第十一章立體幾何初步（B卷能力提升）

——高一數學人教B版(2019)必修四單元測試AB卷【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列說法中，正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.一個多面體至少有4個面C.有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺2.在直角坐標系中，水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標原點，，，.在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中，四邊形的周長為()A.8 B.10 C. D.3.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和.若，則()A. B. C. D.4.已知l，m，n是空間中三條互不重合的直線，，是兩個不重合的平面，給出下列命題：①若，，，則②若，，則③若，，，，則④若，，，則其中正確命題的個數為()A.0 B.1 C.2 D.35.如圖所示，圓錐底面半徑為1，母線，D為弧AB的中點，E是BC的中點，則異面直線AC與DE夾角的正弦值是()A. B.1 C. D.6.在邊長為4的菱形ABCD中，.將該菱形沿對角線AC折起，得到大小為的二面角，如圖所示.若點E為的中點，F為三棱錐表面上的動點，且總滿足，則點F的軌跡的長度為()A. B. C. D.7.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，側棱底面，T是的中點，Q是內的動點，，則Q的軌跡長為()A. B. C. D.8.如圖，在梯形ABCD中，，，，將沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且，則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在棱長為2的正方體中，點M在線段上，，過A，，M三點的平面截正方體所得的截面記為，記BD與截面的交點為N，則()A.截面的形狀為等腰梯形 B.C.平面 D.三棱錐的體積為10.古希臘哲學家發現并證明了只存在5種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，其中正八面體是由8個等邊三角形構成.正八面體在計算機科學中用于三維模型和場景的構建，以及人工智能領域中用于圖象識別和處理，另外在晶體和材料科學中也被廣泛應用.現有一個棱長為2的正八面體PABCDQ，如圖所示，下列說法中正確的是()A.若點P，A，B，C，D，Q在同一個球的球面上，則該球的體積為B.若該正八面體的12條棱中點在同一個球的球面上，則該球的表面積為C.該正八面體內任意一點到8個側面的距離之和為定值D.已知正方體的中心與該正八面體的中心重合，當該正方體繞中心任意轉動時，若該正方體始終未超出該正八面體，則該正方體棱長的最大值為11.如圖，E為正方形ABCD的邊CD上異于C，D的動點，將沿AE翻折成，在翻折過程中，下列說法正確的有()A.存在點E和某一翻折位置，使得B.存在點E和某一翻折位置，使得平面SBCC.存在點E和某一翻折位置，使得直線SB與平面ABCE所成的角為D.存在點E和某一翻折位置，使得二面角的大小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正方體中，截面與底面ABCD所成的二面角的正切值為__________.13.如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F分別在線段，上，且，G在上且平面平面，則___________.14.若正四棱錐內接于球O，且底面ABCD過球心O，球的半徑為4，則該四棱錐內切球的體積為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）如圖，在三棱柱中，平面，.（1）證明：平面平面；（2）設，，求四棱錐的高.16.（15分）如圖，E是直角梯形ABCD底邊AB的中點，，將沿DE折起形成四棱錐.（1）求證：平面ABE；（2）若二面角的大小為，求二面角的余弦值.17.（15分）如圖，已知直三棱柱，O，M，N分別為線段，，的中點，P為線段上的動點，，.（1）若，試證；（2）在（1）的條件下，當時，試確定動點P的位置，使線段MP與平面所成角的正弦值最大，并求出最大值.18.（17分）如圖，在正方體中，M為棱AB的中點.（1）試作出平面與平面ABCD的交線l，并說明理由；（2）用平面去截正方體，所得兩部分幾何體的體積分別為，（），求的值.19.（17分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點，將沿著直線DE翻折為，F為線段的中點.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

答案以及解析1.答案：B解析：正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯誤；多面體中面數最少為三棱錐，四個面，B正確，；有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個側面的交線互相平行，C錯誤；用一個平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，D錯誤.故選：B.2.答案：D解析：如圖，畫出直觀圖，過點作，垂足為D.因為，，所以，，，則，故四邊形的周長為，所以D正確.故選D.3.答案：C解析：設母線長為l，甲圓錐底面圓半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選C.4.答案：A解析：對于①，若，，，設，且，，則，故①為假命題.對于②，若，，，且，，則，故②為假命題.對于③，若，，，，當，時，結論不成立，故③為假命題.對于④，若，，，m與n還可能相交或異面，故④為假命題.故選A.5.答案：C解析：設底面圓心為O，連接EO，CO，OD，如圖所示，可知，故（或其補角）為異面直線AC與DE所成的角.底面，.又點D為半圓弧AB的中點，，又，平面，，在中，，，，故異面直線AC與DE夾角的正弦值是.故選C.6.答案：A解析：如圖，取AC的中點T，連接，，因為菱形ABCD的邊長為4，，所以，故，，且，所以為二面角的平面角，則.在中，由余弦定理得，.取CT的中點M，CD的中點N，連接EM，EN，MN，又E為的中點，所以，，因為平面，平面EMN，所以平面EMN，同理得平面EMN，又，平面，故平面平面.因為，，，平面，所以平面，所以平面EMN，故點F的軌跡為（除點E外），故點F的軌跡的長度為.故選A.7.答案：B解析：先找到一個平面總是保持與垂直，取，的中點E，F，連接，，.因為是正方形，所以.因為底面.所以.又，所以平面.所以.因為在中，，E為的中點，所以.又，所以平面.進一步.取，，的中點M，N，S，連接，，，，易證平面平面.故平面，記，又Q是內的動點，根據平面的基本性質得：點Q的軌跡為平面與平面的交線段，在中，，，，由余弦定理得：.故.故選：B.8.答案：B解析：在等腰梯形ABCD中，，，，，，，，.如圖，在三棱錐中過點P作交AC于點F，則易得，，，，故，.又，，平面，平面，平面ABC，平面平面.，平面ACP，平面平面，平面ABC.設的外接圓圓心為，易知其位于斜邊AB的中點，設等腰三角形APC的外接圓圓心為H，易知其位于PF的延長線上，過作平面ABC的垂線，過H作平面ACP的垂線，設兩垂線交于點O，則O為三棱錐外接球的球心，連接，，則，平面ACP，又，，因此四邊形為矩形，是頂角為的等腰三角形，，，，三棱錐外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選B.9.答案：BCD解析：如圖，連接，并延長交BC于點E，易得，，是BC的中點.取的中點F，連接，，，易得.又，四邊形為菱形，且菱形為，故A錯誤.同理可得，，，故B正確.連接，由前兩個相似三角形可知，.連接，在正方體中，易得，，且，平面，.同理可得.又，平面，平面，故C正確.易得N，M為，上靠近E，C的三等分點，.又，，，故D正確.選BCD.10.答案：ABC解析：由題可知，依次連接正方體6個面的中心，得到正八面體PABCDQ，如圖所示.對于A，點P，A，B，C，D，Q在圖中正方體內切球的球面上，設該球的半徑為，因為，所以，得，則所求球的體積為，故A正確；對于B，由上圖知，正八面體12條棱的中點在同一球的球面上，即該球與12條棱相切于棱的中點，該球的直徑為，即，故該球表面積為，故B正確；對于C，正八面體體積為，設正八面體內任意一點到8個側面的距離分別為，，…，，由體積相等，得，解得（定值），故C正確；對于D，由題意知，該正方體棱長最大時，其外接球即為正八面體的內切球，設該球半徑為，取AB的中點，中點，該平面截該球所得截面圓的半徑為，如圖所示.顯然四邊形是邊長為的菱形，且，，由面積相等，得，得.設該球的內接正方體棱長為a，則，得，故D錯誤.故選ABC.11.答案：ACD解析：當時，，因為，，所以平面SAB，又因為平面SAB，所以，故A正確；四邊形ABCE為梯形，所以AE與BC必然相交，故B錯誤；如圖①所示，交BC于點F，交AE于點G，則圖②中，連接，，S在平面ABCE的射影O在GF上，連接BO，SO，故為直線SB與平面ABCE所成的角，設二面角的平面角為，取，，故，，，，要使直線SB與平面ABCE所成的角為，只需，在中，由余弦定理得，解得，經驗證，滿足題意，故C正確；過點O作交AB于M，連接SM，因為，，，所以平面SOM，所以，則為二面角的平面角，取二面角的平面角為，要使二面角的大小為，只需，連接OA.因為，，所以，設，，則，，化簡得，解得，經驗證，滿足題意，故D正確.故選ACD.12.答案：解析：如圖，連接AC交BD于點O，連接，.由題可知平面ABCD，因為平面ABCD，所以.因為底面ABCD為正方形，所以.又，所以平面.又平面，所以，所以即為二面角的平面角.在中，設，則，所以二面角的正切值為.13.答案：解析：連接，（圖略），平面平面，且平面平面，平面平面，，.易得平面平面，又平面，平面.又平面平面，平面，平面，平面平面，，，可確定平面ABGF.又平面平面，平面平面，平面平面，，..14.答案：解析：因為正四棱錐內接于球O，且底面ABCD過球心O，球的半徑為4，所以，所以，所以正四棱錐的表面積，正四棱錐的體積.設正四棱錐內切球的半徑為r，則，解得，所以該四棱錐內切球的體積為.15.答案：（1）證明見解析（2）1解析：（1）證明：因為平面，平面ABC，所以.又，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，，又因為，，所以，所以是等腰直角三角形，所以是等腰直角三角形.如圖，取的中點為D，連接，則，由（1）可知，平面，而平面，所以，又，所以平面，所以四棱錐的高即為.又，所以四棱錐的高為1.16.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在直角梯形ABCD中，，且，四邊形BCDE為平行四邊形，又，，.在四棱錐中，，平面ABE，則平面ABE.（2）由（1）知即為二面角的平面角，，又，為等邊三角形.設BE的中點為F，CD的中點為G，連接，，，，.，，又，平面AFG.又平面，，即為所求二面角的平面角.平面，平面ABE，.在原直角梯形中，設，則翻折后四棱錐中，，，在中，.即二面角的余弦值為.17.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：在中，為BC中點且，，平面平面，平面平面，平面ABC且，平面，平面，.，N分別為，的中點，，.在直角和直角中，，，，，，，，平面，，平面，平面，.（2）延長MP交于點Q，作，與BC相交于點D，如圖所示，由，，，得，，平面，平面，.又，，平面，，平面.平面，與A到平面的距離相等，且距離為AD，設直線MP與平面所成的角為，則，當，即P為的中點時MQ最小，此時，當點P為的中點時，線段MP與平面所成角的正弦值取得最大值.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）作法：如圖，連接AC，在平面ABCD內過點M作，交BC于點N，則直線MN即為平面與平面ABCD的交線l.理由：因為平面平面，平面平面，平面平面，所以.在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，，在平面ABCD內過點M作，即，則直線MN即為交線l.（2）由（1）知，在中，，M為棱AB的中點，所以N為棱BC的中點.在正方形中，延長交的延長線于點P，所以B為線段的中點.由于N為棱BC的中點，所以連接并延長交的延長線于點P，所以幾何體是三棱臺.設正方體的棱長為a，則的面積，的面積，所以三棱臺的體積，則另一個幾何體的體積.因為用平面去截正方體，所得兩部分幾何體的體積分別為，（），所以，，所以.19.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：方法一：取的中點N，連接FN，EN，如圖.F，N分別為，的中點，，.四邊形ABCD為平行四邊形，E為AB的中點，，，，，四邊形BENF為平行四邊形，.平面，平面，平面.方法二：延長DE，CB交于點G，連接，如圖.四邊形ABCD為平行四邊形，.又E為AB中點，B為CG中點.又F為中點，，又平面，平面，