高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯盟2024-2025學年高二上學期12月期末考試數學試題注意事項：1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結束后由監考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】點關于軸的對稱點的坐標為，故選：C.2.若直線的方向向量為，且過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因直線的方向向量為，則直線的斜率于是直線的方程為，即.故選:A.3.成都市某高中為鼓勵全校師生增強身體素質，推行了陽光校園跑的措施，隨機調查了10名同學在某天校園跑的時長（單位：分鐘），得到統計數據如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數據的第70百分位數是（）A.56 B.59 C.62 D.64.5【答案】B【解析】數據個數共有10個，且為從小到大排列，這組數據的第70百分位數為第7個數據56和第8個數據62的平均數59，故選:B.4.設為定點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，動點的軌跡是以為焦點的雙曲線，且，，雙曲線的方程為.故選：B.5.不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記4個白球為，2個紅球為，從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球有:，共種不同的取法，其中抽出2球均為白球有共種不同的取法，所以抽出的2個球均為白球的概率.故選：C.6.已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為1，則的取值范圍為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由圓，可得圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由圓上至少有3個點到直線的距離為1，所以.故選：A.7.如圖,在平行六面體中,,，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，.，.，異面直線與所成角的余弦值.故選：D.8.設為雙曲線上的兩點,線段的中點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設雙曲線上的點，線段的中點為，則，則，且，兩式相減，得，即，則直線斜率，直線的方程為：，由，消去，得，解得，.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標系中，，則（）A. B.點到直線的距離為C. D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】A選項：，故A錯誤；B選項：取，點到直線的距離，故B正確；C選項：，故C正確；D選項：，設平面的法向量為，故，取，則，故D錯誤；故選:BC.10.已知事件，事件發生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若事件與事件互斥，則B.若事件與事件相互獨立，則C.若事件發生時事件一定發生，則D.若，則事件與事件相互獨立【答案】ABD【解析】對于A，事件與事件互斥，，故A正確；對于B，事件與事件相互獨立，，，故B正確；對于C，若事件發生時事件一定發生，則，故C錯誤；對于D，因則事件與事件相互獨立，故事件與事件相互獨立，故D正確.故選:ABD.11.已知橢圓與雙曲線的左、右焦點相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（）A. B.當時，C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】A選項：為焦點三角形，，故A正確；B選項：根據橢圓和雙曲線的定義，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，當時，，故B錯誤；C選項：，當且僅當，即時等號成立，故C正確；D選項：，故取，，當且僅當,即，此時時取到等號，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設一組數據的平均數為11，則的平均數為______.【答案】90【解析】因的平均數則的平均數為：.故答案為：90.13.過三點的圓的標準方程為______.【答案】【解析】設圓的方程為，代入三點，有解得故圓的方程為,故圓的標準方程為.故答案為：14.已知橢圓的上頂點為分別為橢圓的左、右焦點，過點作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點，若橢圓的離心率為，且，則的周長為______.【答案】26【解析】離心率，，，又因為為等邊三角形，設，過點作線段的垂線，的傾斜角為，直線的方程為，代入中，得，周長.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.“世界圖書與版權日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學生閱讀，現從參加競賽學生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組40,50，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這100名學生成績的眾數和平均數（取各組區間中間值計算）；（2）已知成績落在的學生平均成績為62，方差為9，落在的學生平均成績為77，方差為4，求這兩組成績的總體平均數和總體方差.解：（1）眾數：75，第1至第6組的頻率分別為，平均數：；（2）根據題意可知，成績落在的學生人數為20人，成績落在的學生人數為30人，總體平均數：，總體方差：.16.已知圓是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點分別為.（1）當點的橫坐標為2時，求切線的方程；（2）當點在直線上運動時，求四邊形面積的最小值.解：（1）由圓，可得圓心，半徑，點在直線上，且點的橫坐標為點的坐標為，①當切線的斜率不存在時，直線方程為，與圓相切，滿足題意，；②當切線的斜率存在時，設斜率為，此時切線方程為，即：，設圓心到切線的距離為，根據題意可得：，，此時，切線方程為，化簡，得，切線方程為或；（2）為公共邊，，，又當最小時，最小，由題意可知，當時，最小，此時，，，四邊形面積的最小值為.17.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規則如下：若命中，則此人繼續投籃一次，若未命中，則換對方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結果相互獨立，第一次投籃者為甲.（1）求第3次投籃者為乙的概率；（2）求前4次投籃中甲投籃次數不少于3次的概率.解：（1）設事件"甲第次投籃投進"，事件"乙第次投籃投進"，事件"第三次投籃者為乙"，根據題意可知，與互斥，；（2）設事件"前4次投籃中甲投籃次數不少于3次"，根據題意可知：，事件互斥，且每次投籃的結果相互獨立，.18.在平行四邊形中（如圖1）,為的中點,將等邊沿折起，連接，且（如圖2）.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）點在線段上,若點到平面的距離為,求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）連接在中，，，在中，，同理可得：，平面（2）設為的中點，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以點為坐標原點，為軸，為軸，過點且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，，，取，設直線與平面所成角為，（3）設，，，設點到平面的距離為，，，是線段上靠近點的三等分點，易求平面的法向量為，設平面的法向量為，，.取，設平面與平面所成的角為，.19.一動圓與圓外切，與圓內切.（1）設動圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；（2）①若點是直線上的動點，直線與曲線分別交于兩點，證明：直線過定點；②設和的面積分別為和，求的最大值.解：（1）設動圓的半徑為，動圓與圓外切，，又動圓與圓內切，且