PAGE1-2.1.3分層抽樣A級：基礎鞏固練一、選擇題1．將A，B，C三種性質的個體按1∶2∶4的比例進行分層抽樣調查，若抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種性質的個體分別抽取()A．12,6,3B．12,3,6C．3,6,12D．3,12,6答案C解析由分層抽樣的概念，知A，B，C三種性質的個體應分別抽取21×eq\f(1,7)＝3,21×eq\f(2,7)＝6,21×eq\f(4,7)＝12.2．共享單車為人們供應了一種新的出行方式，有關部門對運用共享單車人群的年齡分布進行了統計，得到的數據如下表所示：年齡12～20歲20～30歲30～40歲40歲及以上比例14%45.5%34.5%6%為調查共享單車運用滿足率狀況，現采納分層抽樣的方法從中抽取容量為200的樣本進行調查，那么應抽取20～30歲的人數為()A．12B．28C．69D．91答案D解析由分層抽樣的定義得應抽取20～30歲的人數為200×45.5%＝91.3．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品平安檢測．若采納分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是()A．4B．5C．6D．7答案C解析分層抽樣中，分層抽取時都按相同的抽樣比eq\f(n,N)來抽取，本題中抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，因此植物油類應抽取10×eq\f(1,5)＝2(種)，果蔬類食品應抽20×eq\f(1,5)＝4(種)，因此從植物油類和果蔬類食品中抽取的種數之和為2＋4＝6.4．在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則每個個體被抽取的可能性是()A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,36)C.eq\f(1,60)D.eq\f(1,6)答案D解析在分層抽樣中，每個個體被抽取的可能性都相等，且為eq\f(樣本容量,總體容量)，所以每個個體被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).5．分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后根據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢數多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要根據各人帶多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的是()A．甲應付51eq\f(41,109)錢B．乙應付32eq\f(24,109)錢C．丙應付16eq\f(56,109)錢D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析由分層抽樣可知，抽樣比為eq\f(100,560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應付eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應付eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應付eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢)．故選B.二、填空題6．甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件，采納分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為________件．答案1800解析設乙設備生產的產品總數為x件，則甲設備生產的產品總數為(4800－x)件．由題意，得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.7．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛．為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取的輛數為________．答案6,30,10解析設三種型號的轎車依次抽取x輛，y輛，z輛，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10.))故填6,30,10.8．某中學針對學生發展要求，開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參與這兩個社團的學生共有800人，根據要求每人只能參與一個社團，各年級參與社團的人數狀況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5)，為了了解學生對兩個社團活動的滿足程度，從中抽取一個50人的樣本進行調查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取________人．答案6解析解法一：因為“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團的人數為800×eq\f(2,5)＝320.因為“剪紙”社團中高二年級人數比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙”社團中高二年級人數為320×eq\f(3,10)＝96.由題意知，抽樣比為eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數為96×eq\f(1,16)＝6.解法二：因為“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團中的人數為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團中高二年級人數比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數為20×eq\f(3,10)＝6.三、解答題9．某單位有技師18人、技術員12人、工程師6人．須要從這些人中抽取一個容量為n(n∈N*)的樣本，假如采納系統抽樣的方法抽取，不用剔除個體；假如采納分層抽樣的方法抽取，各層抽取結果都是整數；假如樣本容量增加1，則在采納系統抽樣時，須要在總體中先剔除1個個體，求樣本容量．解依題意，知總體容量為6＋12＋18＝36.當樣本容量是n時，由題意知，系統抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的抽樣比是eq\f(n,36)，抽取工程師的人數為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術員的人數為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工的人數為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，∴n應是36的約數且是6的倍數，即n的可能取值是6,12,18.當樣本容量為n＋1時，系統抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1).∵eq\f(35,n＋1)必需為正整數，∴n只能取6，即樣本容量n＝6.B級：實力提升練10．某中學實行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽．為了解這次活動在全校師生中產生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名中學生中作問卷調查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評估．(1)應如何抽取才能得到比較客觀的評價結論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，假如采納簡潔隨機抽樣，應如何操作？(3)為了從4000份中學生的答卷中抽取一個容量為64的樣本，如何運用系統抽樣抽取到所需的樣本？解(1)由于這次活動對教職員工、初中生和中學生產生的影響不會相同，所以應當實行分層抽樣的方法進行抽樣．因為樣本容量為120，總體個數為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48,4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教職員工、初中生、中學生中抽取的個體數分別是8,48,64.分層抽樣的步驟是①分層：分為教職員工、初中生、中學生，共三層；②確定每層抽取個體的個數：在教職員工、初中生、中學生中抽取的個體數分別是8,48,64；③各層分別按簡潔隨機抽樣或系統抽樣的方法抽取樣本；④綜合每層抽樣，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結論．(2)由于簡潔隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數法．假如用抽簽法，要作3000個號簽，費時費勁，因此采納隨機數法抽取樣本，步驟是①編號：將3000份答卷都編上號碼：0001,0002,0003，…，3000；②在隨機數表上隨機選取一個起始位置；③規定讀數方向：向右連續取數字，以4個數為一組，假如讀取的4位數大于3000，則去掉，假如遇到相同號碼則只取一個，這樣始終到取滿48個號碼為止．(3)由于4000÷64＝62.