吉安市2024-2025學年（上）九年級數學一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1.一元二次方程的常數項是（）A.1 B. C.4 D.答案：D解：一元二次方程的常數項是；故選D．2.下列四邊形中，是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形答案：A解：平行四邊形，是中心對稱圖形，而不是軸對稱圖形，故A符合題意；矩形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故B不符合題意；菱形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故C不符合題意；正方形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．3.如若關于x的方程有一個根為，則a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.答案：B解：由題意得，解得：；故選：B．4.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A.BD=AB B.DC=AD C.∠ABC=90° D.OD=OC答案：B解∵四邊形ABCD為矩形，∴要使其為正方形，只需要使矩形ABCD為菱形即可，∴可添加DC=AD．故選：B．5.要組織一場籃球聯賽，每兩隊之間只賽一場，計劃安排15場比賽，如果邀請x個球隊參加比賽，根據題意，列出方程為（）A. B.C. D.答案：C解：設邀請x個球隊參加比賽，根據題意可得：，故選C．6.小明用四個全等的含角的直角三角板拼成如圖所示的三個圖案，其中是菱形的有（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解：四個全等的含角的直角三角板拼成如圖所示的三個圖案中，第一個與第三個四邊形的四條邊都相等，∴第一個與第三個圖形是菱形，如圖，由四個全等的含角的直角三角板拼成的四邊形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴,，∴,∴，∴四邊形是菱形；故選D二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.若關于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍是______．答案：解：由題意，得：，∴；故答案為：．8.已知方程的一個解為，另一個解為______．答案：解：∴或解得，，即另一個解為，故答案為：9.如圖，在直角坐標系中，矩形，點坐標是，則的長是______．答案：解：∵點B的坐標是，∴，∵四邊形是矩形，∴．故答案為：．10.若m是方程的一個根，則代數式的值為______．答案：2024解；∵m是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．11.如圖，在四邊形中，對角線，且，，，，，分別是四邊的中點，則四邊形的面積為__________．答案：12解：∵點E、F分別為邊AB、BC的中點，∴EF∥AC，EF=，∵AC=8，∴EF=4，同理，HE∥BD，HE=，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥HE，∴四邊形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面積=HE×EF=12．故答案：12．12.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，點E是邊CD的中點，點P在AB邊上運動，點F為DP的中點；當為等腰三角形時，則AP的長為______．答案：3或或解：∵四邊形是矩形，∴∵為的中點，∴設則①當時，如圖1，在中，，∴∵為的中點，∴，∵，∴，解得，經檢驗，是原方程的解，但不合題意，舍去，∴即②當時，連接如圖2，在中，，∴，∵為中點，為的中點，∴是△的中位線，∴，∵,∴,解得，，經檢驗，是原方程的解，但不合題意，舍去，∴即；③當時，過點作，垂足為點垂足為點如圖3，∴四邊形是矩形，//，∴∵//，∴△∴∴∴，綜上，的值為3或或．故答案為3或或．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）用適當的方法解方程：（2）已知：如圖，菱形中，點，分別在，邊上，，連接，．求證：．答案：（1），；（2）見解析（1）解：∴，則或，解得，；（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴．14.取何值時，多項式的值與的值互為相反數？答案：或1解：根據題意，得：整理得：則或解得：當x取或1時，代數式:的值與的值互為相反數15.如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，過點C作CE∥OD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．（1）求證：四邊形OCED是矩形．（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面積．答案：（1）詳見解析；（2）4．解：（1）證明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．又∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四邊形OCED是矩形．（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4．又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝4，∴OC＝AC＝2，∴∴矩形OCED的面積是2×2＝4．16.如圖，在菱形中，，垂足為點E，請按要求在圖中僅用無刻度的直尺畫圖．（1）在圖1中，畫出線段的中點M；（2）在圖2中，過點C畫出邊上的高．答案：（1）圖1中AC與BD交點即是M．（2）圖2中CN就是AD邊上的高．解：如圖1作法：連接BD交AC于M，則點M就是求作的點．理由如下：∵菱形ABCD∴AC與BD互相平分（菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形對角線互相平分）∴M是AC的中點．（２）如圖2作法：連接EM并延長交AD于N，連接CN，則CN就是求作的高．理由如下：∵菱形ABCD∴AD∥BC∴∠NAC=∠ACE∠ANM=∠MEC又∵M是AC的中點∴AM=CM∴△AMN≌△CME（ASA）∴EM=MN∴四邊形ECNA是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平形四邊形）又∵∴四邊形ECNA是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）∴于N∴CN是AD邊上的高．17.已知關于的一元二次方程．（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；（2）若方程兩實數根分別為，，且滿足，求實數的值．答案：（1）（2）【小問1詳解】解：關于的一元二次方程有實數根，，解得：，即的取值范圍是；【小問2詳解】，，，，，即，解得或．；．故的值為2．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.如圖．利用一面墻（墻的長度不限），用的籬笆圍成一個矩形場地．設矩形與墻垂直的一邊，矩形的面積為（1）若面積，求的長；（2）能圍成的矩形嗎？說明理由．答案：（1）或（2）不能，理由見解析【小問1詳解】解：矩形與墻垂直的一邊，矩形的面積為，則長為，則，當時，，解得或，故的長為或．【小問2詳解】解：不能圍成的矩形，理由如下：設矩形場地的寬為，則長為，依題意列方程：，即，∵，∴方程無實數解，故矩形場地的面積不能達到．19.定義：如果關于x的方程（，、、是常數）與（，、、是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足，，，則稱這兩個方程互為“對稱方程”．例如：方程的“對稱方程”是，請根據上述內容，解決以下問題：（1）直接寫出方程的“對稱方程”；（2）若關于x的方程與互為“對稱方程”，求m、n的值及的解．答案：（1）（2），，，【小問1詳解】解：由題意得：方程的“對稱方程”是；【小問2詳解】由，移項可得：，∵關于x的方程與互為“對稱方程”，∴，，解得：，，∴化為，∴，∴，．20.【操作感知】如圖1，在矩形紙片的邊上取一點P，沿折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接，則的大小為______度．【遷移探究】如圖2，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片按照【操作感知】進行折疊，并延長交于點Q，連接．（1）證明：；（2）若正方形的邊長為4，點為中點，則的長為______．答案：【操作感知】：30；（1）見解析；（2）解：【操作感知】：由折疊知，，∵，∴，∴，∴，故答案為：30；【遷移探究】（1）證明：∵正方形紙片按照【操作感知】進行折疊，∴，在和中，，∴，即；（2）解：設的長為，∵正方形的邊長為4，點P為中點，∴，，，在中，，即，解得故答案為：．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.【課本再現】如圖，畫，并畫出斜邊上的中線，量一量，看與有什么關系，相信你與你的同伴一定會發現：恰好是的一半、下面讓我們用演繹推理證明這一猜想．已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長至點，使，連結，．（1）【定理證明】請根據以上提示，結合圖1，寫出完整的證明過程．（2）【結論應用】如圖2，在四邊形中，，，，是的中點，連接，．求的度數．答案：（1）見解析（2）【小問1詳解】解：補全后的證明過程如下：證明：延長至點，使，連接，，是斜邊上的中線，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，．【小問2詳解】解：如圖，連接，，，，，，是的中點，，，，，．22.“a2≥0”這個結論在數學中非常有用，有時我們需要將代數式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試利用“配方法”解決下列問題：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比較代數式：x2﹣1與2x﹣3的大小．答案：（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，故答案為：-2，1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，則x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．六、（本大題共12分）23.在ΔABC中，，點為直線上一動點（點不與重合），以為邊在右側作正方形，連接（1）探究猜想如圖1，當點在線段上時，①與的位置關系為；②之間的數量關系為；（2）深入思考：如圖2，當點在線段的延長線上時，結論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當點在線段的延長線上時，正方形對角線交于點．若已知，請求出的長．答案：（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，證明見解析；（3）解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABC=∠ACF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACB+∠ACF═45°+45°=90°，即BC⊥CF；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS