）見解析【解析】試題分析：（1）先分別求兩函數極值點，再根據條件得關于的函數關系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究導函數零點情況，僅有一個零點，再根據導函數符號變化規律確定最小值，最后再利用導數求最小值函數單調性，根據單調性證明不等式試題解析：（1）因為，令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值.因為，由題意可知，且所以，化簡得，由，得.所以，.（2）因為，所以記，則，令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值，也是最小值，此時，.令，解得.列表如下.極小值所以時，取得極小值，也是最小值.所以.令，則，記，，則，.因為，，所以，所以單調遞增.所以，所以.點睛：利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.20.若數列同時滿足：①對于任意的正整數，恒成立；②對于給定的正整數，對于任意的正整數恒成立，則稱數列是“數列”.（1）已知判斷數列是否為“數列”，并說明理由；（2）已知數列是“數列”，且存在整數，使得，，，成等差數列，證明：是等差數列.【答案】（1）是（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據定義驗證兩個條件是否成立，由于函數為分段函數，所以分奇偶分別驗證（2）根據定義數列隔項成等差，再根據單調性確定公差相等，最后求各項通項，根據通項關系得數列通項，根據等差數列證結論試題解析：（1）當為奇數時，，所以..當為偶數時，，所以..所以，數列是“數列”.（2）由題意可得：，則數列，，，是等差數列，設其公差為，數列，，，是等差數列，設其公差為，數列，，，是等差數列，設其公差為.因為，所以，所以，所以①，②.若，則當時，①不成立；若，則當時，②不成立；若，則①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設，則.同理可得：，所以.所以是等差數列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，數列是等差數列.21.已知，，求的最小值.【答案】8【解析】試題分析：根據基本不等式得，，再兩式相加即得.即可得最小值試題解析：因為，，所以，.兩式相加：，所以.當且僅當且時“”成立.即時，取得最小值.22.如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知點為線段上異于的點，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解得各面法向量，利用向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系求結果（2）設，根據向量坐標表示距離，再根據距離相等解得，即為的值.試題解析：以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系.則，，，，（1）由題意可知，，.設平面的法向量為，則即令，則，.所以.平面的法向量為，所以，所以二面角的余弦值.（2）由題意可知，，，設，則，因為，所以，化簡得，所以或.又因為點異于點，所以.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關