高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1西藏自治區(qū)拉薩市2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，該集合中的元素有個(gè)，故選：B.2.已知一組數(shù)據(jù)，，，，，，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，為，，，，，，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)據(jù).故選：A.3.已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕剩郧€y=fx在處的切線方程為，即.故選：D.4.余切函數(shù)是三角函數(shù)的一種，表示為，余切函數(shù)與正切函數(shù)關(guān)系密切，它們之間的關(guān)系為.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.5.中國(guó)象棋是一種古老的棋類(lèi)游戲，大約有兩千年的歷史，是中華文明非物質(zhì)文化的經(jīng)典產(chǎn)物.如圖，棋盤(pán)由邊長(zhǎng)為1的正方形方格組成，已知“兵”“馬”“炮”“帥”分別位于A，B，C，D四點(diǎn)，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如圖：可知，故.故選：A.6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且在軸上的射影為，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知軸，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，聯(lián)立得，故，又，即，可得，即，則，解得或（舍），即，則，故漸近線方程為，故選：C.7.南昌雙子塔，坐落于紅谷灘區(qū)贛江北岸，是南昌標(biāo)志性建筑之一.如圖，某人準(zhǔn)備測(cè)量雙子塔中其中一座的高度（兩座雙子塔的高度相同），在地面上選擇了一座高為的大樓，在大樓頂部處測(cè)得雙子塔頂部的仰角為，底部的俯角為，則雙子塔的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，，則在中，，即，在中，，由正弦定理得，即，所以.故選：D.8.若函數(shù)在上恰有個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，即是偶函數(shù)，又在上有個(gè)極值點(diǎn)，易知是極值點(diǎn)，則在上有個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，則，，在上的前個(gè)極值點(diǎn)依次為，，，，，所以，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由且得，所以，，A選項(xiàng)正確；，所以，，B選項(xiàng)正確；取，，，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由得，所以，因?yàn)椋裕珼選項(xiàng)正確；故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則（）A. B.的虛部為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：由，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：的虛部為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，將棱長(zhǎng)為2正方體六個(gè)面的中心連線，可得到正八面體，則（）A.四邊形為正方形B.平面C.異面直線與所成的角為90°D.若動(dòng)點(diǎn)P在棱上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為【答案】ABD【解析】由正方體及正八面體的關(guān)系可知，正八面體各棱均相等，故四邊形是菱形，易求得，，所以，即四邊形為正方形，A正確；同理可證得四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正確；由，可知是異面直線與所成的角，而由為等邊三角形可知，即異面直線與所成的角為60°，C錯(cuò)誤；將沿著翻折，使得與在同一平面內(nèi)，則可得菱形，此時(shí)與的交點(diǎn)P即為使取最小值的點(diǎn)P，此時(shí)，即的最小值為，D正確.故選:ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由已知拋物線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，13.已知命題：“，”為真命題，則的取值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)槊}：“，”為真命題，即等式恒成立，則，解得，14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)椋矗淼?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心4為半徑的圓的一部分.設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥校裕裕渣c(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某社區(qū)組織居民開(kāi)在垃圾分類(lèi)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).隨機(jī)對(duì)該社區(qū)名居民的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在內(nèi)，將成績(jī)分成組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：第組有人，第組有16人，第組有人，第組有人，第組有人.現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法在第，組共選取人參加垃圾分類(lèi)志愿者工作.（1）對(duì)該社區(qū)名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，補(bǔ)全表格數(shù)據(jù)，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為居民喜歡垃圾分類(lèi)與性別有關(guān)；不喜歡垃圾分類(lèi)喜歡垃圾分類(lèi)合計(jì)男女合計(jì)（2）若從參加垃圾分類(lèi)志愿者工作的人中隨機(jī)選取人參加垃圾分類(lèi)知識(shí)宣講工作，記來(lái)自第組的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下所示，不喜歡垃圾分類(lèi)喜歡垃圾分類(lèi)合計(jì)男女合計(jì)零假設(shè)：居民喜歡垃圾分類(lèi)與性別無(wú)關(guān)，則，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為喜歡垃圾分類(lèi)與性別有關(guān)；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法在第，組抽取的人數(shù)分別是，，所以可能的取值為，，，，，，所以的分布列為.16.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.解：（1）設(shè)公差為d，結(jié)合題設(shè)有，解得，則故的通項(xiàng)公式為.（2），所以.17.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知，則，，，，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上所述的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，則，由函數(shù)既有極大值，又有極小值，即有兩個(gè)不等的正根，即有兩個(gè)不等的正根，分別設(shè)為，，則解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知等腰梯形如圖所示，其中，，點(diǎn)在線段上，且，，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，所得圖形如圖所示．（1）證明：；（2）已知點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置）．（ⅰ）若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；（ⅱ）探究：是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫矫妫剩?）由題意易知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，（ⅰ）因?yàn)椋瑒t，C1,1,0，B1,0,0，，，，故，，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則，令，則，可得為平面的一個(gè)法向量，而，記直線與平面所成的角為，則；（ⅱ）由題意，設(shè)，，故，，設(shè)，，則，而，，若平面，則，解得，故當(dāng)重合，點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，平面，此時(shí)．19.如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線交其“伴隨圓”于點(diǎn)，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”．已知橢圓上的點(diǎn)的一個(gè)“伴隨點(diǎn)”為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．（ⅰ）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）記（ⅰ）中的直線所過(guò)的定點(diǎn)為，若在直線上的射影分別為（，為不同的兩點(diǎn)），記，，的面積分別為，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)闄E圓E:x2a2+y2所以解得所以橢圓的方程為．（2）（ⅰ）證明：當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx聯(lián)立整理得，則，，，所以，直線的方程為，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，若存在定點(diǎn)，則必在軸上．當(dāng)時(shí)，，即直線恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，也過(guò)．綜