統計與概率解答題一、解答題1．（2021·廣東茂名·高三月考）接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種，假設在某個時間段該地區集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應都很充足，為了節省時間和維持良好的接種秩序，接種點設置了號碼機，號碼機可以隨機地產生A，B，C三種號碼（產生每個號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機上取一張號碼，然后去接種與號碼相對應的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）．若甲，乙，丙，丁四個人各自獨立的去接種第一針新冠疫苗．（1）求這四個人中恰有一個人接種A種疫苗的概率；（2）記甲，乙，丙，丁四個人中接種A種疫苗的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．2．（2021·梅州市梅江區梅州中學高三月考）一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．3．（2021·廣東高三月考）某市環保部門對該市市民進行垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如下表所示：組別男235151812女051010713（1）若將問卷得分不低于70分的市民稱為“環保關注者”．請完成答題卡中的列聯表．根據列聯表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“環保關注者”與性別有關？（2）若將問卷得分不低于80分的市民稱為“環保達人”，從我市所有“環保達人”中隨機抽取5人，這5人中男性的人數記為X，求X的分布列及數學期望．附：0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828．4．（2021·廣東荔灣·廣雅中學高三月考）目前，新冠病毒引發的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫院組織專家統計了該地區500名患者新冠病毒潛伏期的相關信息，數據經過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數的患者，稱為“短潛伏著”，潛伏期高于平均數的患者，稱為“長潛伏者”.（1）求這500名患者潛伏期的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數；（2）為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否高于平均數為標準進行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關：短潛伏者長潛伏者合計60歲及以上__________________16060歲以下60________________合計__________________300（3）研究發現，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是600元，設所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數學期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8285．（2021·廣東華僑中學高三月考）某校對學生關于開展數學研究性學習的態度進行調查，隨機抽調了人，他們數學成績的平均分（單位：分）的頻數分布及對開展數學研究性學習贊成人數如表：成績頻數贊成人數（1）根據以上統計數據完成下面的列聯表：能否有的把握認為學生關于開展數學研究性學習的態度與數學成績平均分為分分界點有關？成績不低于分的人數成績低于分的人數合計贊成不贊成合計（2）若對數學成績平均分在和的被調查人中各隨機選取人進行追蹤調查，求在選中的人中有人不贊成的條件下，贊成開展數學研究性學習的人數的分布列及數學期望．附參考公式與數據：，．6．（2021·廣州市第一中學高三月考）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.7．（2021·廣東廣州·高三月考）為培養學生對傳統文化的興趣，某市從甲，乙兩所學校各抽取100名學生參加傳統文化知識競賽，競賽成績分為優秀和非優秀兩個等級，成績統計如下表：優秀人數非優秀人數合計甲校6040100乙校7030100合計13070200（1）甲，乙兩所學校競賽成績優秀的頻率分別是多少?（2）能否有95%的把握認為甲校成績優秀與乙校成績優秀有差異?附：P0.0500.0100.001k3.8416.63510.8288．（2021·深圳市第七高級中學高三月考）某觀影平臺為了解觀眾對最近上映的某部影片的評價情況（評價結果僅有“好評”、“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取216人進行調查，部分數據如下表所示（單位：人）：好評差評合計男性68108女性60合計216（1）請將列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”？（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量X表示被抽到的男性觀眾的人數，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“差評”的觀眾中抽取人．現從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量Y表示被抽到的給出“好評”的女性觀眾的人數．若隨機變量Y的數學期望不小于1，求m的最大值．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8289．（2021·廣東高三月考）自2019年起，全國高中數學聯賽試題新規則如下：聯賽分為一試?加試（即俗稱的“二試”）.一試考試時間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分?20分?20分），滿分120分.二試考試時間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何?代數?數論?組合四個方面.前兩題每題40分，后兩題每題50分，滿分180分.已知某校有一數學競賽選手，在一試中，正確解答每道填空題的概率為0.8，正確解答每道解答題的概率均為0.6.在二試中，前兩題每題能夠正確解答的概率為0.6，后兩題每題能夠正確解答的概率為0.5.假設每道題答對得滿分，答錯得0分.（1）記該同學在二試中的成績為，求的分布列；（2）根據該選手所在省份歷年的競賽成績分布可知，若一試成績在100分（含100分）以上的選手，最終獲得省一等獎的可能性為0.9，試成績低于100分，最終獲得省一等獎的可能性為0.2.求該選手最終獲得省一等獎的可能性能否達到50%，并說明理由.（參考數據：，，，結果保留兩位小數）10．（2021·深圳市第七高級中學高三月考）某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數的分布列為：2340.4其中，.（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元.商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為X（單位：元）.（i）求X的分布列；（ii）若，求X的數學期望的最大值.11．（2021·肇慶市第一中學高三月考）大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價x和銷售量y之間的一組數據如表所示：月份i789101112銷售單價xi（元）99.51010.5118銷售量yi（件）111086514（1）根據7至11月份的數據，求出y關于x的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5元，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（3）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．參考公式：回歸直線方程，其中，參考數據：．12．（2021·珠海市第二中學高三月考）經驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高.下面給出了某林場在研究樹高與胸徑之間的關系時收集的某種樹的數據.編號胸徑樹高編號胸徑樹高（1）根據表格繪制樹高與胸徑之間關系的散點圖；（2）分析樹高與胸徑之間的相關關系，并求關于的線性回歸方程；（3）預測當樹的胸徑為時，樹的高度約為多少.(精確)附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；參考數據：，.13．（2021·汕頭市澄海中學高三月考）某種子公司培育了一個豌豆的新品種，新品種豌豆豆莢的長度比原來有所增加，培育人員在一塊田地(超過1畝)種植新品種，采摘后去掉殘次品，將剩下的豆莢隨機按每20個一袋裝袋密封.現從中隨機抽取5袋，測量豌豆豆莢的長度(單位：)，將測量結果按，，，，分為5組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值并估計這批新品種豌豆豆莢長度的平均數(不含殘次品，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；（2）假設這批新品種豌豆豆莢的長度服從正態分布，其中的近似值為豌豆豆莢長度的平均數，，試估計采摘的100袋新品種豌豆豆莢中，長度位于區間內的豆莢個數；（3）如果將這批新品種豌豆中豆莢長度超過的豆莢稱為特等豆莢，以頻率作為概率，隨機打開一袋新品種豌豆豆莢，記其中特等豆莢的個數為，求的概率和的數學期望.附：，若隨機變量，則，.14．（2021·廣東高三月考）紅隊隊員甲?乙?丙與藍隊隊員A，，進行圍棋比賽，甲對，乙對，丙對各一盤，已知甲勝，乙勝，丙勝的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設各盤比賽結果相互獨立.（1）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（2）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列.15．（2021·深圳市龍崗區龍城高級中學高三月考）某產品每件成本元，買方收貨前要進行質量檢測，檢測方案規定：每件產品隨機檢測件，若合格，按一等品付款，每件售價元；若檢測到次品，在剩余的產品中再隨機檢測件，若合格則按一等品付款，每件售價元；若仍然檢測到次品，按二等品付款，每件售價元.檢測后的合格品需要重新包裝，每件需花費元；次品不再出售.若出售后發現一件一等品為次品需換貨并支付售價的倍賠款；根據以往統計數據可知，該產品的次品率為（按每件有件次品計算）.（1）求該產品檢測為一等品的概率；（2）為加大檢測力度，質檢部門提出新的檢測方案：每件產品隨機檢測件，若全部合格，按一等品付款；若檢測到次品，在剩余的產品中再隨機檢測件，若全部合格按一等品付款；若仍然檢測到次品，按二等品付款.根據件產品凈利潤，試比較原檢測方案合理還是新檢測方案合理.16．（2021·廣東珠海·高三月考）某廠加工的零件按箱出廠，每箱有個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗，人工檢驗方法如下：先從每箱的零件中隨機抽取個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗；若抽取的零件至少有1個至多有個次品，則對剩下的個零件逐一檢驗．已知每個零件檢驗合格的概率為，每個零件是否檢驗合格相互獨立，且每個零件的人工檢驗費為元．（1）設1箱零件人工檢驗總費用為元，求的分布列；（2）除了人工檢驗方法外還有機器檢驗方法，機器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費為元，現有箱零件需要檢驗，以檢驗總費用的數學期望為依據，在人工檢驗與機器檢驗中，應該選擇哪一個？說明你的理由．17．（2021·深圳市龍崗區平岡中學高三月考）中國提出共建“一帶一路”，旨在促進更多的經濟增長和更大的互聯互通，隨著“一帶一路”的發展，中亞面粉?波蘭蘋果?法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車?電子元件?農產品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發一款電子產品，該電子產品的一個系統有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為900元.（1）求系統需要維修的概率；（2）該電子產品共由3個系統組成，設為電子產品所需要維修的費用，求的分布列和數學期望.18．（2021·廣東羅湖·深圳第三高中高三月考）某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步籃兩個項目.每個學生在每個項目投籃5次，以規范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0分；三步籃考核合格得6分，否則得0分.現將該班學生分為兩組，一組先進行定點投籃考核，一組先進行三步籃考核，若先考核的