高三數學晚練五十一（總分70分限時45分鐘）姓名：班級：成績：一、選擇題()1．(2013·天水調研)已知二面角αlβ的大小是eq\f(π,3)，m，n是異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為A.eq\f(2π,3) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)()2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)()3.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定()4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝eq\r(6)，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成的角為A．60° B．45°C．30° D．90°()5．(2013·本溪質檢)若正三棱錐的側面都是直角三角形，則側面與底面所成二面角的余弦值是A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)二、填空題6．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為________．7．(2013·貴陽調研)長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE8．如圖所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1三、解答題9.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝eq\r(6)，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝eq\r(3).(1)證明：△PBC為直角三角形；(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．10.(2012·高考課標全國卷)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

答案：BDBDB6、eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，47、eq\f(\r(30),10)8、9、解：(1)證明：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC.記AC邊上的中點為E，在△ABC中，AB＝BC，所以BE⊥AC.因為AB＝BC＝eq\r(6)，AC＝4，所以BE＝eq\r(BC2－CE2)＝eq\r(\r(6)2－22)＝eq\r(2).因為PD⊥AC，所以△PCD為直角三角形．因為PD＝eq\r(3)，CD＝3，所以PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝eq\r(\r(3)2＋32)＝2eq\r(3).連接BD，在Rt△BDE中，因為BE＝eq\r(2)，DE＝1，所以BD＝eq\r(BE2＋DE2)＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3).因為PD⊥平面ABC，BD?平面ABC，所以PD⊥BD.在Rt△PBD中，因為PD＝eq\r(3)，BD＝eq\r(3)，所以PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝eq\r(\r(3)2＋\r(3)2)＝eq\r(6).在△PBC中，因為BC＝eq\r(6)，PB＝eq\r(6)，PC＝2eq\r(3)，所以BC2＋PB2＝PC2，即△PBC為直角三角形．(2)以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系Exyz，則A(0，－2,0)，B(eq\r(2)，0,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，eq\r(3))．于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,3，－eq\r(3))．設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝0,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0,3y－\r(3)z＝0)).取y＝1，則z＝eq\r(3)，x＝eq\r(2)，所以平面PBC的一個法向量為n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．設直線AP與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|\a\vs4\al(\o(AP,\s\up6(→))|·|n)|)＝eq\f(4,2\r(6))＝eq\f(\r(6),3).所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3).10、解：(1)證明：由題設知，三棱柱的側面為矩形．由于D為AA1的中點，故DC＝DC1.又AC＝eq\f(1,2)AA1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.又BC?平面BCD，故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1以C為坐標原點，eq\o(CA,\s\up6(→))的方向為x軸的正方向，|eq\o(CA,\s\up6(→))|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．則eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,0，－1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．設n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋z＝0，,z＝0.))可取n＝(1,1,0)．同理，設m是平面C1BD的法向量